## 一、什么是LVR
金融市场面临的一个问题：流动性提供者因套利者利用由**价格延迟**或**信息优势**引起的价格差异而遭受损失。而且目前大部分crpyto本身的定价权在CEX上，被动做市的AMM策略是需要套利者驱动来完成价格影响的，也就是说，被动做市的AMM必然是会有延迟价格问题，是很多Defi协议的根本性痛点。

例子：假如流动性在协议A是$100m，在协议B是$1m。价格必然是由协议A主导，然后经过套利者传到到协议B。从而让协议B的价格追齐协议A的价格。但这会导致B的价格发生 loss and rebalance，**这个情况Herrmann定义为LVR**。

## 二、已有方案
已有的方案都是从手续费上解决，让套利者增加成本，从而补贴回lp，这个方案也叫做：**动态手续费。**
1. Uniswap v3：lp可以选择不同的静态手续费，需要lp手动管理做市。缺点：容易导致流动性割裂。
2. Trader Joe v2.1: 在池子内部实现动态手续费。
3. Curve V2：在池子内部实现动态手续费
4. Herrmann 2022年提出了在Mc-AMM：先前拍卖的实例，用于获得从区块中捕获套利利润的权利，这一想法最初由Gnosis的Alex Herrmann在2022年提出，称为“MEV捕获AMM”（McAMM）。

Herrmann 在2022年不仅提出了LVR的定义，而且提出了拍卖区块的概念。**但重要的是，这给后来的开发者带来了关键性的突破性思考方向：Auction（拍卖）。**

## 三、Related Work
目前被动做市依然面临的价格延迟问题改进方案都是主动进行价格发现。有多个做市商进行荷兰拍卖来做价格发现，是一个很好对做法，现有使用荷兰拍卖的赛道和协议有：
1. 清算机制：MakerDAO 和 Euler Protocol 使用荷兰拍卖作为清算债务的机制。在这种场景中，清算是指当抵押品的价值低于债务时，自动出售抵押品以偿还债务。
2. DEX：DutchX 是一个使用荷兰拍卖机制的DEX，允许用户以递减价格交易代币，直到找到市场平衡点。
意图模式：意图模式的提出中很关键的一部分是对意图（订单）对定价，和选择，这里创新的点在于采用拍卖的方式来进行良性竞争:
3. 1inch： 在Fusion Protocol 中使用荷兰拍卖的方法，通过荷兰拍卖来确定订单的最终价格。1inch Fusion调研
4. Cowswap: 使用批次拍卖的方法，依赖Solver进行链下求解，确定最终价格。
5. UniswapX：通过荷兰拍卖订单的方式来实现MEV less和Gasless，进行价格发现。

## 四. am-AMM: An Auction-Managed AMM
这篇文章提出的“拍卖管理AMM”（am-AMM），旨在设置“**pool manager**”进行拍卖来减少对有信息订单流的损失，并通过**设置手续费费用f**来最大化对无信息订单流的收入。该机制**激励复杂的市场参与者捕捉套利利润**并设置费用以优化来自零售交易者的收入，最终在均衡状态下比任何固定费用AMM吸引更多的流动性。整个算法很简单：
1. 代理人出价租金 R拍卖未来的第K个区块
2. 没有预定的结束时间，参与者可以随时进入并出
3. 出价最高的代理人赢得拍卖并被宣布为池管理者，拥有确定交易费 f 并赚取所有费用的权利，但未来的Lp可能会根据租金R调整。

这个算法的关键就是：怎么找最佳手续费（可惜论文里没有阐述）。而且，这里的论文有两个关键难题：
1. 怎么样才可以做pool manager
2. 如何用理论判断能吸引更多的流动性，找到最佳手续费

### 4.1. 怎么样才可以做pool manager
要成为pool manager，需要参与特殊的在线拍卖，称为“Harberger lease”拍卖。在这个拍卖中，您需要以每个区块的租金出价。出价最高的人将成为该池的管理者，并且需要支付租金给流动性提供者。作为管理者： **能够动态设置交换费率（最高上限为fmax），并收取池中收集的所有交换费用**。

#### 4.1.1. Harberger lease
Harberger lease是一种特殊的在线拍卖，被用来确定谁有权成为资金池的管理员。这种拍卖是一个**持续进行的英式拍卖**，竞标以每个区块的租金来表达。在这种拍卖中，出价最高的人成为管理员，支付租金给流动性提供者，并且可以动态地设置交换费率，并收取资金池中收集的所有交换费用。这使得管理员可以通过每个区块进行小的套利交易。

