Robotik 1 by Richter

Nicht relevanter Stoff: durchgestrichen

Vorlesung 1

Einführung, Übersicht

nicht klausurrelevant

Vorlesung 2

Gelenktypen und deren Bezeichnung

Rotationsgelenk (R)

Symbol:

• Drehachse bildet einen rechten Winkel mit den Achsen der beiden angeschlossenen Glieder
• Beispiel: Ellbogengelenk

Torsionsgelenk (T)

Symbol:

• Drehachse verläuft parallel zu den Achsen der beiden Glieder
• Beispiel: Unterarmdrehung

Revolvergelenk (V)

Symbol:

• Eingangsglied verläuft parallel zur Drehachse
• Ausgangsglied steht im rechten Winkel zur Drehachse
• Beispiel: Schultergelenk

Lineargelenk (L)

Symbol:

• gleitende/fortschreitende Bewegung entlang der Achse
• (auch Translationsgelenk, Schubgelenk, prismatisches Gelenk)
• Beispiel: Pneumatikzylinder

Arbeitsräume

• besteht aus den Punkten im 3D Raum, die von der Roboterhand angefahren werden können
• 3 Freiheitsgrade, also mind. 3 Gelenke nötig
• Grundform
  • würde sich ergeben, wenn sich die Arme des Roboters und die Begrenzung der Gelenkwinkel nicht blockieren würden

Koordinatensysteme (-> Formen)

Räumliche Koordinatensysteme

Kartesisches Koordinatensystem	Kugelkoordinaten	Zylinderkoordinaten

Beispiele

Vorlesung 3

Koordinatensysteme am Roboter

• Weltkoordinatensystem
  • fest mit der Welt verbunden
• Basiskoordinatensystem (base frame)
  • fest mit dem Sockel des Roboters verbunden
  • relativ zu Weltkoordinaten
• (Koordinatensysteme der einzelnen Gelenke)
• Handflanschkoordinaten (tool0)
  • mit Handflansch verbunden
  • mitbewegt und über Kinematische Kette relativ zu den Basiskoordinaten festgelegt
• Tool-/Werkzeugkoordinatensystem (tool frame)
  • relativ zu den Handflanschkoordinaten
  • TCP (tool center point)
  • z in Stoßrichtung
• Anwender-Koordinaten (user frame)
  • mit einer Aufnahmevorrichtung für Werkstücke verbunden
  • relativ zu Weltkoordinaten
• Werkobjekt-Koordinaten (object frame)
  • mit einem Werkstück verbunden
  • relativ zu Anwenderkoordinaten

Programmierung

Sprache: Rapid

Bewegungsbefehle

• MoveJ (MoveJoint)
  • Achsenbewegung
  • MoveJ ToPoint, Speed, Zone,Too1 [\WObj] [\TLoad]
  • Bsp: MoveJ pHome, v1000, z50, tKuli;
• MoveL (MoveLinear)
  • Lineare Bewegung (im 3D Raum)
  • MoveL ToPoint, Speed, Zone,Too1 [\WObj] [\TLoad]
  • Bsp: MoveL pHome, v1000, z50, tKuli;
• MoveC (MoveCirc)
  • Kreisbewegung
  • MoveC CirPoint ToPoint speed Zone Tool [\WObj]

Datenstruktur

CONST robtarget pHome:=
pos: [[x,y,z],
rot: [ql ,q2,q3,q4],
robconf: [cfl ,cf4,cf6,cfx],
extax: [eax_a, eax_b, eax c, eax_d, eax e, eax_f]];

Programmerstellung, Praxis

nicht klausurrelevant

Vorlesung 4

Kinematik

Kinematik ist die Lehre der geom. und analyt. Beschreibung der Bewegungszustände mechanischer Systeme.
Das kinematische Modell eines Roboters beschreibt die Zusammenhänge zwischen

• dem Raum der Gelenkwinkel (Roboterkoordinaten, Konfigurationsraum) und
• dem Raum der Lage des Endeffektors in Weltkoordinaten (Arbeitsraum, Kartesischer Raum)

Problem 1: Lokalisierung des TCP (Kinematisches Problem)
Problem 2: Positionierung des TCP (Inverses Kinematisches Problem, Bahnplanung)

