Point Addition證明

Author: 堇姬Naup

P、Q不同點

在E上，若

$P(x_p,y_p),Q(x_q,y_q)$為不同點，求出

$P+Q=R(x_r,y_r)$

$\lambda =\frac{y_q-y_p}{x_q-x_p}$

$x_r={\lambda }^2-x_p-x_q$

$y_r=\lambda (x_p-x_r)-y_p$

證明

$E=y^2=x^3+ax+b---(1)$

$y=\lambda (x-x_p)+y_p---(2)$

將(2)帶入(1)

可以得到

${\lambda }^2{x}^2-2\lambda x_{p}x+{\lambda }^2{x_p}^2+2\lambda y_{p}x-2\lambda x_p{y}_p+{y_p}^2=x^3+ax+b$

$x^3-{\lambda }^2{x}^2+(a+2\lambda x_p-2\lambda y_p)x+b-({\lambda }^2{x_p}^2-2\lambda x_p{y}_p+{y_p}^2)=0$

上述式子的三個根該分別是

$x_p、x_q、x_r$

韋達定理可以推得

$x_p+x_q+x_r=\frac{-b}{a}=\frac{{\lambda }^2}{1}$

$x_p+x_q+x_r={\lambda }^2$

$x_r={\lambda }^2-x_p-x_q$

若

$P、Q$重合

$d$則改用導數的方式呈現

$d=\frac{3x_p^2+a}{2y_p}$

$x_r=d^2-x_p-x_q$

$y_r=d(x_p-x_r)-y_p$

證明

就是切線，直接微分

$f(x,y)=y^2-x^3-ax-b=0$

$\frac{d}{dx}f(x,y)=\frac{d}{dx}{y}^2-\frac{d}{dx}{x}^3-\frac{d}{dx}ax-\frac{d}{dx}b$

$\frac{d}{dx}f(x,y)=2y\frac{dy}{dx}-3x^2-a=0$

$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+a}{2y}$

y座標

$y_r=(x_p-x_r)\lambda -y_p$

證明

$\lambda =\frac{y_p+y_r}{x_p-x_r}$(P、R連線)

移項推出

$y_r=(x_p-x_r)\lambda -y_p$