> 英式拍卖，又称为增价拍卖，是最常见的拍卖形式之一。在这种拍卖方式中，竞拍者通过逐渐提高出价的方式竞争某个商品或服务。拍卖的过程大致如下：
> 1. 开始与最低价格：拍卖从一个最低价格开始，这个价格可以是卖方设定的底价，也可以是拍卖师根据市场情况和预估值确定的。（**新的出价由上一轮的pool manager确定，而新的出价不需要立即生效，而是会被K个区块的时间延迟。出价必须包括一个K参数，并且新的出价不需要支付价格，但最低价必须是租金的倍数，并且至少为租金**）
>2. 递增出价：竞拍者根据自己对商品的估值，相互竞价。每个随后的出价都必须高于当前的最高出价。通常，会有一个最小的出价增量，确保竞价逐步上升。
>3. 结束条件：拍卖持续进行，直到没有更高的出价出现。这通常通过设置一个“倒计时”，在最后一次出价后开始。如果在倒计时结束前没有更高的出价，拍卖结束。
>4. 成交：拍卖结束时，最高出价者赢得拍卖，并必须按照其出价支付购买商品或服务。

#### 4.1.2. 设计本质

传统的AMM是 lp <=> 套利者是双方的博弈关系，传统的AMM的博弈关系中是：套利者赚钱，lp亏钱，这几乎是一种难以解决的问题，因为在Defi丢失定价权的前提下，价格的传播是由套利者解决的，在很大的价格波动上，套利者的赚钱越多，lp的损失就越多。

而这篇论文就是在引入一个新的模型本质是一种博弈关系：Lp <=> 套利者 <=> pool manager，我们需要找到三方的博弈平衡。

#### 4.1.3. am-amm均衡

> 该模型本质是一种博弈关系：Lp <=> 套利者 <=> pool manager，我们需要找到三方的博弈平衡。

**定义Fixed-Fee AMM Model (利率固定的AMM）:**

$$\begin{aligned}
\Pi_{\mathrm{ff}}^{\mathrm{LP}}(f, L) & \triangleq f H(f, L)-\mathrm{ARB} \_\mathrm{PROFIT}(f, L)-r V(L) \\
& =\left(f H_0(f, L)-\mathrm{AP}_0(f)-r\right) V(L),
\end{aligned}$$

其中，第一项是来自噪音交易者的收入，第二项是给套利者的损失，最后一项是资本/机会成本。在LPs自由进出的情况下，我们根据零利润条件定义固定费率AMM中的均衡：$\Pi_{\mathrm{ff}}^{\mathrm{LP}}\left(f, L^*\right)=0$。我们定义此刻的流动性为$L_{\mathrm{ff}}(f)$

**定义am-AMM Model（固定拍卖对AMM）：**

Pool Manager得到的损益表（P&L）：（全部的手续费收益 + 套利利润 - 未能捕获的利润）- 租金:

$$\begin{aligned}
\Pi_{\mathrm{mm}}^{\mathrm{MGR}}(R, L) & \triangleq \max _{f \in\left[0, f_{\max }\right]}\left\{f H(f, L)+\mathrm{ARB} \_\mathrm{PROFIT}(0, L)-\mathrm{ARB} \_\operatorname{EXCESS}(f, L)-R\right\} \\
& =\max _{f \in\left[0, f_{\max }\right]}\left\{f H_0(f, L)+\mathrm{AP}_0(0)-\mathrm{AE}_0(f)\right\} V(L)-R .
\end{aligned}$$

LP得到的损益表（P&L）：租金 - 被套利的套利利润 - 机会成本：

$$\Pi_{\mathrm{mm}}^{\mathrm{LP}}(R, L) \triangleq R-\mathrm{ARB} \_\mathrm{PROFIT}(0, L)-r V(L)=R-\left(\mathrm{AP}_0(0)+r\right) V(L)$$

**定义amm-AMM平衡理论：**

当市场中的租金（R∗）和流动性（L∗）达到某种平衡点。该定理说明，在这个平衡点，两种利润条件：$\Pi_{\mathrm{mm}}^{\mathrm{MGR}}\left(R^*, L^*\right)=0$和 $\Pi_{\mathrm{mm}}^{\mathrm{LP}}\left(R^*, L^*\right)=0$——都得到满足：对于所有的手续费f>0，我们可以得到流动性L*会大于$L_{\mathrm{ff}}(f)$。俗话解释：当对手盘平衡的时候（非fomo状态），基于拍卖对AMM能吸引更多的流动性。显然，为了尽可能限制套利者的利润，手续费会尽可能会高：

$$f_{\text {opt }} \in \underset{f \in\left[0, f_{\max }\right]}{\operatorname{argmax}} f H_0\left(f, L^*\right) .$$