Objekte und Objektlagen

• Basiskoordinatensystem -> Objektkoordinatensystem
• Unterscheidung zwischen rechtsdrehenden und linksdrehenden Koordinatensystemen (wir verwenden rechtsdrehende, siehe Rechte-Hand-Regel)
• Lage eines Objekts im 3-dim. euklidischen Raum kann durch Tupel von sechs reellen Zahlen beschrieben werden
  
  $\overrightarrow{v}=(x,y,z,\alpha ,\beta ,\gamma )$
  
  $x,y,z$ sind Koordinaten
  
  $\alpha ,\beta ,\gamma$ sind die Drehwinkel

Freiheitsgrad / Bewegungsfreiheitsgrad

Freiheitsgrad f eines Objekts ist die Anzahl möglicher unabhängiger Bewegungen in Bezug auf das BKS. Für 3-dim. Raum frei bewegliche Objkete gilt f=6 (3 Translationen und 3 Rotationen)
Bewegungsfreiheitsgrad F eines Roboters ist die Anzahl der Bewegungsachsen der Gelenke, um die sich der Roboter bewegen kann.

• Freiheitsgrad eines Rotationsgelenks:
  $F_R\le 3$
• Freiheitsgrad eines Translationsgelenks:
  $F_T=1$
• Anzahl der Gelenke eines Roboters: n, i.d.R.
  $n\ge 6$
• $F\ge f$

Orientierungsbeschreibung mit 3x3 Matrizen

Jede beliebige Orientierung eines starren Körpers im 3-dim. Raum ist erreichbar durch 3 Rotationen um geeignete Achsen.
Jede Rotation um eine Achse kann durch eine 3x3 Rotationsmatrix dargestellt werden.

Drehung um x/y/z Matrix inkl. Herleitung

Rotation um x Achse

$R_x(\alpha )=\left(\begin{array}{rrr}1& 0& 0\\ 0& \cos (\alpha )& -\sin (\alpha )\\ 0& \sin (\alpha )& \cos (\alpha )\end{array}\right)$

Rotation um y Achse

$R_y(\alpha )=\left(\begin{array}{rrr}\cos (\alpha )& 0& \sin (\alpha )\\ 0& 1& 0\\ -\sin (\alpha )& 0& \cos (\alpha )\end{array}\right)$

Rotation um z Achse

$R_z(\alpha )=\left(\begin{array}{rrr}cos(\alpha )& -\sin (\alpha )& 0\\ \sin (\alpha )& \cos (\alpha )& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Herleitung für Drehung um x Achse

Additionstheorem

$\sin (\Phi +\alpha )=\sin (\Phi )\cdot \cos (\alpha )+\cos (\Phi )\cdot \sin (\alpha )$

$\cos (\Phi +\alpha )=\cos (\Phi )\cdot \cos (\alpha )-\sin (\Phi )\cdot \sin (\alpha )$

1. Schritt
   
   $y=l\cdot \cos (\Phi )$
   
   $z=l\cdot \sin (\Phi )$
2. Schritt
   
   $l=y/\cos (\Phi )$
   
   $l=z/\sin (\Phi )$
3. Schritt
   
   $y^{\prime }=l\cdot \cos (\Phi +\alpha )$
   
   $z^{\prime }=l\cdot \sin (\Phi +\alpha )$
4. Schritt
   Additionstheoreme anwenden
   
   $y^{\prime }=l\cdot (\cos (\Phi )\cdot \cos (\alpha )-\sin (\Phi )\cdot \sin (\alpha ))$
   
   $z^{\prime }=l\cdot (\sin (\Phi )\cdot \cos (\alpha )+\cos (\Phi )\cdot \sin (\alpha ))$
5. Schritt
   Ausmultiplizieren
   
   $y^{\prime }=l\cdot \cos (\Phi )\cdot \cos (\alpha )-l\cdot \sin (\Phi )\cdot \sin (\alpha ))$
   
   $z^{\prime }=l\cdot \sin (\Phi )\cdot \cos (\alpha )+l\cdot \cos (\Phi )\cdot \sin (\alpha )$
6. Schritt
   Einsetzen der Formeln aus dem 2. Schritt
   
   $y^{\prime }=(y/\cos (\Phi ))\cdot \cos (\Phi )\cdot \cos (\alpha )-(z/\sin (\Phi ))\cdot \sin (\Phi )\cdot \sin (\alpha ))=y\cdot \cos (\alpha )-z\cdot \sin (\alpha )$
   
