2. 輻射通過物質 Passage of Radiation Through Matter

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書籍資訊

• 譯本：何信佑（譯）（2023），核物理與粒子物理實驗技術。中文試譯版。（Leo, W. R.，1994）。
• 原著：Leo, W. R. (1994). Techniques for nuclear and particle physics experiments: A how-to approach (2nd revised ed.). Springer.
• 如何引用？

本章目錄

• 2. 輻射通過物質 Passage of Radiation Through Matter
  • 書籍資訊
  • 本章目錄
  • 2.1 預備觀念和定義 Preliminary Notions and Definitions
    • 2.1.1 散射截面 The Cross Section
    • 2.1.2 在距離 x 的作用機率；平均自由程 Interaction Probability in a Distance x. Mean Free Path
    • 2.1.3 表面密度 Surface Density Units
  • 2.2 帶電重粒子遭到原子碰撞時的能量損失 Energy Loss of Heavy Charged Particles by Atomic Collisions
    • 2.2.1 波耳的計算——古典情況 Bohr's Calculation - The Classical Case
    • 2.2.2 貝特-布洛赫公式 The Bethe-Bloch Formula
    • 2.2.3 能量相依性 Energy Dependence
    • 2.2.4 dE/dx 的縮放定律 Scaling Laws for dE/dx
    • 2.2.5 質量阻止本領 Mass Stopping Power
    • 2.2.6 混合物和化合物的 dE/dx　dE/dx for Mixtures and Compounds
    • 2.2.7 貝特-布洛赫公式的限制和其他效應 Limitations of the Bethe-Bloch Formula and Other Effects
    • 2.2.8 穿隧效應 Channeling
    • 2.2.9 射程 Range
  • 2.3 契忍可夫輻射 Cherenkov Radiation
  • 2.4 電子和正子的能損 Energy Loss of Electrons and Positrons
    • 2.4.1 碰撞能損 Collision Loss
    • 2.4.2 輻射能損——制動輻射 Energy Loss by Radiation: Bremsstrahlung
    • 2.4.3 電子－電子間的制動輻射 Electron-Electron Bremsstrahlung
    • 2.4.4 臨界能量 Critical Energy
    • 2.4.5 輻射長度 Radiation Length
    • 2.4.6 電子射程 Range of Electrons
    • 2.4.7 β 電子的吸收 Absorption of β Electrons
  • 2.5 多重庫侖散射 Multiple Coulomb Scattering
  • 2.6 能量散亂：能損分佈 Energy Straggling: The Energy Loss Distribution
  • 2.7 光子的交互作用 The Interaction of Photons
    • 2.7.1 光電效應 Photoelectric effect
    • 2.7.3 康普頓散射 Compton scattering
    • 2.7.3 成對產生 Pair Production
    • 2.7.4 電子－質子簇射 Electron-Photon Showers
    • 2.7.5 The Total Absorption Coefficient and Photon Attenuation
  • 2.8 中子的交互作用 The Interaction of Neutrons

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2.1 預備觀念和定義 Preliminary Notions and Definitions

2.1.1 散射截面 The Cross Section

（原書第18頁）

「散射截面」是用來度量「反應發生的機率」，如果知道粒子間交互作用的形式已知，就可以計算散射截面。

考慮一粒子束（beam of particles）射向一個靶粒子（target particle），並假設粒子束的寬度遠大於靶，且粒子束中的粒子在時間和空間方面都是均勻分布，如下圖〔圖2.1〕

我們可以定義粒子束的通量（flux）

$F$，也就是單位時間內通過單位面積的粒子數。

現在我們可以考慮散射。這裡所謂的散射，就是任何使出射粒子進入

$\text{d}\mathrm{\Omega }$ 的反應；而且入射粒子有可能變成其他粒子，其中

$\text{d}\mathrm{\Omega }$ 是以靶為中心的一個微小立體角

微分散射截面（differential cross section）的定義為

$$\begin{array}{}\text{(2.1)}& \frac{\text{d}\sigma }{d\mathrm{\Omega }}(E,\mathrm{\Omega })=\frac{1}{F}\frac{\text{d}{N}_{\text{s}}}{\text{d}\mathrm{\Omega }}\end{array}$$其中

