檜山トレラン2 B07 数学のための文法講座

--- tags: TrRun2 id: ProbCHL-B07.md --- $\newcommand{\In}{\mbox{ in }}% \newcommand{\On}{\mbox{ on }}% \newcommand{\id}{\mathrm{ id }}% \newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow}% \newcommand{\To}{\Rightarrow}% \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}% \newcommand{\R}{ {\bf R} }% \newcommand{\P}{ {\bf P} }% \newcommand{\B}{ {\bf B} }% \newcommand{\N}{ {\bf N} }% \newcommand{\Z}{ {\bf N} }% \newcommand{\Set}{ {\bf Set}}% \newcommand{\WeWillDefine}{\mbox{WeWillDefine }}% \newcommand{\WeDefine}{\mbox{WeDefine }}% \newcommand{\For}{\mbox{For }}% \newcommand{\Imp}{\Rightarrow}% \newcommand{\If}{\mbox{if }}% \newcommand{\Then}{\mbox{ then }}% \newcommand{\Else}{\mbox{ else }}$ # 檜山トレラン2 B07 数学のための文法講座 ## 文の種類：平叙文と疑問文英文法から： > 英語の文章には、平叙文・疑問文・命令文・感嘆文の4種類があります。文の種類〈kinds of sentence〉自体を英語で言うと： 1. 平叙文　Declarative Sentences 2. 疑問文　Interrogative Sentences 3. 命令文　Imperative Sentences 4. 感嘆文　Exclamatory Sentences 数学では、平叙文と疑問文しか使わない。平叙文と疑問文の区別は、自然言語で書かれた“地の文”により文脈から判断するのが普通だが、平叙文、疑問文を区別する形式的記法を導入すると： - 平叙文〈declarative sentence〉の書き方： $\vdash 文$ - 疑問文〈interrogative sentence〉の書き方： $\vdash ?\; 文$ 例： - $\vdash \forall x, y\in {\bf R}.(\, x \ge 0 \land y \ge 0 \Imp xy \ge 0 \,)$ 日本語では： 2つの非負実数の積は非負である。 - $\vdash ?\; \forall x, y\in {\bf R}.(\, x \ge 0 \land y \ge 0 \Imp xy \ge 0 \,)$ 日本語では： 2つの非負実数の積は非負であるか？文の先頭に付いている $\vdash\quad \vdash ?$ が、日本語の文末「である。」「であるか？」に相当する。“平叙文”は英語では "declarative sentence" なので、「～である（ことが正しい）」と宣言していることになる。平叙文＝宣言文はステートメント、アサーション〈主張〉などとも呼ばれる。皆さんが、 $\vdash$ を見る機会がないのは「書いてある文はアサーションに決まってんでしょ（暗黙の了解）」とか「いちいちアサーションであると明示するのはめんどくさい」とかの理由。場合により、アサーションと単なる記述（真偽がはっきりしない状態）をキチンと区別しないとワケワカランになる。[フェイクとファクト](#%E3%83%95%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%82%AF%E6%83%85%E5%A0%B1%E3%81%AB%E9%A8%99%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%AA%E3%81%84%E3%81%9F%E3%82%81%E3%81%AB) の観点からも区別が必要。また、真偽不明の命題を「ステートメント」「アサーション」と呼ぶこともある。「言葉の使い方は常に乱れて、==イイカゲンでグチャグチャ==になる」ことは常に留意せよ。 $\vdash ?\; 文$ の形は証明要求〈proof requirement〉、文を証明のターゲット命題〈target proposition〉とみなす指示で、次のことを要求している。 1. その文が正しいなら、その文〈命題〉の証明を与えよ。 2. その文が正しくないなら、その文の否定の証明を与えよ。数学の未解決問題の多くは $\vdash ?\; 文$ の形で書ける。