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title: Z test, T test, chi test
tags: 量化資料分析, 統計, Stata
date: Tue, Nov 1, 2022
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> [color=#000000]目錄
>:::spoiler
>[TOC]
>:::

# 描述性統計：如何以統計數字呈現基本資料？

| 數值變項 |
|:------------------------------------|
| mean, median, standard deviation |

| 類別變項 (Nominal, ordinal variables) |
|:-------------------------------------|
| frequency table (次數分配表) , frequency, mode (眾數) |
| (Relative frequencies) percentage (百分比)及 proportion(比例) |
| Proportion: p = frequency/total N |
| Percentage: % = (f/N)*100 = p*100 |

# 假設檢定

## 假設

研究假設＋虛無假設＝**所有的結果**
這兩個假設中，只有一個是正確的。

* 虛無假設H~0~：通常假設為沒關聯、沒差異
* 研究假設H~1~：通常假設為有關聯、有差異

不同樣本之間的平均數不一樣，兩樣本平均數之間的差異，會形成近似於常態分配的分佈圖。

## 顯著性（significance test）
判定哪一個哪一個最可能為真。

P-value
: 在虛無假設下，得到某數值或更極端值的機率。當p值很小，該統計值來自該分配的機率很小。

α
: 決定是否拒絕虛無假設的關卡，同時也決定了顯著度（significance level）

P-value>=α
: 不拒絕虛無假設

P-value<α
: 拒絕虛無假設

## 如何下結論？

* 有足夠證據去支持研究假設
* 拒絕虛無假設並支持研究假設
* 沒有足夠證據去支持研究假設
* 不拒絕虛無假設（個人慣用：無法拒絕虛無假設）

:::danger
:warning: 不能說「接受虛無假設」
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## 檢定的錯誤
型I錯誤(type I error)
: 錯誤拒絕虛無假設
large smaples

型II錯誤(type II error)
: 錯誤沒有拒絕虛無假設
small smaples


The smaller we make P(Type I error), the larger P(Type II error) becomes, that is, failing to reject H0 even though it is false.

If we tolerate only an extremely small P(Type I error), such as α = 0.000001, the test may be unlikely to reject H0 even if it is false—for instance, unlikely to convict someone even if they are guilty. This reasoning reflects the fundamental relation:The smaller P(Type I error) is, the larger P(Type II error) is.

# Z test

比較樣本與母體之間的差異是不是抽樣誤差所造成

## 前提（assumptions)
:::spoiler
* 自變項：二類別變項
* 依變項：連續變項（本斥但有時候也用次序）
* 用於母體
* 常態分配
* 樣本數>=10
* <font color="red">知道母體標準差</font>
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## one sample Z test(one-tailed)
### 假設檢定
#### 假設
>Example:
>

#### 顯著水準

##### 單尾
>常用顯著水準
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>:::

##### 雙尾
>常用顯著水準
>:::spoiler
>
>:::

>Z分配查表：
>:::spoiler
>
>:::
#### 結果
>Example:
>Z分數2.5(p<.05)是比臨界值1.65 更極端的數值， 落在拒絕區內。研究者結論：Z分數2.5不可能歸因於抽樣誤差。經常小考提升了考試成績。拒絕虛無假設。

# Z test vs T test
>計算母體標準差(σ)、母體變異數(σ^2^)、離均差平方和(SS)
>:::spoiler
>
>:::

>計算樣本標準差(SD)、樣本變異數(SD^2^)、離均差平方和(SS)
>:::spoiler
>
>:::

>Z test vs one sample T test
>:::spoiler
>
>:::

# T test
## 前提（assumptions)
:::spoiler
* 自變項：二類別變項
* 依變項：連續變項（本斥但有時候也用次序）
* 隨機抽樣
* 資料分配接近常態分配
* 相對大的樣本
* 若有不同樣本，樣本的變異量接近、相等
* <font color="red">我們不知道母體變異數</font>
:::

## 單一樣本T test for single sample

目的：
* 只有一個群體，想使用該群體資料來檢測一個假設平均數
* 檢驗樣本平均數和母體平均數是否有顯著差異，<font color="red">但是不知道母體平均數</font>，使用樣本標準差（SD）計算抽樣誤差量的估計值

### 假設
>Example:
>:::spoiler
>
>:::

### 顯著性
t 分配表是依自由度（degrees of freedom，簡稱df）而非樣本人數（n）安排的。因此，為了決定拒絕區的位置，我們需要計算所用的統計檢定之df。
單樣本 t 檢定的df公式是**df = n-1**。

>t分配查表：
>:::spoiler
>
>:::

