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### 提問：IRR的計算中難免會出現不同的答案（在不同的guess之下），該怎麽選擇正確的結果？
Answer by Roger (2024/09/19): 只要滿足 NPV=0 或是 NFV=0 的解，而且符合題目對 IRR 的範圍限制，都屬於正確答案。

那如果是在實際運用的時候，應該如何選擇？比如算出他的irr既有負有正，那是賺還是不賺？

### Question by 鄒穎麒 (2024/09/22):

投資案A、B算出來的IRR都是0，但是如果用銀行的 interest rate 去算 NPV 投資案 A 會是正的，而投資案 B 會是負的。
問題：這種狀況下IRR不能反應出哪一筆投資案比較好，是不是就找銀行利率或者是通貨膨脹率，去評估誰比較好?

| 投資案 | 第一年 | 第二年 | 第三年|
| -------- | ----- | ---- | ---- |
| 投資案A | 2000 | -1000 | -1000|
| 投資案B | -1000 | -1000 | 2000 |

#### answered by 楊子平 (2024/09/27)

簡答：僅僅只看 IRR 確實無法表示哪個現金流比較好，我們還需要同時考慮這個是個投資機會還是個借貸方案。

詳答：

我們看以下兩組現金流

| 投資案？ | 第一年 | 第二年 | 第三年 |
| -------- | ------ | ------ | ------ |
| A | -2000 | 1100 | 1210 |
| B | 2000 | -1100 | -1210 |

這兩個投資方案算出來的 IRR 完全相同，但是這兩個投資案完完全全就是反向操作，它們同時很棒一點道理都沒有。
不過應該可以很快的就發現，不對啊，第二個投資案不是借貸嗎？借貸方案本來就是利息越高越爛啊。所以Ａ是一個利息很高的好投資，Ｂ是一個利息很高的爛借貸，完全沒有矛盾。

**相信到這裡應該有解決你的問題**。不過容許我再高談闊論一番，同時回復上面Roger的問題。

以上的癥結點是在於，當我們用現金流來表示投資方案的時候，這個投資方案的集合其實同時涵蓋了投資和借貸。而一組現金流是投資還是借貸，會影響我們希望 IRR 高還是低，因此只看 IRR 確實不知道好不好。

這裡會衍伸出一個問題，有時候現金流正負交錯，我們要怎麼知道一組現金流是投資還是借貸？

事實上，對於現金流正負交錯，我們確實不知道那是個投資還是借貸，我們也就確實不太知道我們希望 IRR 高還是低。

然而對於顯然是個投資的方案（所有的負現金流都在正現金流之前）的那些現金流們。可以證明 IRR 高總是會比較好。正式的來說，$IRR \ge r \implies NPV(r) \ge 0$。

證明如下：
- 令現金流是$f_1,f_2,,\cdots, f_m, f_{m+1}, \cdots, f_n$，其中$f_1,f_2,,\cdots, f_m \le 0$、$f_{m+1}, \cdots, f_n \ge 0$
$$
\begin{split}
NPV(r)&=\sum_{i=1}^n f_i (1+r)^{n-i} \\
&=\sum_{i=1}^m f_i (1+r)^{n-i} + \sum_{i=m+1}^n f_i (1+r)^{n-i} \\
&=(1+r)^{n-m} \left ( \sum_{i=1}^m f_i (1+r)^{m-i} + \sum_{i=m+1}^n f_i (1+r)^{-(i-m)} \right )
\end{split}
$$
- $(1+r)^{n-m}$不影響正負，我們只看括號內的部分。
- $\sum_{i=1}^m f_i (1+r)^{m-i}$:
因為$f_i\le 0$ 且 $(1+r)^{m-i} \le (1+IRR)^{m-i}$ (指數為非負)
因此總和$\sum_{i=1}^m f_i (1+r)^{m-i} \ge \sum_{i=1}^m f_i (1+IRR)^{m-i}$
- 同理，對於$\sum_{i=m+1}^n f_i (1+r)^{-(i-m)}$
因為$f_i\ge 0$ 且 $(1+r)^{-(i-m)} \ge (1+IRR)^{-(i-m)}$ (指數為負)
因此總和$\sum_{i=m+1}^n f_i (1+r)^{-(i-m)} \ge \sum_{i=m+1}^n f_i (1+IRR)^{-(i-m)}$
- 綜合以上兩點
$$
\begin{split}
NPV(r)&=(1+r)^{n-m} \left ( \sum_{i=1}^m f_i (1+r)^{m-i} + \sum_{i=m+1}^n f_i (1+r)^{-(i-m)} \right ) \\
&\ge (1+r)^{n-m} \left ( \sum_{i=1}^m f_i (1+IRR)^{m-i} + \sum_{i=m+1}^n f_i (1+IRR)^{-(i-m)} \right ) \\
&=0
\end{split}
$$

Q.E.D.

順帶一提，如果把敘述以及證明的 $\ge$ 都改成 $>$ 、 $\le$ 都改成 $<$ ，這個定理依舊會成立，因此可以得知**顯然是個投資的方案的現金流**的 IRR 只有一個解。

相反的，顯然是個借貸方案（所有的正現金流都在負現金流之前）的那些現金流們會有著跟上面定理相反的結論。

最後我們稍微談談正負交錯的現金流。各位應該都已經知道 IRR 可能會有很多解。這意味著 $NPV(r)$ 會經過 0 多次。那麼仔細想想，這個函數內涵是甚麼？
這意味著，在外界利率持續上升的情況下，這組現金流，居然可以多次切換，一下子是個好東西($NPV(r)>0$)，一下子又是一個爛東西($NPV(r)<0$)。
**在這種狀況下，只看 IRR 完全沒有用（甚至你其實不知道要選哪個 IRR），我們只能從 NPV 是否大於零來判斷是不是一組好的現金流，而這確實需要給定一個利率的外生變數。**