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Answer by Roger (2024/09/19): 只要滿足 NPV=0 或是 NFV=0 的解，而且符合題目對 IRR 的範圍限制，都屬於正確答案。

那如果是在實際運用的時候，應該如何選擇？比如算出他的irr既有負有正，那是賺還是不賺？

投資案A、B算出來的IRR都是0，但是如果用銀行的 interest rate 去算 NPV 投資案 A 會是正的，而投資案 B 會是負的。
問題：這種狀況下IRR不能反應出哪一筆投資案比較好，是不是就找銀行利率或者是通貨膨脹率，去評估誰比較好?

投資案	第一年	第二年	第三年
投資案A	2000	-1000	-1000
投資案B	-1000	-1000	2000

簡答：僅僅只看 IRR 確實無法表示哪個現金流比較好，我們還需要同時考慮這個是個投資機會還是個借貸方案。

詳答：

我們看以下兩組現金流

投資案？	第一年	第二年	第三年
A	-2000	1100	1210
B	2000	-1100	-1210

這兩個投資方案算出來的 IRR 完全相同，但是這兩個投資案完完全全就是反向操作，它們同時很棒一點道理都沒有。
不過應該可以很快的就發現，不對啊，第二個投資案不是借貸嗎？借貸方案本來就是利息越高越爛啊。所以Ａ是一個利息很高的好投資，Ｂ是一個利息很高的爛借貸，完全沒有矛盾。

相信到這裡應該有解決你的問題。不過容許我再高談闊論一番，同時回復上面Roger的問題。

以上的癥結點是在於，當我們用現金流來表示投資方案的時候，這個投資方案的集合其實同時涵蓋了投資和借貸。而一組現金流是投資還是借貸，會影響我們希望 IRR 高還是低，因此只看 IRR 確實不知道好不好。

這裡會衍伸出一個問題，有時候現金流正負交錯，我們要怎麼知道一組現金流是投資還是借貸？

事實上，對於現金流正負交錯，我們確實不知道那是個投資還是借貸，我們也就確實不太知道我們希望 IRR 高還是低。

然而對於顯然是個投資的方案（所有的負現金流都在正現金流之前）的那些現金流們。可以證明 IRR 高總是會比較好。正式的來說，

I R R \geq r ⟹ N P V (r) \geq 0

。

證明如下：

令現金流是
$f_{1}, f_{2},, \dots, f_{m}, f_{m + 1}, \dots, f_{n}$ ，其中
$f_{1}, f_{2},, \dots, f_{m} \leq 0$ 、
$f_{m + 1}, \dots, f_{n} \geq 0$

$\begin{aligned} N P V (r) & = \sum_{i = 1}^{n} f_{i} (1 + r)^{n - i} \\ = \sum_{i = 1}^{m} f_{i} (1 + r)^{n - i} + \sum_{i = m + 1}^{n} f_{i} (1 + r)^{n - i} \\ = (1 + r)^{n - m} (\sum_{i = 1}^{m} f_{i} (1 + r)^{m - i} + \sum_{i = m + 1}^{n} f_{i} (1 + r)^{- (i - m)}) \end{aligned}$
$(1 + r)^{n - m}$ 不影響正負，我們只看括號內的部分。
$\sum_{i = 1}^{m} f_{i} (1 + r)^{m - i}$ :
因為
$f_{i} \leq 0$ 且
$(1 + r)^{m - i} \leq (1 + I R R)^{m - i}$ (指數為非負)
因此總和
$\sum_{i = 1}^{m} f_{i} (1 + r)^{m - i} \geq \sum_{i = 1}^{m} f_{i} (1 + I R R)^{m - i}$
同理，對於
$\sum_{i = m + 1}^{n} f_{i} (1 + r)^{- (i - m)}$
因為
$f_{i} \geq 0$ 且
$(1 + r)^{- (i - m)} \geq (1 + I R R)^{- (i - m)}$ (指數為負)
因此總和
$\sum_{i = m + 1}^{n} f_{i} (1 + r)^{- (i - m)} \geq \sum_{i = m + 1}^{n} f_{i} (1 + I R R)^{- (i - m)}$
綜合以上兩點

$\begin{aligned} N P V (r) & = (1 + r)^{n - m} (\sum_{i = 1}^{m} f_{i} (1 + r)^{m - i} + \sum_{i = m + 1}^{n} f_{i} (1 + r)^{- (i - m)}) \\ \geq (1 + r)^{n - m} (\sum_{i = 1}^{m} f_{i} (1 + I R R)^{m - i} + \sum_{i = m + 1}^{n} f_{i} (1 + I R R)^{- (i - m)}) \\ = 0 \end{aligned}$

Q.E.D.

順帶一提，如果把敘述以及證明的

\geq

都改成

>

、

\leq

都改成

<

，這個定理依舊會成立，因此可以得知顯然是個投資的方案的現金流的 IRR 只有一個解。

相反的，顯然是個借貸方案（所有的正現金流都在負現金流之前）的那些現金流們會有著跟上面定理相反的結論。

最後我們稍微談談正負交錯的現金流。各位應該都已經知道 IRR 可能會有很多解。這意味著

N P V (r)

會經過 0 多次。那麼仔細想想，這個函數內涵是甚麼？
這意味著，在外界利率持續上升的情況下，這組現金流，居然可以多次切換，一下子是個好東西(

N P V (r) > 0

)，一下子又是一個爛東西(

N P V (r) < 0

)。
在這種狀況下，只看 IRR 完全沒有用（甚至你其實不知道要選哪個 IRR），我們只能從 NPV 是否大於零來判斷是不是一組好的現金流，而這確實需要給定一個利率的外生變數。

關於考古題中提到的Performance index
以及 Performance indices of ASR的部分，我有找到張老師的授課內容，給大家參考~