Lucas Sequence 盧卡斯數列

Author:堇姬

定義

$D=P^2-4Q>0(P,Q\in \mathbb{Z})$

$x^2-Px+Q=0$
其根為

$a,b$

定義Lucas Sequence

第一類Lucas Sequence

$U_n(P,Q)=\frac{a^n-b^n}{a-b}$

$U_0(P,Q)=0$

$U_1(P,Q)=2$

第二類Lucas Sequence

$V_n(P,Q)=a^n+b^n$

$V_0(P,Q)=1$

$V_1(P,Q)=P$

一些特性

1. $V_{m+n}=V_m{V}_n-Q^n{V}_{m-n}$
2. $V_{2n}=V_n^2-2Q^n$
3. $V_{mn}(P,Q)=V_m(V_n(P,Q),Q^n)$

證明

證明

$V_{m+n}=V_m{V}_n-Q^n{V}_{m-n}$

---

$V_{m+n}=V_m{V}_n-Q^n{V}_{m-n}$

$a^{m+n}+b^{m+n}=(a^m+b^m)(a^n+b^n)-(ab{)}^n(a^{m-n}+b^{m-n})$

$a^{m+n}+b^{m+n}=a^{m+n}+a^m{b}^n+a^n{b}^m+b^{m+n}-a^m{b}^n-a^n{b}^m$

$a^{m+n}+b^{m+n}=a^{m+n}+b^{m+n}$

證明

$V_{2n}=V_n^2-2Q^n$

---

$V_{2n}=V_n^2-2a^n{b}^n$ (Vieta's formulas,

$a+b=P,ab=Q$)

$a^{2n}+b^{2n}=(a^n+b^n{)}^2-2a^n{b}^n$

$a^{2n}+b^{2n}=(a^{2n}+b^{2n}+2a^n{b}^n)-2a^n{b}^n$

$a^{2n}+b^{2n}=a^{2n}+b^{2n}$

證明

$V_{mn}(P,Q)=V_m(V_n(P,Q),Q^n)$

---

$x^2-Px+Q=0$
其根為

$a,b$

$x^2-(a^n+b^n)x+(a^n{b}^n)=0$
其根為

$r,s$

$V_{mn}(P,Q)=V_m(V_n(P,Q),Q^n)$

$a^{mn}+b^{mn}=V_m(a^n+b^n,a^n{b}^n)$

$a^{mn}+b^{mn}=r^m+s^m$

$r,s=\frac{(a^n+b^n)\pm \sqrt{(a^n+b^n{)}^2-4a^n{b}^n}}{2}$

$r,s=\frac{(a^n+b^n)\pm \sqrt{(a^n-b^n{)}^2}}{2}$

$r,s=\frac{(a^n+b^n)\pm (a^n-b^n)}{2}$

$r=\frac{(a^n+b^n)+(a^n-b^n)}{2}=a^n$

$s=\frac{(a^n+b^n)-(a^n-b^n)}{2}=b^n$
代回到

$a^{mn}+b^{mn}=r^m+s^m$得證