# ATD thème 1 TP2 : Oscilloscope numérique
Séance du 19 février 2020
## Clément TIFFON - Yonah GRONDIN
---
## Objectifs
- Se familiariser avec l'outil FFT d'un oscilloscope numérique (séries $TDS1000$ et $TDS2000$)
- Observer et analyser l'influence de quelques paramètres importants sur l'affichage du spectre d'un signal connu, comprendre le repliement de spectre
- Apprendre à utiliser le bon mode de fenêtrage selon les caractéristiques des signaux à mesurer (Hanning et rectangle)
## Point sur la transformation de Fourier
Tout signal périoddique $s(t)$ de période $T$, de fréquence $f=\frac{1}{T}$, de pulsation $w=2\pi f$, peut s'exprimer sous la forme d'une somme de signaux sinusoïdaux de fréquences multiples de $f$ appelée série de Fourier : $s(t)=A_0+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}A_kcos(2\pi kft+phase)$ où $k$ est un entier. L'opération réalisée par un oscilloscope à qui l'on demande d'afficher le spectre d'un signal, consiste à déterminer les $A_k$ de chaque terme de cette somme. Elle n'est bien sûr pas infinie dans le cas d'un appareil de mesure, car le signal utilisé n'est lui-même pas fini (il est tronqué). Cela peut occasionner l'apparition de fréquences supplémentaires dites parasites (non contenues dans le signal à analyser) comme nous allons nous en apercevoir dans ce compte-rendu.

## I - Prise en main de la fonction FFT de l’oscilloscope
On commence par entrer un signal sur la voie 1 de l'oscilloscope, voici ses caractéristiques :

| Grandeur | Valeur |
| --------- | ------------ |
| Tension | $1\ V_{}$ |
| Impédance | $1\ M\Omega$ |
| Fréquence | $1,25\ Mhz$ |

Nous avons obtenu une figure très similaire à cette capture. L'oscilloscope était réglé à $F_e=50.10⁶\ S.s^{-1}=50\ MS.s^{-1}$, c'est l'unité du nombre d'échantillons par seconde. Sur tous les modèles d'oscilloscopes utilisés le nombre de points enregistrés pour calculer la transformée de Fourier vaut $N=2500$, la précision en fréquence vaut donc $\frac{F_e}{N}=2\ kHz$. Naturellement par la loi de Shannon-Nyquist nous savons également que la fréquence maximale affichée ne peut dépasser la moitié de la fréquence d'échantillonage, soit ici $\frac{F_e}{2}=2,5\ MHz$.
### Étape 1
Nous avons mesuré la hauteur et l'amplitude du pic mais la fenêtre a été réglée afin d'obtenir le maximum de précision, sur les captures ci-après.


Nous trouvons :
| Fréquence | Gain |
| -------------------- | ------------ |
| $1,24\pm0,02\ MHz$ | $-9,75\ dBV$ |
La tension crète à crète étant de $1\ V$, la tension fournie en entrée vaut $0,5\ V$. En faisant intervenir la valeur efficace de cette tension, le gain théorique vaut $20\log(\frac{0,5}{\sqrt{2}})\approx-9,03\ dBV$. C'est du même ordre de grandeur que le gain mesuré, tout concorde.

### Étape 2
En diminuant la sensibilité verticale (nous somme passés à $100\ mV/carreau$), quatre nouveaux pics apparaissent sur le spectre. Voici le spectre observé suivi d'une schématisation (les fréquences sont toutes en $kHz$).

Voici maintenant une capture du signal temporel obervé à l'oscilloscope.

Nous y voyons la valeur de $600\ kHz$ en bas. La troncature du signal temporel, nécessaire au calcul de la FFT, fait apparaitre des signaux propres à cette fréquence d'échantillonage. En l'occurence, nous aperçevons les signaux de fréquence $k\times600\ kHz$ où $k=1,2,3$.