• $\text{d}{N}_{\text{s}}/\text{d}\mathrm{\Omega }$ 是單位時間內被散射「到
  $\text{d}\mathrm{\Omega }$ 裏面」的粒子數之平均。由於散射具有隨機性，所以在不同的有限測量週期之間，此數值會有所浮動；但如果取許多個有限測量週期做平均，此數值將趨於固定。
• 而
  $N_{\text{s}}$ 就是單位時間內「所有」被散射的粒子數之平均；

亦即，

$\text{d}\sigma /\text{d}\mathrm{\Omega }$ 是單位時間內「每單位通量」被散射到

$\text{d}\mathrm{\Omega }$ 裏面的粒子數之平均。

一般而言，

$\text{d}\sigma /\text{d}\mathrm{\Omega }$ 的值取決於反應的能量

$E$ 和散射的角度

$\mathrm{\Omega }$。

對於某個能量

$E$，我們可以計算總散射截面（total cross section），其定義為

$\text{d}\sigma /\text{d}\mathrm{\Omega }$ 對於所有立體角的積分，

$$\begin{array}{}\text{(2.2)}& \sigma (E)=\int \text{d}\mathrm{\Omega }\frac{\text{d}\sigma }{\text{d}\mathrm{\Omega }}\end{array}$$

參閱

• Griffits - 量子力學導論（第四版）§10.1　散射理論簡介

2.1.2 在距離 x 的作用機率；平均自由程 Interaction Probability in a Distance x. Mean Free Path

2.1.3 表面密度 Surface Density Units

2.2 帶電重粒子遭到原子碰撞時的能量損失 Energy Loss of Heavy Charged Particles by Atomic Collisions

帶電粒子通過物質時，通常有兩種主要特徵：

1. 損失能量
2. 偏轉方向

二者主要是以下過程的結果：

1. 跟 材料中的原子電子 發生 非彈性碰撞
   $⟹$ 原子被游離或激發
2. 跟 原子核 發生 彈性碰撞
3. 契忍可夫輻射
4. 核反應
5. 制動輻射

前兩者在每段路徑上都會發生好幾次，正是因它們累積起來，才導致了前述兩種效應。相較之下，後三者十分罕見，我們在本節討論中只會討論 3，並忽略 4 和 5。

我們有必要將帶電粒子分為兩類（原因後述）：

1. 電子和正子
2. 重粒子（heavy particles），即是比電子重的粒子，包括緲子（μ）、介子、質子、α 粒子和其他輕原子核。

比這更重的粒子，例如重離子，雖然就定義而言講屬於重粒子，但由於它們會產生額外的影響，因此被排除在本討論之外。

非彈性碰撞幾乎是造成重粒子在物質中損失能量的唯一原因。

在這種碰撞中（

$\sigma \simeq {10}^{-17}$–

${10}^{-16}{\text{cm}}^2$），能量由粒子轉移到原子中，造成原子的游離或激發。

每次碰撞中轉移的能量

$\mathrm{\Delta }E$ 通常只是粒子總動能

$E$ 的一小部分；然而，在通常很緻密的物質中，每單位路徑長度的碰撞次數是如此之多，以至於即使在相對較薄的材料層中，也觀察到粒子累積了大量能量損失。例如，一個 10 MeV 的質子已經在僅 0.25 毫米的銅中失去了所有能量！

這些原子碰撞通常又分為兩種：

• 僅產生激發的軟碰撞（soft collisions）
• 轉移的能量足以引起游離的硬碰撞（soft collisions）
  事實上，在一些硬反應中，有足夠的能量被轉移，以至於電子本身會引起大量的二次電離。 這些高能反沖電子有時被稱為 J 射線或碰撞電子。

