# 2020年7月28日 牛頓運動定律的應用
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## 第一階段：隨機抽問
1. （簡答題）為什麼 $a_c=\dfrac{v^2}{r}$？
2. （簡答題）為什麼 $\omega=\dfrac{v}{r}$？
3. （簡答題）為什麼 $L=mr^2\omega$？
4. （簡答題）列舉三個移動和轉動的公式或物理量的定義。
5. （證明題）說明向心力為什麼不會做功。（哪些力也不會做功？）
6. （證明題）證明簡諧運動的角頻率為 $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$。
7. （證明題）證明小角度單擺的週期為 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$。
8. （證明題）證明彈簧－質量系統的力學能為 $E=\dfrac{1}{2}kx_m^2$，$k$ 是彈簧常數，$x_m$ 是振幅。
9. （簡答題）等速率圓周運動與簡諧運動有什麼關係？
10. （是非題、簡答題）彈簧－質量系統在鉛直擺放時與水平擺放時，週期有差嗎？為什麼？

### 答題狀況
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | -- |
| +0 | +2 | +2 | +2 | +2 | +2 | +2 | +2 | +2 | +2 |

說明：從7月30日上課開始，計分方式為
- 完整答對得2分，
- 依靠口頭提示且完整答對得1分，
- 其他情況得0分。

請注意依靠書面提示也屬於其他狀況。

## 第二階段：觀念統整
### 等速率圓周運動 Uniform Circular Motion
#### 一、重要公式回顧
$\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f$
$v=\omega r$
$a_c=\omega^2 r=\dfrac{v^2}{r}$

#### 二、運動的法向與切向（補充，超出課綱）
一個在曲線上運動的物體，其速度（作為時間的函數）可以寫成 $$\mathbf{v}(t)=v(t)\frac{\mathbf{v}(t)}{v(t)}=v(t)\hat{\mathbf{e}}_t(t)，$$ 其中 $v=|\mathbf{v}|$ 是速度量值（即速率），$\hat{\mathbf{e}}_t=\frac{\mathbf{v}}{v}$ 是一個單位向量，它在任一時刻都與運動方向相切，稱為**切向單位向量**（tangent unit vector），注意，$\hat{\mathbf{e}}_t$ 的方向會隨著時間變化。（這裡的所有量一般都會隨時間變化。）

依加速度定義和積法則（$(fg)'=f'g+fg'$），我們可以寫出 $$\mathbf{a}=\dfrac{\text{d}\mathbf{v}}{\text{d}t}=\hat{\mathbf{e}}_t\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}+v\dfrac{\text{d}\hat{\mathbf{e}}_t}{\text{d}t}$$ 但是我們可以證明 $$\dfrac{\text{d}\hat{\mathbf{e}}_t}{\text{d}t}=\dfrac{v}{\rho}\hat{\mathbf{e}}_n，$$ 其中 $\rho$ 是曲率半徑（radius of curvature），而且 $\hat{\mathbf{e}}_n$ 是一個單位向量，它在任一時刻都與運動方向垂直，稱為**法向單位向量**（normal unit vector）。證明如下，由質點的觀點來看切向單位向量，考慮 $t$ 時刻與下一瞬間（例如 $t+\Delta t$ 時刻，$\Delta t$ 為很短的時間間隔）的切向單位向量的角位移 $\Delta \theta$，它對應到變化量 $\Delta \hat{\mathbf{e}}_t$ 所張出的角，而且 $\Delta \hat{\mathbf{e}}_t$ 的方向幾乎垂直於切向，所以是法向（normal direction），但法向有兩種選擇，我們選擇指向曲線的密切圓中心的方向為 $\hat{\mathbf{e}}_n$。於是，$$\Delta \hat{\mathbf{e}}_t=\Delta \theta~\hat{\mathbf{e}}_n。$$ 然後計算 $$\dfrac{\Delta \hat{\mathbf{e}}_t}{\Delta t}=\dfrac{\Delta \theta}{\Delta t}\hat{\mathbf{e}}_n，$$ 但我們有 $v\Delta t=\rho\Delta\theta$，最後令 $\Delta t\to0$ 就可以得到 $$\dfrac{\text{d}\hat{\mathbf{e}}_t}{\text{d}t}=\dfrac{v}{\rho}\hat{\mathbf{e}}_n。$$

結論是，加速度可以分解成「切向」、「法向」這一組分量，$$\begin{align}\mathbf{a}(t)&=\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}\hat{\mathbf{e}}_t+\dfrac{v^2}{\rho}\hat{\mathbf{e}}_n\\&=a_t\hat{\mathbf{e}}_t+a_n\hat{\mathbf{e}}_n，\end{align}$$ 其中 $$a_t=\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}$$ 稱為**切向加速度**（tangential acceleration），$$a_n=\dfrac{v^2}{\rho}$$ 稱為**法向加速度**（normal acceleration）。法向可以分為向心（centripetal）和離心（centrifugal）方向，兩者取決於指向或指離密切圓中心。由於上述 $\hat{\mathbf{e}}_n$ 的方向選擇，我們定義的法向加速度其實就是**向心加速度**（centripetal acceleration）。

