# 李宏毅_Linear Algebra Lecture 5: Matrix-vector Product
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## Linear Algebra Lecture 5: Matrix-vector Product
[課程連結](https://www.youtube.com/watch?v=K2zzvo28X0g&list=PLJV_el3uVTsNmr39gwbyV-0KjULUsN7fW&index=5)
### Matrix-Vector Product

假設Matrix的維度為mxn，那Vector的維度必需為nx1，否則無法計算。

計算的過程也非常簡單，將Vector的第1個元素乘上Matrix的Column 1元素，第2個元素乘上Matrix的Column 2的元素，依此類推，每個Row最後元素加總起來就是結果。
### Matrix-Vector Product

整個式子就跟解多元一次聯立方程式一樣，左邊部份就是Matrix-$A$與Vector-$x$相乘，而得到的結果就是Vector-$b$，因此$Ax=b$。

以線性系統來看的話，描述線性系統的參數就是Matrix-$A$(mxn)，輸入的部份則為$x$(nx1)，輸出即為$Ax$。
### Row Aspect

以Row的角度來看，就是$A$的每一個row都跟vector-$x$做一次inner product，然後得到一個scalar
### Column Aspect

從Column的角度來看，將$A$的每一個column都看成一個vector，然後乘上相對應索引的vector-$x$的元素，再將這些vector加總，就是Matrix與Vector的product。
### Example

上面範例說明兩個不同觀點的計算過程。
### Matrix-Vector Product

Matrix跟Vector要做Product的時候，其維度一定要相同，Matrix(mxn)，Vector(nx1)，因Matrix-$A$是無法做Product，但Matrix-$A'$、Matrix-$A''$是可以的。
### Properties of Matrix-Vector Product

假設$A$、$B$是Matrix，維度皆為(mxn)，$u, v$是vector，$R^n$，$c$是scalar：
* $A(u+v)=Au+Av$
* $A(cu)=c(Au)=(cA)u$
* $(A+B)u=Au+Bu$
* $A0$得到一個mx1的0向量
* $0v$得到一個mx1的0向量
* $l_nv=v$，identity matrix乘上vector會得到本身vector
### Properties of Matrix-Vector Product

假設A、B都是Matrix，維度為mxn，任意Vector-w與它們相乘都會相等，即$Aw=Bw$，則$A=B$。

證明如下：
* 假設$A$乘上standard vector-$e_j \in R^n$，以Column的角度來看，很明顯的，$A_{e_1}$的結果是只在第1個元素位置上有值，其餘皆為0，加總就是$a_1$。
* 假設$A_{e_1}=B_{e_1}$即代表$a_1=b_1$
* 以此類推可得$a_n=b_n$
* 以此可證，$A=B$

要證明兩個Matrix是否相同，只要利用standard vector驗證輸出是否相同就可以。

註：standard vector $e_j$代表只在j的地方為1，其餘為0。