2.2.1 波耳的計算——古典情況 Bohr's Calculation - The Classical Case

2.2.2 貝特-布洛赫公式 The Bethe-Bloch Formula

平均激發勢 The Mean Excitation Potential

殼層和密度修正 The Shell and Density Corrections

其他修正 Other Corrections

2.2.3 能量相依性 Energy Dependence

2.2.4 dE/dx 的縮放定律 Scaling Laws for dE/dx

2.2.5 質量阻止本領 Mass Stopping Power

2.2.6 混合物和化合物的 dE/dx　dE/dx for Mixtures and Compounds

2.2.7 貝特-布洛赫公式的限制和其他效應 Limitations of the Bethe-Bloch Formula and Other Effects

2.2.8 穿隧效應 Channeling

2.2.9 射程 Range

2.3 契忍可夫輻射 Cherenkov Radiation

當帶電粒子在介質中的移動速度快於同一介質中的光速時，就會產生契忍可夫輻射。這個速度為

$$\begin{array}{}\text{(2.55)}& \beta c=v=c/n\text{，}\end{array}$$ 其中

$n$ 是折射率，

$c$ 是真空中的光速。因此，發射契忍可夫輻射的粒子必須具有速度

$$\begin{array}{}\text{(2.56)}& v_{\text{粒子}}>c/n\text{。}\end{array}$$ 在這種情況下，會產生電磁波的衝擊波，就像超音速飛機會產生聲波衝擊波一樣。如圖 2.9 所示，衝擊波形成的同調波前呈圓錐形，並以明確定義的角度發射出去，相對於粒子的軌跡的發射角為

$$\begin{array}{}\text{(2.57)}& \cos {\theta }_{\text{C}}=\frac{1}{\beta n(\omega )}\text{。}\end{array}$$請注意，該角度取決於粒子的速度

$v$ 和發射輻射的頻率

$\omega$。

然而，以上的簡單描述也適用在無限厚度的輻射介質中行進的粒子。當然，更現實的情況是粒子只穿過有限厚度的材料。在這種情況下，計算契忍可夫輻射的頻率和角分佈有點困難，但只需要古典電動力學（例如，參見 ^[1]，第 14 章）。當帶電荷

$ze$ 的粒子以等速直線運動通過厚度為

$L$ 的材料板時，它在每單位頻率區間 向 每立體角 輻射的能量為

$$\begin{array}{}\text{(2.58)}& \frac{{\text{d}}^{2}E}{\text{d}\omega \text{d}\mathrm{\Omega }}=z^2\frac{\alpha \hslash }{c}n{\beta }^2{\sin }^2(\theta ){\left|\frac{\omega L}{2\pi \beta c}\frac{\sin \xi (\theta )}{\xi (\theta )}\right|}^2\text{，}\end{array}$$

找出出處

其中

$\alpha$ 是精細結構常數，

$n$ 是介質的折射率，且

$$\begin{array}{}\text{(2.59)}& \xi (\theta )=\frac{\omega L}{2\beta c}(1-\beta n\cos \theta )\end{array}$$ 其中

$(\sin \xi /\xi {)}^2$ 這一項可以理解為描述夫朗和斐繞射。因此，契忍可夫輻射用類似繞射的模式發射，也就是以

$\cos \theta =(\beta n{)}^{-1}$ 為中心的最大峰，然後跟隨較小的峰。

2.4 電子和正子的能損 Energy Loss of Electrons and Positrons

2.4.1 碰撞能損 Collision Loss

2.4.2 輻射能損——制動輻射 Energy Loss by Radiation: Bremsstrahlung

2.4.3 電子－電子間的制動輻射 Electron-Electron Bremsstrahlung

2.4.4 臨界能量 Critical Energy

2.4.5 輻射長度 Radiation Length

2.4.6 電子射程 Range of Electrons

2.4.7 β 電子的吸收 Absorption of β Electrons

2.5 多重庫侖散射 Multiple Coulomb Scattering

2.6 能量散亂：能損分佈 Energy Straggling: The Energy Loss Distribution

2.7 光子的交互作用 The Interaction of Photons

光子在物質中的行為（在我們的例子中是 X 射線和 γ 射線）與帶電粒子的行為截然不同。特別是光子不帶電荷，使得與原子電子的許多非彈性碰撞成為不會發生在光子身上，這種非彈性碰撞具有帶電粒子的特徵。相反地，X 射線和 γ 射線在物質中的主要交互作用是：