### 三、移動與轉動的類比
其他類比：
$F=\dfrac{\Delta p}{\Delta t}$ vs. $\tau=\dfrac{\Delta L}{\Delta t}$
$p=mv$ vs. $L=rmv$ （當 $\mathbf{r}$ 與 $\mathbf{p}$ 垂直）
$\boldsymbol\tau =\mathbf{r}\times \mathbf{F}$
$\mathbf{L} =\mathbf{r}\times \mathbf{p}$

### 四、轉動動能與轉動慣量（補充，超出課綱）
考慮一旋轉體以角速度量值 $\omega$ 繞著固定軸旋轉，把旋轉體視為質點系統，第 $i$ 個質點的質量為 $m_i$，速度量值為 $v_i$ $(i=1,2,\ldots,n)$，則系統的總線動能為 $$\begin{align}K=\sum^n_{i=1}\dfrac{1}{2}m_iv_i^2=\sum^n_{i=1}\dfrac{1}{2}m_i(r_i\omega)^2=\dfrac{1}{2}\left(\sum^n_{i=1}m_i r_i^2\right)\omega^2\end{align}，$$ 今定義一物理量 $$I=\sum^n_{i=1}m_i r_i^2，$$ 就可以把動能寫成 $$K=\dfrac{1}{2}I\omega^2，$$ 可與 $$K=\dfrac{1}{2}mv^2$$ 類比。

### 簡諧運動 Simple Harmonic Motion
#### 一、運動方程式
- $x=x_m\sin\omega t$，$x_m$ 為振幅
- $v=v_m\cos\omega t$，$v_m=\omega x_m$ 為速度振幅
- $a=-a_m\sin\omega t$，$a_m=\omega^2 x_m$ 為加速度振幅
- 對任意時刻，我們有 $a=-\omega^2 x$

#### 二、力與運動分析
假設一個振動系統（如彈簧）的恢復力形式滿足虎克定律 $F=-kx$，由牛頓第二運動定律和加速度定義可知 $$m\dfrac{\text{d}^2 x}{\text{d}t^2}=-kx$$ 或 $$\ddot{x}+\omega^2 x=0，$$ 其中 $\ddot{x}$ 代表位置對時間的二次導數，並定義 $\omega^2\equiv\dfrac{k}{m}$（待會就知道它的意義）。這是一個微分方程式，其解為 $$x(t)=A\sin{\omega t}+B\cos{\omega t}$$ 或 $$x(t)=R\sin{(\omega t+\delta)}，$$ 其中 $A$、$B$、$R$、$\delta$ 都是常數，由運動的初始條件所決定。我們一般採用後者的形式，且令 $\delta=0$（運動的初始位置為零），就得到常見的那幾個運動方程式。
[Desmos：等速率圓周運動與關係](https://www.desmos.com/calculator/btwyvf7vy6)

## 第三階段：解答課前提問
### p.111
$\cot \theta-2\cos\theta>0\implies \theta<\dfrac{\pi}{6}$
[Desmos：$k$ 與 $\theta$ 關係圖](https://www.desmos.com/calculator/kvfkx9oke2)
### p.112
質心加速度 $\mathbf{a}_{\text{CM}}=\dfrac{\sum_i m_i \mathbf{a}_i}{\sum_i m_i}=\dfrac{\mathbf{F}_\text{tot}}{M}$
相對加速度 $\mathbf{a}_{12}=\mathbf{a}_1-\mathbf{a}_2$
### p.117
平行力
### p.122
以 $x$ 軸為轉軸，$F(\cos\theta)\dfrac{\ell}{2}=mg\dfrac{\ell}{2}$
以 $y=-\ell$ 軸為轉軸，$Fr_\perp=mg\dfrac{\ell}{2}$
### p.135
$\dfrac{1}{2}\Bigg[\left(\dfrac{4\pi R^3}{3}+\dfrac{m}{d}\right)-\left|\dfrac{4\pi R^3}{3}-\dfrac{m}{d}\right|\Bigg]=\left\{\begin{array}{l}\dfrac{m}{d}&\text{if}~\dfrac{4\pi R^3}{3}>\dfrac{m}{d}\\\dfrac{4\pi R^3}{3}&\text{if}~\dfrac{4\pi R^3}{3}<\dfrac{m}{d}\end{array}\right.$
### p.142
視重（apparent weight）
慣性系之下，視重＝實重－支撐力（如浮力）
非慣性系之下，視重＝實重＋假力