   $z^{\prime }=(z/\sin (\Phi ))\cdot \sin (\Phi )\cdot \cos (\alpha )+(y/\cos (\Phi ))\cdot \cos (\Phi )\cdot \sin (\alpha )=z\cdot \cos (\alpha )+y\cdot \sin (\alpha )$
7. Schritt
   Als Matrix schreiben
   
   $R_x(\alpha )=\left(\begin{array}{rrr}1& 0& 0\\ 0& \cos (\alpha )& -\sin (\alpha )\\ 0& \sin (\alpha )& \cos (\alpha )\end{array}\right)$

Programmierung, Praxis, Strukturierung von Programmen

nicht klausurrelevant

Vorlesung 5

Verkettung von Rotationen, Interpretation

Rotationen können durch Matrixmultiplikation verkettet werden (

$R=R_n{R}_{n-1}\dots R_2{R}_1$)
Unterscheidung zwischen:

• Vormultiplikation
  • $R=(R_n(R_{n-1}\dots (R_2{R}_1)))$
  • Interpretation: Drehung des momentanen Koordinatensystems um feste Achsen des Ursprungskoordinatensystems
• Nachmultiplikation
  • $R=(((R_n{R}_{n-1})\dots R_2)R_1)$
  • Interpretation: Drehung um momentanes Koordinatensystem

Euler/Roll-Pitch-Yaw -> Vergleich, Vorgehen

Euler Winkel

• Multiplikation von links nach rechts
• Jede Drehung bezieht sich auf das neue Koordinatensystem
• Drehung um jeweils veränderte Achsen!

Vorgehen

1. Drehung
   $\alpha$ um die
   $z$-Achse des BKS:
   $R_z$
2. Drehung
   $\beta$ um die neue
   $y$-Achse
   $y^{\prime }$:
   $R_{y^{\prime }}$
3. Drehung
   $\gamma$ um die neue
   $z$-Achse
   $z^{″}$:
   $R_{z^{″}}$
   
   $R_s=R_z\cdot R_{y^{\prime }}\cdot R_{z^{″}}$

Roll-Pitch-Yaw

• Multiplikation von rechts nach links
• Jede Drehung bezieht sich auf das BKS
• Drehung um unveränderte Achsen!

Vorgehen

1. Drehung α um die x-Achse des BKS:
   $R_x$
2. Drehung β um die y-Achse des BKS:
   $R_y$
3. Drehung γ um die z-Achse des BKS:
   $R_z$
   
   $R_s=R_z\cdot R_y\cdot R_x$

Homogene 4x4 Matrizen

Aufbau der Matrix

$T=\left(\begin{array}{rr}{R}_{3\times 3}& p_{3\times 1}\\ f_{1\times 3}& 1\times 1\end{array}\right)$

Homogene Basisrotationmatrizen

$T_{x,\alpha }=\left(\begin{array}{rrrr}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$T_{y,\Phi }=\left(\begin{array}{rrrr}\cos \Phi & 0& \sin \Phi & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin \Phi & 0& \cos \Phi & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$T_{z,\theta }=\left(\begin{array}{rrrr}\cos \theta & -\sin \theta & 0& 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Homogene Basistranslationsmatrix

$T_{z,\theta }=\left(\begin{array}{rrrr}1& 0& 0& dx\\ 0& 1& 0& dy\\ 0& 0& 1& dz\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$
Verschiebung des OKS nach

$(dx,dy,dz{)}^T$ im BKS

homogene Koordinaten

wie werden die Einheitsmatrizen abgebildet

Invertierung

$R^{-1}=R^T$

$T^{-1}=\left(\begin{array}{rrrr}{n}_x& n_y& n_z& -n^{T}u\\ o_x& o_y& o_z& -o^{T}u\\ a_x& a_y& a_z& -a^{T}u\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrrr}& & & -n^{T}u\\ & R_{3x3}^T& & -o^{T}u\\ & & & -a^{T}u\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Vorlesung 6

war eine Übung, keine neuen Themen

Vorlesung 7

Rotation und Translation von Punkten

In kartesischen Koordinaten

In homogenen Koordinaten

Lagebeschreibung

${}^A{H}_B$ Beschreibt die Lage des Koordinatensystems B relativ zu A

Transformationsabbildung

${}^A{H}_B{=}^{B}P{\to }^{A}P$

Transformationsoperator

$H{=}^B{P}_1{\to }^A{P}_2$

Verkettete Lagebeschreibung

Lagebeschreibung relativ auf ein als geeignet erscheinendes Koordinatensystem
Umrechnung von Koordinaten notwendig
Vorteile:

• Verringerung des Nachführaufwands bei Objektbewegung (Nur Arm bewegen, nicht Platform)
• Einzelne Koordinatenangaben beschränken sich auf kürzere Distanzen

Es gilt:

${}^{BKS}{H}_B{=}^{BKS}{H}_A{\ast }^A{H}_B$
Bsp:

-> Viele Parameter, Hohe Redundanz, Interpolation schwierig

=> deswegen

Quaternionen (Rechenregeln)

Definition:

• Auffassung als hyperkomplexe Zahl
• Mit
  $a,b,c,d$
  $ϵ$ Quaternion
  $q$ wie folgt beschrieben:
  
  $q=a+b\ast i+c\ast j+d\ast k$
• Mit
  
  $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$
  
  $ij=-ji=k$
  
  $jk=-kj=i$
  
  $ki=-ik=j$

a ist der Realteil,

$u=(b,c,d{)}^T$ der Imaginärteil

$q=(a,b,c,d{)}^T$ oder auch

$q=(a,u{)}^T$

Rechenregeln

Rotationen mit Quaternionen

Bewertung:

• Intuitive Darstellung von Rotationen
• Kompakte Darstellung (4 Werte)
• Rotation direkt um gewünschte Achse

Vorlesung 8

Geometrisches Modell

nicht klausurrelevant

Kinematisches Modell

beschreibt die Zusammenhänge zwischen Raum der Gelenkwinkel und Raum des Lage Endeffektors

Einsatzbereich

• Bestimmung des Zusammenhangs zwischen Gelenkwerten und Stellungen
• Erreichbarkeitsanalyse
• Relation zwischen Körper des Roboters (Selbstkollision)
• Relation zur Umgebung (Kollisionserkennung)

Kinematische Kette

Bildung von mehreren Körpern, die durch Gelenke kinematisch verbunden sind

Konventionen

• Jedes Armelement entspricht einem starren Körper
• Armelemente sind durch ein Schub- oder Rotationsgelenk verbunden
• Pro Gelenk nur ein Freiheitsgrad

Beschreibung der Kinematik, Lage jedes Elements auf ein Referenzsystem zu definieren

Vorgehen

• Jedes Element festes lokales Koordinatensystem
• Ursprung des KS liegt im Armgelenk, welches das Element bewegt
• Für jedes Element muss eine Transformationsmatrix bestimmt werden, die das lokale KS auf BKS umwandelt
• Umwandlung von lokalem KS in BKS durch Beschreibungsvektor oder 4x4 homogene Transformationsmatrix

Denavit-Hartenberg Konvention (Vorteile?)

Ziel: Reduktion der Parameter zur Beschreibung eines Armelementes mit Gelenk

Eigenschaften:

• Systematische Beschreibung der Beziehung zwischen benachbarten Gelenken
• Reduktion Anzahl Parameter von 6 auf 4

Transformation vom OKS des i-ten Armelements auf das OKS des (i-1)-ten Elements

• Koordinatensysteme liegen in den Bewegungachsen
• z_i-Achse liegt entlang der Drehachse des i+1-ten Gelenks
• x_i-Achse steht senkrecht zur z_i-1-Achse und zeigt von ihr weg
• Die y_i-Achse bildet mit den anderen ein rechtshändiges KS

[War des ne Beispiel Rechnung oder ist das relevant?-> relevant, wird auch in einer Rechenaufgabe zur Klausurvorbereitung verwendet]

Direktes Kinematisches Problem

Aus den DH-Parametern und den Gelenkwinkeln soll die Stellung des Greifers ermittelt werden

Stellung des Greifers bezogen auf BKS

Beispiel:

Zusammenfassung:

1. Skizze des Manipulators
2. Identifiziere und nummeriere die Gelenke (1, Letztes Glied = n)
3. Zeichne die Achsen z_i-1 für jedes Gelenk i
4. Bestimme die Parameter ai zwischen z_i-1 und z_i
5. Zeichne die x_i –Achsen
6. Bestimme die Parameter α_i (Verwindung um die x_i-Achsen)
7. Bestimme die Parameter d_i (Gelenkabstand)
8. Bestimme die Winkel θ_i um z_i-1-Achsen
9. Gelenk-Transformation-Matrizen A_i-1,i - verknüpfe sie

Inverse Kinematik

nicht klausurrelevant