1. 光電效應
2. 康普頓散射（包括湯姆森散射和瑞利散射）
3. 成對產生

也可能出現但不太常見的是核解離反應，例如

$(\gamma ,n)$，我們將在討論中忽略它。

這些反應解釋了 X 射線和 γ 射線的兩個主要定性特徵：

1. X 射線和 γ 射線在物質中的穿透力是帶電粒子的許多倍，以及
2. 當一束光子穿過一定厚度的物質時，它的能量不會降低（degrade），而是強度會減弱（attenuate）。

第一個特點當然是由於這三個過程的散射截面遠小於非彈性電子碰撞的散射截面。然而，第二個特徵是由於上述三個過程是「透過吸收或散射從光束中完全去除了光子」。因此，直接通過的光子是那些根本沒有受到任何相互作用的光子；所以說，它們保留了原本的能量，但是相互作用使得光子總數減少。其實，光子束強度的衰減可以表達成隨著厚度而變化的指數關係，即

$$\begin{array}{}\text{(2.101)}& I(x)=I_0\exp (-\mu x)\text{，}\end{array}$$ 其中

• $I_0$：入射光束的強度
• $x$：吸收體的厚度
• $\mu$：吸收係數，量綱為
  $[\mathrm{L}{]}^{-1}$

吸收係數

$\mu$ 是吸收材料的特徵量，與所有交互作用的總散射截面直接相關。這是討論 γ 射線偵測器時經常提到的一個量。然而，在轉向吸收係數的計算之前，讓我們先分別討論這三個過程。

2.7.1 光電效應 Photoelectric effect

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光電效應涉及原子電子吸收光子，隨後電子從原子中射出。 出射電子的能量為

$$\begin{array}{}\text{(2.102)}& E=h\nu -\text{B.E.}\text{，}\end{array}$$ 其中

$\mathrm{B}.\mathrm{E}.$ 是電子的結合能（游離能）。

由於自由電子不能吸收光子也不能保持動量，光電效應總是發生在束縛電子上，原子核吸收反衝動量。圖 2.21 顯示了典型光電效應散射截面，它是入射光子能量的函數。可以看出：在高於原子（K 殼層）最高電子結合能的能量下，散射截面相對較小，但隨著接近 K 殼層能量而迅速增加。就在這一點之後，散射截面急劇下降，因為 K 電子不再可用於光電效應。這種下降被稱為 K 吸收邊。低於此能量，散射截面再次上升，並隨著 L、M 等殼層通過而下降。這些分別稱為 L 吸收邊、M 吸收邊等等。

理論上，由於原子電子狄拉克波函數的複雜性，光電效應很難嚴格處理。 然而，對於高於 K 殼層的光子能量，幾乎總是（只？）涉及 K 電子。假設光電效應只涉及 K 電子，並且能量是非相對論性（即

$hv\ll m_{\text{e}}{c}^2$）的話，就可以用波恩近似來計算橫截面。在這種情況下可得到，每個原子的散射截面為

$$\begin{array}{}\text{(2.103)}& {\sigma }_{\text{photo}}=4{\alpha }^4\sqrt{2}{Z}^5{\sigma }_0{\left(\frac{m_{\text{e}}{c}^2}{h\nu }\right)}^{7/2}\text{，}\end{array}$$ 其中

${\sigma }_0=8\pi r_{\text{e}}^2/3=6.651\times {10}^{-25}{\text{cm}}^2$；

$\alpha =1/137$。

對於更接近 K 吸收邊的能量，(2.103) 式必須乘以一個校正因子，得到每個原子的散射截面為

$$\begin{array}{}\text{(2.104)}& {\sigma }_{\text{photo}}={\sigma }_0\frac{2^7\pi (137{)}^3}{Z^2}{\left(\frac{{\nu }_{\text{K}}}{\nu }\right)}^4\frac{\exp (-4\xi {\cot }^{-1}\xi )}{1-\exp (-2\pi \xi )}\text{，}\end{array}$$ 其中

$h{\nu }_{\text{K}}=(Z-0.003{)}^2{m}_{\text{e}}{c}^2{\alpha }^2/2$，

$\xi =\sqrt{{\nu }_{\text{K}}/(\nu -{\nu }_{\text{K}}))}$。當

$\nu$ 很接近

${\nu }_{\text{K}}$ 的時候，

${\xi }^{-1}\gg 1$，所以 (2.104) 式可以化簡為

$$\begin{array}{}\text{(2.105)}& {\sigma }_{\text{photo}}=\frac{6.3\times {10}^{-18}}{Z^2}{\left(\frac{{\nu }_{\text{K}}}{\nu }\right)}^{8/3}\text{。}\end{array}$$

