# 濃度的換算（進階教材）
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## 0. 說明
1. 符號
- **濃度**
- $c_i$：第 $i$ 種溶質的**體積莫耳濃度**。
- $b_i$：第 $i$ 種溶質的**質量莫耳濃度**。
- $v_i$：第 $i$ 種溶質的**體積分率**。體積分率化成百分比即為體積百分濃度。
- $w_i$：第 $i$ 種溶質的**質量分率**。質量分率化成百分比即為質量百分濃度。
- $x_i$：第 $i$ 種溶質的**莫耳分率**。
- **質量**
- $m_i$：第 $i$ 種溶質的質量。
- $m_0$：溶劑的質量。
- $m_\text{tot}$：溶液的質量。
- **體積**
- $V_i$：第 $i$ 種溶質的體積。
- $V_0$：溶劑的體積。
- $V_\text{tot}$：溶液的體積。
- **密度**
- $\rho_i$：第 $i$ 種溶質的密度。
- $\rho_0$：溶劑的密度。
- $\rho$：溶液的密度。
- **莫耳數**
- $n_i$：第 $i$ 種溶質的莫耳數。
- $n_0$：溶劑的莫耳數。
- $n_\text{tot}$：溶液的莫耳數。
- **分子量**
- $M_i$：第 $i$ 種溶質的分子量。
- $M_0$：溶劑的分子量。
- $M_\text{avg}$：溶液的平均分子量。
2. 證明會用到的關係式
- 定義
- $\rho=\dfrac{m_\text{tot}}{V_\text{tot}}$
- $\rho_i=\dfrac{m_i}{V_i}$
- $M_\text{avg}=\dfrac{m_\text{tot}}{n_\text{tot}}$
- $M_i=\dfrac{m_i}{n_i}$
- $c_i=\dfrac{n_i}{V_\text{tot}}$
- $b_i=\dfrac{n_i}{m_0}$
- $v_i=\dfrac{V_i}{V_\text{tot}}$
- $w_i=\dfrac{m_i}{m_\text{tot}}$
- $x_i=\dfrac{n_i}{n_\text{tot}}$
- 定律
- $m_\text{tot}=m_0+\sum_i m_i$
- $n_\text{tot}=n_0+\sum_i n_i$
- $V_\text{tot}=V_0+\sum_i V_i$（體積的加成未必成立，需要另外假設）

## 1. 體積莫耳濃度 vs. 質量分率
- 使用條件：已知溶液密度 $\rho$、溶質分子量 $M_i$
- 公式：
- $\boxed{c_i=\dfrac{\rho}{M_i}w_i}\tag{1a}$
- $\boxed{w_i=\dfrac{M_i}{\rho}c_i}\tag{1b}$
- 證明
- (1a)：$$c_i=\frac{n_i}{V_\text{tot}}=\frac{m_i/M_i}{m_\text{tot}/\rho }=\frac{m_i}{m_\text{tot}}\frac{\rho}{M_i}=\frac{\rho}{M_i}w_i。$$
- (1b)：解 (1a) 的 $w_i$，可得 (1b)。
## 2. 體積莫耳濃度 vs. 體積分率
- 使用條件：已知溶質密度 $\rho_i$、分子量 $M_i$，==體積可加成== $\sum_i V_i=V_0+V_\text{tot}$
- 公式
- $\boxed{c_i=\frac{\rho_i}{M_i}v_i}\tag{2a}$
- $\boxed{v_i=\frac{M_i}{\rho_i}c_i}\tag{2b}$
- 證明
- (2a)：$$c_i=\frac{n_i}{V_\text{tot}}=\frac{m_i/M_i}{V_\text{tot}}=\frac{V_i}{V_\text{tot}}\frac{\rho_i}{M_i}=\frac{\rho_i}{M_i}v_i$$
- (2b)：解 (2a) 的 $v_i$，可得 (2b)。
## 3. 體積莫耳濃度 vs. 莫耳分率
- 使用條件：已知溶液密度 $\rho$、溶液平均分子量 $M_\text{avg}$
- 公式