例えば、[ゴールドバッハ予想](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B4%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%89%E3%83%90%E3%83%83%E3%83%8F%E3%81%AE%E4%BA%88%E6%83%B3) は： - $\vdash ?\; \forall n\in \N.(\,n \gt 3 \land even(n) \Imp \exists p, q\in \N.(\, q + q = n \land prime(p)\land prime(q)\,)\,)$ - $even(n)$ は「$n$ は偶数」の意味 - $prime(p)$ は「$p$ は素数」の意味だが、数学テストの問題文が $\vdash ?\; 文$ の形で書けるとは限らない。例えば： - 方程式 $x^2 - 5x + 6 = 0$ を解け。を次のように書くことはできない。 - $\vdash ?\; x^2 - 5x + 6 = 0$ あるいは、 - 式 $(a + b)(x - y)$ を展開せよ。も証明要求では書けない。証明要求で書こうとすると、答をバラしてしまう。 - $\vdash ?\; x^2 - 5x + 6 = 0 \Iff x = 2 \lor x = 3$ - $\vdash ?\; (a + b)(x - y) = ax - ay + bx - by$ テストの問題文は、複雑な暗黙の了解（膨大なお約束事）のなかで、命令文の意味も込めているので、単純な証明要求の形では表現困難。証明要求で書ける場合でも、出題者が真偽を知っているので、その文を証明するのか、その文の否定を証明するのかは明らかなことが多い -- 予想、未解決問題とは事情が違う。 ## 肯定文と否定文「平叙文と疑問文」という分類と「肯定文と否定文」という分類は直交している。直交の意味は、次のような2×2の表が作れること。 | | 平叙文 | 疑問文 | |--------|-----------|-------| | **肯定文** | 肯定の平叙文 | 肯定の疑問文 | | **否定文** | 否定の平叙文 | 否定の疑問文 | 肯定文を平叙文と同義だと思っている人もいるわけで、こんな基本的な事も文法を勉強しないと理解しないままになる。文法は大事。論理における肯定・否定はけっこうややこしい話になる。とりあえずは、否定の記号 $\lnot$ が先頭に付いている文〈論理式〉を否定文と定義してもいいのだけど、[B14 論理式を利用した命題の分析例](https://hackmd.io/@m-hiyama/B10LBM7XO) で示したように、否定の記号は内側に移動できる。よって、同値な書き換え（意味を変えない書き換え）で否定文がそうでなくなってしまう。なので、論理では個々の文を見て「肯定文か否定文か？」は考えない（==無意味==）。そうではなくて、「文Pは文Qの否定になっている」というような、2つの文のあいだの関係として否定を捉える。事例を出そう； [フェルマー予想（今はワイルズの定理）](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86) の命題は次のように書ける。 - $\forall n \in {\bf N}.(\,n \ge 3 \Imp \lnot \exists x, y, z\in {\bf Z}.(\, x^n + y^n = z^n \,) \,)$ フェルマー死後330年たった1995年にワイルズが解決するまでは、これは証明要求の形だった。 - $\vdash ?\; \forall n \in {\bf N}.(\,n \ge 3 \Imp \lnot \exists x, y, z\in {\bf Z}.(\, x^n + y^n = z^n \,) \,)$ 今は正しいと分かっているので定理／ステートメント／アサーションとして表現できる。 - $\vdash \forall n \in {\bf N}.(\,n \ge 3 \Imp \lnot \exists x, y, z\in {\bf Z}.(\, x^n + y^n = z^n \,) \,)$ ゴールドバッハ予想は未解決なので、次のどっちが正しいかはわからない。 1. $\forall n\in \N.(\,n \gt 3 \land even(n) \Imp \exists p, q\in \N.(\, q + q = n \land prime(p) \land prime(q)\,)\,)$ 2. $\lnot \forall n\in \N.(\,n \gt 3 \land even(n) \Imp \exists p, q\in \N.(\, q + q = n \land prime(p)\land prime(q)\,)\,)$ 上の2つの文〈論理式として表現した命題〉は互いに否定の関係にあるが、2番の外側の否定記号を内側に入れることはできる。否定記号がどの場所にあるかはどうでもいい。が、2つの文が互いに他の否定であることは書き方によらず間違いない。 ## 証明されてない事と否定が証明されていること記号 $\vdash \cdots$ の正確な意味は、「‥‥ という命題は証明されている／証明が在る」こと。証明が在るなら正しいと言ってよいので、「‥‥ という命題は正しい」と言い換えてもかまわない。前節で述べたように、ゴールドバッハ予想の命題に関しては、 - $\forall n\in \N.(\,n \gt 3 \land enven(n) \Imp \exists p, q\in \N.(\, q + q = n \land prime(p)\land prime(q)\,)\,)$ は証明されてない。この命題の否定 - $\lnot \forall n\in \N.(\,n \gt 3 \land enven(n) \Imp \exists p, q\in \N.(\, q + q = n \land prime(p)\land prime(q)\,)\,)$ も証明されてない。ゴールドバッハの予想の命題を短く1文字 $G$ で表すと： - $\vdash G$ ではない。だって、 $G$ は証明されてないもの。 - $\vdash \lnot G$ ではない。だって、 $G$ の否定も証明されてないもの。これを、 - $\not\vdash G$ - $\not\vdash \lnot G$ とも書く。斜め線は「証明が在る」を否定していて、「証明がない」の意味。フェルマー予想（今はワイルズの定理）に関係する次の命題を考える。 - $\exists x, y, z\in {\bf Z}.(\, x^3 + y^3 = z^3 \,)$ この命題を $E$ とすると、次は歴史的事実： - $\lnot E$ はオイラーにより証明されている。既に証明が在る。当然に、 - $E$ を証明することは、誰がやっても出来るわけない。証明はない。このことを、 - $\vdash \lnot E$ - $\not\vdash E$ とも書く。とある命題 $P$ に関して、次は別な意味を持つ。 1. $\vdash P$ （$P$ の証明が在る、$P$ は正しい） 2. $\not\vdash P$ （$P$ の証明がない、$P$ が正しい保証はない） 3. $\vdash \lnot P$ （$P$ の否定の証明が在る、$P$ は間違っている） 4. $\not\vdash \lnot P$ （$P$ の否定の証明がない、$P$ が間違っているとは断言できない）次節に続く。 ## フェイク情報に騙されないためにさまざまなフェイクに騙される事件・事態があるが、その原因は： - 情報が提示されていること（インターネットサイトに載っていたとか）を、その情報が真であることと判断する。単に提示されているだけの命題（真偽はとりあえず不明）を $P$ とすると： 1. $\not\vdash P$ その情報が正しい確たる証拠・裏付けがない。真偽はなんとも言えない。 2. $\not\vdash \lnot P$ その情報が間違っている確たる証拠・裏付けがない。真偽はなんとも言えない。 3. $\vdash P$ その情報が正しい確たる証拠・裏付けがある。ファクトチェックで真と言える。 4. $\vdash \lnot P$ その情報が間違っている確たる証拠・裏付けがある。ファクトチェックで偽と言える。数学の命題に限らず、現代では「単に提示されただけの文と真偽が確実な文」を==厳しく区別==する必要性がある。日常生活でさえボンヤリできなくなっている（悲しいかな）。 ## 反例が否定の証明になることある命題を反駁（偽だと断定する）ためには反例を出せばいい、と教わっただろう。それはなぜ？ある人が、「正の自然数 $k$ に対して、$k^2 + k + 1$ は素数になる」と主張しているとしよう（ここの「主張」は地の文、国語辞書的に読んでちょうだい）。正の自然数（の集合）を ${\bf N}_{\gt 0}$ と書くことにして、この人の命題は次のように書ける。（prime(-) は「素数である」と読む。） - $\forall k\in{\bf N}_{\gt 0}.(\, prime(k^2 + k + 1) \,)$ 反駁のためには、この命題の否定を証明すればよい。 - $\lnot \forall k\in{\bf N}_{\gt 0}.(\, prime(k^2 + k + 1) \,)$ [B14 論理式を利用した命題の分析例](https://hackmd.io/@m-hiyama/B10LBM7XO) で述べたド・モルガンの法則を使うと： - $\exists k\in{\bf N}_{\gt 0}.(\, \lnot prime(k^2 + k + 1) \,)$ 存在命題の証明は、存在することを示す、つまり実例を出せばよい。k = 4 とすると： - $4\in {\bf N}_{\gt 0}$ であって、 - $\lnot prime(4^2 + 4 + 1)$ である。これにより、 - $\exists k\in{\bf N}_{\gt 0}.(\, \lnot prime(k^2 + k + 1) \,)$ は証明された。