L 殼層和 M 殼層的公式也已經被計算出來了，但這些公式比上面的更複雜。讀者可以參考 Davisson ^[2] 以獲得這些結果。

有趣的是注意到橫截面對原子序數

$Z$ 的依賴性。這在一定程度上取決於光子的能量，但是，在 MeV 能量下，這種依賴性為

$Z$ 的 4 次或 5 次方。顯然，

$Z$ 值較高的材料最有利於光電吸收，而且正如在後面的章節中將看到的，這是選擇 γ 射線偵測器時的重要考慮因素。

$$

2.7.3 康普頓散射 Compton scattering

康普頓散射可能是光子相互作用中最容易理解的過程之一。後面我們會提到，這是光子在自由電子上的散射。當然，在物質中，電子是受束縛的； 然而，如果光子能量相對於結合能很高，則後者的能量可以忽略不計，電子可以被認為基本上是自由的。

圖 2.22 說明了這個散射過程。運用能量和動量守恆，可以獲得以下關係。

$$\begin{array}{}\text{(2.106)}& \begin{array}{rl}h{\nu }^{\prime }& =\frac{h\nu }{1+{\gamma }_{\text{c}}(1-\cos \theta )}\text{，}\\ T=h\nu -h{\nu }^{\prime }& =h\nu \frac{{\gamma }_{\text{c}}(1-\cos \theta )}{1+{\gamma }_{\text{c}}(1-\cos \theta )}\text{，}\\ \cos \theta & =1-\frac{2}{(1+{\gamma }_{\text{c}}){\tan }^2{\phi }^2+1}\text{，}\\ \cot \phi & =(1+{\gamma }_{\text{c}})\tan \frac{\theta }{2}\text{，}\end{array}\end{array}$$ 其中

${\gamma }_{\text{c}}=h\nu /m_{\text{e}}{c}^2$。代入上述公式可得到各變量之間的其他關係。

康普頓散射的散射截面是最早使用量子電動力學計算的散射截面之一，稱為克萊因－仁科公式：

$$\begin{array}{}\text{(2.107)}& \frac{\text{d}\sigma }{\text{d}\mathrm{\Omega }}=\frac{r_{\text{e}}^2}{2}\frac{1}{{[1+{\gamma }_{\text{c}}(1-\cos \theta )]}^2}[1+{\cos }^2\theta +\frac{{\gamma }_{\text{c}}^2(1-\cos \theta {)}^2}{1+{\gamma }_{\text{c}}(1-\cos \theta )}]\end{array}$$ 其中

$r_{\text{e}}$ 是古典電子半徑。將此式對所有

$\text{d}\mathrm{\Omega }$ 積分，就得到每個電子發生康普頓散射的總概率（總散射截面）

$$\begin{array}{}\text{(2.108)}& {\sigma }_{\text{c}}=2\pi r_{\text{e}}^2\{\frac{1+{\gamma }_{\text{c}}}{{\gamma }_{\text{c}}^2}[\frac{2(1+{\gamma }_{\text{c}})}{1+2{\gamma }_{\text{c}}}-\frac{\ln (1+2{\gamma }_{\text{c}})}{{\gamma }_{\text{c}}}]+\frac{\ln (1+2{\gamma }_{\text{c}})}{2{\gamma }_{\text{c}}}-\frac{1+3{\gamma }_{\text{c}}}{(1+2{\gamma }_{\text{c}}{)}^2}\}\end{array}$$

補：推導導引
其他教科書交叉索引

湯姆森散射和瑞利散射 Thomson and Rayleigh Scattering

2.7.3 成對產生 Pair Production

p.57 in pdf

2.7.4 電子－質子簇射 Electron-Photon Showers

2.7.5 The Total Absorption Coefficient and Photon Attenuation

2.8 中子的交互作用 The Interaction of Neutrons

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光電效應 | photoelectric effect
康普頓散射 | Compton scattering
湯姆森散射 | Thomson scattering
瑞利散射 | Rayleigh scattering
核解離反應 | nuclear dissociation reactions
克萊因－仁科公式 | Klein-Nishina formula

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1. J.D. Jackson: Classical Electrodynamics 2nd Ed. (John Wiley & Sons, New York 1975) ↩︎

2. C.M. Davisson: "Interaction of Gamma Radiation with Matter" in Alpha-, Beta- and Gamma Ray
   Spectroscopy, ed. by K. Siegbahn (North-Holland, Amsterdam 1968) ↩︎