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應用-資產配置管理系統 part.12：V1.0 之後，探討各種最佳化理論

自從歷經千辛萬苦的錄製了生平第一支影片之後，已經好整以暇多日，好好再度審視自己所講的觀念，目前結論算是滿意。在錄製的影片的事上，雖然經過大量的練習，還是無法達到順暢的地步，但該表達意思都有到位；如果用 1.5 倍速播放可以大幅抵銷許多缺點，推薦一看。

https://youtu.be/-0FPVE0oNJ8

悠閒漫步的氛圍，正是學習新知與迸發創意的溫床，來研究一下理論吧！很快的我就發現了一座寶庫：一位出身天文物理名叫 Robert 的年輕人，竟然把數十年來主要的投資組合最佳化的演算法都實作成 python package PyPortfolioOpt 並公開分享給大眾使用，真是太令人敬佩了，在此恭敬地引用：

Martin, R. A., (2021). PyPortfolioOpt: portfolio optimization in Python. Journal of Open Source Software, 6(61), 3066, https://doi.org/10.21105/joss.03066

首先定義問題，如同大部分現實世界的問題：

在投入有限額度的成本下，追求最大效益。

在此投資領域，問題就變成：

在承受特定程度的風險下，追求最大報酬。

而面對不可知的未來，需要設計適當的估計量(estimator)去估計。其中「報酬」的部分在此探討不多，就是用歷史資料的年化報酬率，最佳化著墨的項目主要在於「風險」的估計和消除。風險的基本量化表示法，對於個股而言就是標準差，對於投資組合而言就是：「共變異矩陣 Σ」與權重 𝑤 的乘積：

$${\omega }^T\mathrm{\Sigma }\omega$$
在研讀理論以前，這個值是用投資組合的日報酬卷算出來的，只能算是這理論裡的一個特例，就是 sample_cov，此外風險估計量還有許多算法如下：

sample_cov
semicovariance
exp_cov
ledoit_wolf
ledoit_wolf_constant_variance
ledoit_wolf_single_factor
ledoit_wolf_constant_correlation

在套件中都是一行可得！不禁再次向作者致敬 Orz

試著視覺化一組 portfolio，採用 sample_cov 算法：

可大致看出標的間的關聯性，顏色越深者表示關聯性低，搭配起來可以對沖風險。

而作者比較推薦 ledoit_wolf 算法，還撰文解說：Honey, I Shrunk the Sample Covariance Matrix，有了高手背書，我這凡夫俗子就直接引用吧，算出來的數字比 sample_cov 略小，據說因此可讓最佳化結果較為穩定。此共變異矩陣若畫出圖來非常相像，肉眼無法分辨出差異。

以各種不同的風險估計量，執行最佳化運算

有了報酬和風險的估計量，就可以開始執行最佳化演算法了。先跑一個最一般性的，就是最大化 sharpe，得出權重和績效：

最佳化 sharpe ratio：
Expected annual return: 44.3%
Annual volatility: 26.6%
Sharpe Ratio: 1.59

sharpe ratio 觀念在系統中已經多次使用，從這裡的理論架構觀點，可解釋成「效率前緣的 45^。切線交點」，效率前緣是給定橫軸為特定風險尺度下，最佳報酬的投資組合，縱軸定義為報酬的情況下，座落在最高點位置。套件也可畫出整條效率前緣，看起來更有 fu 了：

但前面有指出關於報酬的預測是有待商榷的，因為我們直接把歷史年化報酬當成估計量比較不合適，像這裡的 44% 的歷史報酬能否在未來重現？我們寧願嚴格控制自 high 情緒，應該去針對最小風險去執行最佳化，得出權重和績效：

最小化風險：
Expected annual return: 14.3%
Annual volatility: 15.8%
Sharpe Ratio: 0.78

結果這結果有點脫離現實，大部分權重配給大盤指數和 1101 台泥！這是怎樣？波動去掉是不錯，但報酬也去掉了！所以實務上還是要適度調高風險值，讓其他標的有參與的機會啦。所以給定期望報酬 30% 跑出來會怎樣呢：

期望 30% 報酬的條件下，最小化風險：
Expected annual return: 30.0%
Annual volatility: 19.5%
Sharpe Ratio: 1.43

這樣相對合理一點。

接下來再玩一些變化式，一樣聚焦在風險衡量部分，把正報酬忽略掉，只考慮負報酬的波動性，若期望報酬 30%，最小化波動的結果：

期望 30% 報酬的條件下，最小化負報酬的波動
Expected annual return: 30.0%
Annual semi-deviation: 13.5%
Sortino Ratio: 2.07

另外系統中已經強調的 drawdown 也有相關的理論依據，最小化 CDaR (Conditional Drawdown at Risk)，期望 30% 報酬的結果：

期望 30% 報酬的條件下，最小化 draw down
Expected annual return: 30.0%
Conditional Drawdown at Risk: 16.00%

較新穎的最佳化演算法

HRP (Hierarchical Risk Parity)：以相關性爲距離矩陣執行分群 (clustering)，從尾端兩個資產開始求解最佳化權重，一層一層向上合併，得到所有資產的權重。非常有趣的想法，此套件也已經完成實作，真厲害！求出的解比較不會出現一堆零：

以 HRP 演算法求解最佳權重：
Expected annual return: 26.6%
Annual volatility: 20.7%
Sharpe Ratio: 1.19

還能畫出美美的樹狀圖，清楚交代合併過程，也可以看出哪些資產彼此的相關性：

最後還有一個演算法 CLA (Critical Line Algorithm)，此法作者著墨較少，我也就暫不深究了。

以上研究暫告一段落，日後再想辦法抽取精華整合到系統中。

Newman 2023/3/27