したがって、同値な命題 - $\lnot \forall k\in{\bf N}_{\gt 0}.(\, prime(k^2 + k + 1) \,)$ が証明された。ファクトチェックが済んだ状態になる。 - $\vdash \lnot \forall k\in{\bf N}_{\gt 0}.(\, prime(k^2 + k + 1) \,)$ したがって、もとの命題 $\forall k\in{\bf N}_{\gt 0}.(\, prime(k^2 + k + 1) \,)$ は反駁された（偽だと断定された）。 ## 他に主に文とその正しさについて述べたが、他に、主語と述語、動詞と目的語の扱い方、名詞の分類と使い方、形容詞・修飾語の使い方、冠詞と単数・複数形、接続詞、関係代名詞などの文法的話題がある（既に述べたものもある）。文法規則は色々あるが、なによりも「言葉を正確に使おう」という意志が重要。その意志があれば、細かい文法規則まで気にしなくてもたぶん大丈夫。専門用語の体系であっても言葉は==崩れ腐るのが宿命==。正しい言葉使いの規範があっても、現実の言葉は乱れに乱れ、方言と隠語に枝分かれしてグチャグチャになる、という事実も認識しよう。 - 津軽弁のおばあちゃん達 → <https://www.youtube.com/watch?v=bmKOW46LaGo> --- ## 追記：文の解釈の実例受講者から質問があった内容をここに書いとく。集合と写像の圏 $\Set$ で考えるが、一般の圏でも同様。次の文を解釈する。 1. A と B は同型である。 2. f は同型である。 3. f は可逆である。 4. f と g は互いに逆である。 5. f は g の逆である。キーとなる語の品詞〈part of speach〉を隅付き括弧【‥‥】に入れて示す。形容詞は「be動詞＋形容詞」の形で文の述部〈predicate part〉になるが、主語〈subject〉が1個のときは単項形容詞、主語を2個取るときは二項形容詞と==ここでは==呼ぶことにする。 1. A と B は「同型」【二項形容詞】である。 2. f は「同型」【単項形容詞】である。 3. f は「可逆」【単項形容詞】である。 4. f と g は「互いに逆」【二項形容詞】である。 5. f は「g の逆」【単項形容詞】である。注目した形容詞にbe動詞（「である」）を付けて述語〈predicate | 述部〉になるが、それを次の名前にする。主語は引数〈argument〉になる。 1. AreIsomorphic(-, -) 2. IsIsomorphism(-) 3. IsInvertible(-) 4. AreMutuallyInverse(-, -) 5. IsInverseOf(g)(-) それぞれを論理式で書いてみる。順番は箇条書きの順番とは違う。 ### AreMutuallyInverse $\For f:A \to B, g:B \to A \In \Set\\ \WeDefine AreMutuallyInverse(f, g)\\ :\Iff f;g = \id_A \land g;f = \id_B$ ### IsInverseOf(g) $\For f:A \to B, g:B \to A \In \Set\\ \WeDefine IsInverseOf(g)(f)\\ :\Iff f;g = \id_A \land g;f = \id_B$ ### IsInvertible $\For f:A \to B \In \Set\\ \WeDefine IsInvertible(f)\\ :\Iff \exists g:B \to A \In\Set.(\, f;g = \id_A \land g;f = \id_B\,)$ ### IsIsomorphism $\For f:A \to B \In \Set\\ \WeDefine IsIsomorphism(f)\\ :\Iff \exists g:B \to A \In\Set.(\, f;g = \id_A \land g;f = \id_B\,)$ ### AreIsomorphic $\For A, B \In \Set\\ \WeDefine AreIsomorphic(A, B)\\ :\Iff \exists f:A \to B, g:B \to A\In \Set.(\, f;g = \id_A \land g;f = \id_B \,)$ ### 注意事項以上の解釈から次がわかる。 1. 日本語の「同型である」は単項形容詞と二項形容詞で==オーバーロード==されている。 1. 二項形容詞の場合の主語〈述語の引数2つ〉は対象〈集合〉である。 2. 単項形容詞の場合の主語〈述語の引数1つ〉は射〈写像〉である。 2. 「同型である」【単項形容詞】と「可逆である」【単項形容詞】は完全に同義語である。 3. 二項形容詞（be動詞により二項述語）「互いに逆」の第一引数を固定すると「‥‥の逆」になる。 4. 「同型」【二項形容詞】の定義には、射を引数とする二項形容詞「互いに逆」が使われている。よって、「同型」【二項形容詞】の理解には「互いに逆」【二項形容詞】の理解が必須。