### 結果
參與新體育教學體能方案學生的平均體能分數（M=102.87，SD=5.00）顯著高於母體平均數（μ=100），t (14)=2.22， p < .05。

### 語法

ttest var==mean_population

## 獨立樣本 T test for independent samples

有兩項平均數、兩群體資料，彼此沒有關連性，例如兩個隨機分配的群體。
觀測到的平均數差異與預期由抽樣誤差獲所造成的差異之比值。
>t公式的意義：
>:::spoiler
>
>
>:::

### 假設
>Example:
>:::spoiler
>
>:::

### 顯著性
獨立樣本 T 檢定有兩組樣本，df 公式是**df = (n~1~-1)+(n~2~-1)**。

| 名稱 | 公式 | 意義 |
| -------- | -------- | -------- |
| 離差分數 | M~1~-M~2~ | |
| 離差平方和 | 理論：SS~1~=Σ(M~1~-M~2~)^2^ 計算：SS~1~=Σ(M~1~-M~2~)^2^-Σ(M~1~-M~2~)^2^/n |
| 樣本變異數 | 各組：SD~1~=√SS~1~/(n-1) 合併：SD~p~=((n~1~-1)SD~1~^2^+(n~2~-1)SD~2~^2^)/((n~1~-1)+(n~2~-1))|
| 平均數差異標準誤(抽樣誤差) | SEM~i~=√(SD~p~/n~1~+SD~p~/n~2~) |
| T檢定 | t=(M~1~-M~2~)/SEM~i~ | 這兩個平均數的差異（即，M~1~-M~2~）， 與預期因抽樣誤差而造成的差異（即，SEM~i~）相比較， 前者是後者的 t 倍大。 |

### 結果

>Example:
>
>這兩個平均數的差異（即，200.83-186.17=14.67）與預期因抽樣誤差而造成的差異（即，6.64）相比較，前者是後者的 2.21倍大。
>
>t 的拒絕區是 t > 2.228 及 t < -2.228，所以得到的 t 值沒有落在拒絕區內。得到的 t 值不夠大，不足以拒絕虛無假設。

### Effect size: Cohen’s d and Hedge’s g


#### Cohen’s d
計算公式：
判讀解釋參考表：

### 語法
獨立樣本 T 檢定

ttest var, by(var_2group) welch unequal

Effect size: Cohen’s d and Hedge’s g

esize twosmaple var, by(var_2group) 

## 成對樣本T test for dependent samples

有兩項平均數，可能是相同的人，但是不同的兩組，或者，有關係的兩群體，例如，先生與太太、母親與小孩
不獨立、成對、相關或重複的樣本，相同群體或有關聯的群體

### 語法

ttest var1=var2

# 卡方檢定(Chi square test)
## 前提（assumptions)
:::spoiler
* 類別變項與類別變項（Categorical vs. categorical）
* 不計算平均數
* 頻次計算（frequency counts）資料
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## 單變項卡方檢定

### 語法

tab var1, chi
csgof var1, expperc(51 49)

expperc(百分比 百分比)

## 雙變項卡方檢定

### 語法

tab var1 var2, chi expected
tab var1 var2, chi expected

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# 散布圖

scatter y x

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# 課後練習＆作業
## 課後練習
[Week 02 課後練習 @ 2022. 秋 量化資料分析](https://hackmd.io/@tree10zi23/Quan-w02-work)
[Week 04 課後練習 @ 2022. 秋 量化資料分析](/izEQrwekSZOjfrFN4JQLKg)
[Week 05 課後練習 @ 2022. 秋 量化資料分析](/zvMeNo_1RuWOAjL_OmAgHw)
[W07 In-Class @ 2022. 秋 量化資料分析](/GJQpmx4oSbKcfuhkyy8PKA)
[Week08 課後練習 @ 2022. 秋 量化資料分析](/xzVUedxYQSqE1hDf8hGasw)

## 作業
[2022. fall-Quan. Homework 01 @ Week 06](/d8v5o0R7RWuv58eABPQ_Vg)
>參考答案
>[2022. 秋 量化資料分析 作業1－答案](/sOFB5qKWRdGDsxrp_15BYw)

[2022. fall-Quan. Homework 02 @ Week 08](/MMDl4oL9RY6bBAkd-j1pyw)
>參考答案
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:::info
:star2:參考資源

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* [參考書（老師提供）](https://www.dropbox.com/scl/fo/kpqy7qzm3xxoc3l5mlylz/h?dl=0&rlkey=qh6yztfgkbew890eootebfc9g)
* [多變量分析課程講義](https://1drv.ms/u/s!An-sUGi5a5V22nqTM_PwpTbiS8ZX?e=K1MV8a)
* [自學資源](https://1drv.ms/u/s!ApuI0KJcIZgW9ye3iypnqHBlca7h?e=T6G2n8)
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:::info
:star2:軟體安裝
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* [stata14&15下載安裝](https://1drv.ms/u/s!ApuI0KJcIZgWpEaUVy6PXeg3VSlq?e=u66r08)
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