# Point Addition證明
> Author: 堇姬Naup

## P、Q不同點
在E上，若$P(x_p,y_p),Q(x_q,y_q)$為不同點，求出$P+Q=R(x_r,y_r)$
$λ=\frac{y_q-y_p}{x_q-x_p}$
$x_r=λ^2-x_p-x_q$
$y_r=λ(x_p-x_r)-y_p$

### 證明
$E=y^2=x^3+ax+b ---(1)$
$y=λ(x-x_p)+y_p---(2)$

將(2)帶入(1)

可以得到

$λ^2 x^2-2λx_px+λ^2{x_p}^2+2λy_px-2λ{x_p}{y_p}+{y_p}^2=x^3+ax+b$

$x^3-λ^2x^2+(a+2λx_p-2λy_p)x+b-(λ^2{x_p}^2-2λ{x_p}{y_p}+{y_p}^2)=0$

上述式子的三個根該分別是$x_p、x_q、x_r$

韋達定理可以推得
$x_p+x_q+x_r=\frac{-b}{a}=\frac{λ^2}{1}$
$x_p+x_q+x_r=λ^2$
$x_r=λ^2-x_p-x_q$

## 若$P、Q$重合

$d$則改用導數的方式呈現
$d=\frac{3x_p^2+a}{2y_p}$

$x_r=d^2-x_p-x_q$
$y_r=d(x_p-x_r)-y_p$

### 證明
就是切線，直接微分
$f(x,y)=y^2-x^3-ax-b=0$
$\frac{d}{dx}f(x,y)=\frac{d}{dx}y^2-\frac{d}{dx}x^3-\frac{d}{dx}ax-\frac{d}{dx}b$

$\frac{d}{dx}f(x,y)=2y\frac{dy}{dx}-3x^2-a=0$

$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+a}{2y}$

## y座標
$y_r=(x_p-x_r)λ-y_p$

### 證明
$λ=\frac{y_p+y_r}{x_p-x_r}$(P、R連線)

移項推出
$y_r=(x_p-x_r)λ-y_p$