- $\boxed{c_i=\dfrac{\rho}{M_\text{avg}}x_i}\tag{3a}$
- $\boxed{x_i=\dfrac{\rho}{M_\text{avg}}c_i}\tag{3b}$
- 證明
- (3a)：$$c_i=\dfrac{n_i}{V_\text{tot}}=\frac{n_i}{V_\text{tot}}\frac{\rho /M_\text{avg}}{\rho/M_\text{avg}}=\dfrac{n_i}{n_\text{tot}}\frac{\rho}{M_\text{avg}}=\frac{\rho}{M_\text{avg}}x_i。$$
- (3b)：解 (3a) 的 $x_i$，可得 (3b)。
## 4. 體積莫耳濃度 vs. 質量莫耳濃度
- 使用條件：已知溶液密度 $\rho$、所有溶質的分子量 $M_i$、所有溶質的體積莫耳濃度 $c_i$ *或* 質量莫耳濃度 $b_i$（$i=1,\ldots,n$）
- 方程式
- $\boxed{c_i=\dfrac{b_i\rho}{1+\sum_i b_iM_i}}\tag{4a}$
- $\boxed{b_i=\dfrac{c_i}{\rho-\sum_i c_iM_i}}\tag{4b}$
- 證明
- (4a)：假設溶劑質量為 $m_0$，則$$\begin{align}c_i&=\dfrac{n_i}{V_\text{tot}}=\frac{n_i}{m_\text{tot}/\rho}=\frac{n_i\rho}{m_0+\sum_im_i}\\&=\frac{n_i\rho}{m_0+\sum_i n_iM_i}=\frac{(n_i/m_0)\rho}{1+\sum_i (n_i/m_0)M_i}=\frac{b_i\rho}{1+\sum_i b_iM_i}，\end{align}$$ 其中我們用到了 $m_\text{tot}=\rho V_\text{tot}$、$m_\text{tot}=m_0+\sum_i m_i$ 和 $m_i=n_iM_i$。所以，如果知道所有溶質的質量莫耳濃度 $b_i$，就可以算所有溶質的體積莫耳濃度 $c_i$。
- (4b)：假設溶劑質量為 $m_0$，則 $$\begin{align}b_i&=\dfrac{n_i}{m_0}=\frac{n_i/V_\text{tot}}{m_0/V_\text{tot}}=\frac{c_i}{\left(m_\text{tot}-\sum_i m_i\right)/V_\text{tot}}\\&=\frac{c_i}{\rho-\sum_i m_i/V_\text{tot}}=\frac{(n_i/m_0)\rho}{1+\sum_i (n_i/V_\text{tot})M_i}=\frac{c_i}{\rho-\sum_i c_iM_i}，\end{align}$$ 其中我們一樣用到了 $m_\text{tot}=\rho V_\text{tot}$、$m_\text{tot}=m_0+\sum_i m_i$ 和 $m_i=n_iM_i$。所以，如果知道所有溶質的體積莫耳濃度 $c_i$，就可以算所有溶質的質量莫耳濃度 $b_i$。
- 特例：當==溶質只有一個==，而且已知溶液密度 $\rho$ 和它的分子量 $M$，則它的體積莫耳濃度 $c$ 與質量莫耳濃度 $b$ 有簡單的公式：
- $\boxed{c=\dfrac{b\rho}{1+bM}}\tag{4c}$
- $\boxed{b=\dfrac{c}{\rho-cM}}\tag{4d}$
## 5. 質量分率 vs. 莫耳分率
- 使用條件：已知溶質分子量 $M_i$、溶液平均分子量 $M_\text{avg}$
- 公式
- $\boxed{w_i=\dfrac{M_i}{M_\text{avg}}x_i}\tag{5a}$
- $\boxed{x_i=\dfrac{M_\text{avg}}{M_i}w_i}\tag{5b}$
- 證明
- 將 (1a)、(2a) 相等，$\dfrac{\rho}{M_i}w_i=\dfrac{\rho}{M_\text{avg}}x_i$，就可解得 (5a)、(5b)。
## 6. 質量分率 vs. 質量莫耳濃度
## 7. 莫耳分率 vs. 質量莫耳濃度