### Étape 3

Revenons maintenant à la sensibilité originale, $200\ mV/carreau$. En diminuant la sensibilité horizontale du fenêtrage du signal temporel, on observe que la fréquence d'échantillonage $F_E$ augmente. La fiche technique de l'oscilloscope indique que le nombre de point est constant pour chaque FFT et vaut $2500$. Nous avons vérifié ce point en calculant dans la troisième colonne la quantité $F_e$ multiplié par le nombre de carreaux à l'écran multiplié par le temps par carreau. Sans surprise, le résultat est toujours le même : $2500$. Nous observons que l'impact sur l'amplitude est nul, seule le pas de temps change, c'est à dire la résolution fréquentielle de la fenêtre.

| Sensibilité temporelle $t$ $(\mu s)$ | $F_e\ (MS.s^{-1})$ | $F_e\ \times\ (10t)$ | Amplitude de la raie principale$(dBV)$ |
|:------------------------------------:|:------------------:|:--------------------:|:--------------------------------------:|
| 50 | 5 | 2500 | $-9,75$ |
| 10 | 25 | 2500 | $-9,75$ |
| 5 | 50 | 2500 | $-9,75$ |
| 2 | 100 | 2500 | $-9,75$ |
| 1 | 250 | 2500 | $-9,75$ |
| 0,5 | 500 | 2500 | $-9,75$ |
| 0,2 | 1000 | 2500 | $-9,75$ |

Effectuer un cacul numérique de FFT via un oscilloscope demande donc de la médiété : nous ne pouvons pas obtenir une précision infinie sur ces deux grandeurs conjuguées que sont le temps et la fréquence. Selon la précision voulue et la fréquence du signal à mesurer il faut se placer habilement à un couple (temps, fréquence) permettant d'intégrer un signal d'entrée suffisamment long (sinon la transformée ne sera pas précise) tout en s'assurant qu'on ne passe pas en-dessous de la fréquence de Shannon (dans ce cas la lecture de la fréquence voulue est au mieux plus compliquée, au pire impossible).

## II - Repliement de spectre
### Étape 4

En réglant la base de temps à $250\ \mu s$ la fréquence d'échantillonnage devient *ipso facto* $1\ MS.s^{-1}$. Le critère de Shannon nous rappelle que la fréquence maximale mesurable ne peut excéder $\frac{F_e}{2}$. C'est ce que nous observons en augmentant la fréquence du signal d'entrée jusqu'à dépasser cette fameuse valeur de $0,5\ MHz$ dans notre cas. À partir de la connaissance d'un spectre replié, nous pouvons remonté à la fréquence originale, c'est la troisième colonne de ce tableau où $f_{max}$ est la fréquence de Shannon mentionnée plus haut.

| Fréquence générateur $f_0$ $(kHz)$ | Fréquence lue sur le spectre $f_{mesuré}$ $(kHz)$ | $f_{max}+(f_{max}-f_{mesuré})$ |
|:----------------------------------:|:-------------------------------------------------:|:------------------------------:|
| 200 | 200 | - |
| 300 | 300 | - |
| 400 | 400 | - |
| 500 | 500 | - |
| 600 | ~400 | 600 |
| 700 | ~300 | 700 |

## Étape 5
À présent nous visualisons l'impact du calibre de temps sur le spectre mesuré, lorsque la fréquence d'entrée est inchangée. La colonne correspondante est vide en raison de la perte de nos données (liée au confinement) mais nous pensons avoir compris ce qu'il devrait se passer. La colonne 3 affiche la fréquence maximale affichable compte tenu du calibre de temps (le calcul est le même qu'à l'étape 4). Au début, nous sommes clairement en-dessous du signal généré, un repliement de spectre devrait donc se produire jusqu'à ce que la fréquence maximale soit au moins supérieure à $600\ kHz$ (c'est à dire pour un calibre de 1 $\mu s$ .