相关的变量的定义建议直接看原文：https://arxiv.org/abs/2403.03367

> 在研究和设计自动做市商（AMM）模型特别是am-AMM（拍卖管理的自动做市商）时，强调均衡状态的重要性，主要是为了证明：
“**均衡状态时，市场在没有外部干预时自然达到的一种状态，其中供给和需求达到平衡，没有任何经济体有动机改变其当前策略。（不需要外部激励来补偿lp亏损）**”

#### 4.1.4. 证明
假如我们要满足条件$\Pi_{\mathrm{mm}}^{\mathrm{MGR}}\left(R^*, L^*\right)=0$和 $\Pi_{\mathrm{mm}}^{\mathrm{LP}}\left(R^*, L^*\right)=0$，需要满足G(L*) = 0：
$G(L) \triangleq \max _{f \in\left[0, f_{\text {max }}\right]} f H_0(f, L)-\mathrm{AE}_0(f)-r$ ，随着流动性趋向于无穷大，和趋向于0，我们可以知道：
$$\begin{gathered}
\lim _{L \rightarrow \infty} G(L)=\max _{f \in\left[0, f_{\max }\right]}-\mathrm{AE}_0(f)-r=-\mathrm{AE}_0(0)-r<0 . \\
\lim _{L \rightarrow 0} G(L) \geq \lim _{L \rightarrow 0} f H_0(f, L)-\mathrm{AE}_0(f)-r=\infty>0,
\end{gathered}$$
对于任意的$$f \in\left(0, f_{\max }\right]$$ 根据中值定理，必定存在一个均衡 (R*，L*)。
我们还需要证明存在一个租金Rmax，lp在不发生亏损当情况下，pool manager的收益大于0。
找到一个Rmax：
$$R_{\max } \triangleq\left(\mathrm{AP}_0(0)+r\right) V\left(L_{\max }\right)$$
显然，当$$\Pi_{\mathrm{mm}}^{\mathrm{LP}}\left(R^*, L^*\right)=0$$时，意味着lp的收入全部来源于租金，我们可以得到：
$$\begin{aligned}
\Pi_{\mathrm{mm}}^{\mathrm{MGR}}\left(R_{\max }, L_{\max }\right) & =\left(\mathrm{AP}_0(0)+\max _{f \in\left[0, f_{\text {max }}\right]} f H_0\left(f, L_{\text {max }}\right)-\mathrm{AE}_0(f)\right) V\left(L_{\text {max }}\right)-R_{\text {max }} \\
& \geq\left(\mathrm{AP}_0(0)+f^* H_0\left(f^*, L_{\text {max }}\right)-\mathrm{AE}_0\left(f^*\right)\right) V\left(L_{\text {max }}\right)-R_{\text {max }} \\
& =\left(\mathrm{AP}_0(0)+\mathrm{AP}_0\left(f^*\right)+r-\mathrm{AE}_0\left(f^*\right)\right) V\left(L_{\max }\right)-R_{\max } \\
& =\left(\mathrm{AP}_0(0)+\mathrm{AP}_0\left(f^*\right)+r-\mathrm{AE}_0\left(f^*\right)\right) V\left(L_{\max }\right)-\left(\mathrm{AP}_0(0)+r\right) V\left(L_{\max }\right) \\
& =\left(\mathrm{AP}_0\left(f^*\right)-\mathrm{AE}_0\left(f^*\right)\right) V\left(L_{\text {max }}\right) \\
& >0 .
\end{aligned}$$

## 五、总结
论文里对amm-AMM平衡的定义很细节的证明，这里我就不展开了。而且论文末端也对动态手续费，而且动态区块的做了分析。非常复杂。
**优势：**
1. 拍卖达到的均衡状态会有更高的TVL，极大降低了套利者的利润，等价于极大减少LVR，提供lp的收益
2. am-AMM 相比于 ff-AMM 的另一个优势是报价更精确，这是因为 am-AMM 的池运营商在执行对池的套利交易时不需要支付费用，能够纠正更小的价格差异
3. am-AMM 之间流动性提供者和池管理者的风险转移也很重要：在 am-AMM 中，LPs 获得租金支付而不是噪音交易者的费用。由于这些租金支付是预先确定的，在均衡状态下，它们包括了未来噪音交易者费用收入的预期值，与实际的噪音交易者费用收入形成对比，后者以一种块状和随机的方式到达并归池管理者所有，风险厌恶程度更低。

**缺点：**
1. Pool Manager 可以更容易完成夹子攻击（因为有特殊权限），甚至隐私节点也无法保护
2. 拍卖算法太过复杂，需要非常专业的pool manager来完成

本质上来，这篇文章证明了基于拍卖的amm机制会比基于被动做市的能吸引更多lp，给lp的收益会更高。值得一提的是，目前很流行的意图模式都是采用拍卖的机制来进行拍卖意图。