| Fréquence du signal généré $(kHz)$ | Calibre de temps | Fréquence maximale mesurable sans repliement $f_{max}$ $(kHz)$ | Fréquence du signal mesuré $(kHz)$ |
|:----------------------------------:|:----------------:|:--------------------------------------------------------------:|:----------------------------------:|
| 600 | 50 $ms$ | 2,5 | - |
| 600 | 25 $ms$ | 5 | - |
| 600 | 10 $ms$ | 12,5 | - |
| 600 | 5 $ms$ | 25 | - |
| 600 | 1 $ms$ | 125 | - |
| 600 | 500 $\mu s$ | 250 | - |
| 600 | 250 $\mu s$ | 500 | - |
| 600 | 1$\mu s$ | 125000 | - |
| 600 | 500 $ns$ | 250000 | - |

## IIIb - Dynamique des fenêtres rectangulaire et de Hanning
## Étape 6b
Avec deux générateurs dont les sorties sont connectées via un embout en T, nous visualisons deux signaux de fréquence différente mais d'amplitude du même ordre sur la même entrée de l'oscilloscope. Voici les caractéristiques des signaux :

| Grandeur | Signal 1 | Signal 2 |
| ------------------------ | -------- | -------- |
| Anplitude $(V_{cc})$ | $1$ | $1$ |
| Impédance $(1\ M\Omega)$ | $1$ | $1$ |
| Fréquence $(MHz)$ | $100$ | $105$ |

La résolution vaut $\frac{F_e}{N}=\frac{5.10^5}{2500}=200\ Hz$. Nous devrions être capable de distinguer des signaux espacés de seulement $200\ Hz$. Puisque qu'ici l'écart vaut $5000\ Hz$, il est normal de les appercevoir sur la figure ci-après :
## IVb - Dynamique des fenêtres rectangulaire et de Hanning
Cette fois c'est la dynamique que nous allons quantifier. C'est l'écart d'amplitude entre le signal le plus haut et le signal le plus bas. Une grande dynamique peut donc se comprendre comme une capacité à visualiser des signaux de magnitude très différente. Injectons donc ces signaux où le signal 2 (appelé signal modulant) aura comme aplitude une infime partie de celle du signal 1 (appelé signal porteur) :

| Grandeur | Signal 1 | Signal 2 |
| ------------------------ | -------- | --------- |
| Anplitude $(V_{cc})$ | $1$ | $10^{-2}$ |
| Impédance $(1\ M\Omega)$ | $1$ | $1$ |
| Fréquence $(kHz)$ | $1,00$ | $1,10$ |

## Étape 9b
Avec la fenêtre de Hanning on observe sans problème les deux signaux.
## Étape 10b
Avec la fenêtre rectangulaire, le signal modulant disparait presque entièrement.
## Étape 11b
Nous voyons clairement que la dynamique sur la fenêtre de Hanning est largement plus important que sur la rectangulaire. Alors que Hanning permet de mesurer des signaux d'amplitude très différentes, le mode rectangulaire peut permettre une plus grande précision au niveau de la fréquence même des signaux, la pointe de ceux-ci est mieux définit.

On note la résolution en amplitude $\lambda_w=20\log_{10}(\frac{A_{lobe\ central}}{A_{1^{er}\ lobe secondaire}})$. Sur la figure de droite si l'on considère que le 1er pic (visible) ne l'est pas (c'est ce que nous essayions de reproduire), alors $\lambda_w=-15,5$ alors que sue la figure de gauche avec le mode Hanning, $\lambda_w=-13,9$. La plage dynamique est ainsi un peu meilleure dans
## Étape 12b

Résumons ces points avec ce tableau :
| Mode de fenêtrage | Bonne résolution | Bonne dynamique |
|:-----------------:|:----------------:|:---------------:|
| Rectangle | OUI | NON |
| Hanning | NON | OUI |

## V - Compensation d'une sonde passive
La dernière partie de notre séance consistait en la calibration d'un oscilloscope. Il se trouve que l'accumulation de la mesure de signaux alternatifs avec un oscillossope peut modifier la fiabilité de la mesure. De gauche à droite nous pouvons voir des exemples de sonde sous-compensée, sur-compensée et bien réglée.
La sonde passive possède deux positions : $\times10$ et $\times1$. b