檜山トレラン3 B05 定義集

--- tags: TrRun3 id: Arrg-B05_defs.md --- # 檜山トレラン3 B05 定義集これは、オフラインの圏論セミナーの資料からの抜粋。MathJaxは使ってないので、数式が汚い（が、面倒だからママ）。順序集合以外は、すべて（純粋な | 狭義の）代数{的}?構造。全称記号のスコープは広くとる。 ## 集合 - 名前：集合〈Set〉 - 素材である集合： A - 素材である関数：なし - 法則：なし - 書き方：集合 A ## 順序集合 **代数{的}?構造ではない。** - 名前：順序集合〈Ordered Set〉 - 素材である集合： A - 素材である関係： R⊆A×A - 法則：下 - 書き方：順序集合 (A, R) 1. ∀a∈A. R(a, a) 1. ∀a, b, c∈A. R(a, b) かつ R(b, c) ならば R(a, c) 1. ∀a, b∈A. R(a, b) かつ R(b, a) ならば a = b 中置関係記号'≦'を使えば、 1. ∀a∈A. a≦a 1. ∀a, b, c∈A. a≦b かつ b≦c ならば a≦c 1. ∀a, b∈A. a≦b かつ b≦a ならば a = b 集合と所属関係（∈）を使うならば、 1. ∀a∈A. (a, a)∈R 1. ∀a, b, c∈A. (a, b)∈R かつ (b, c)∈R ならば (a, c)∈R 1. ∀a, b∈A. (a, b)∈R かつ (b, a)∈R ならば a = b ## 付点集合 - 名前：付点集合〈Pointed Set〉 - 素材である集合： A - 素材である関数： p:1→A - 法則：なし - 書き方：付点集合 (A, p) p:1→A は、多くの場合、p∈A とみなす。以下、同様な「みなし」をよく使う。 ## マグマ - 名前：マグマ〈Magma〉 - 素材である集合： A - 素材である関数： m:A×A→A - 法則：なし - 書き方：マグマ (A, m) ## 左単位的マグマ - 名前：左単位的マグマ〈Left Unital Magma〉 - 素材である集合： A - 素材である関数： m:A×A→A, ℓ:1→A - 法則： ∀x∈A. m(ℓ(0), x) = x - 書き方：左単位的マグマ (A, m, ℓ) ℓ:1→A を ℓ∈A とみなせば、法則は、∀x∈A. m(ℓ, x) = x ## 半群 - 名前：半群〈Semigroup〉 - 素材である集合： A - 素材である関数： m:A×A→A - 法則： ∀x, y, z∈A. m(m(x, y), z) = m(x, m(y, z)) - 書き方：半群 (A, m) m:A×A→A を中置演算子記号'\*'で書けば、法則は、∀x, y, z∈A. (x\*y)\*z = x\*(y\*z) ## モノイド - 名前：モノイド〈Monoid〉 - 前提： (A, m) は半群 - 追加素材である関数： e:1→A - 追加法則： ∀x∈A. m(e, x) = x, ∀x∈A. m(x, e) = x - 書き方：モノイド (A, m, e) ## 可換モノイド - 名前：可換モノイド〈Commutative Monoid〉 - 前提： (A, m, e) はモノイド - 追加法則： ∀x, y∈A. m(x, y) = m(y, x) - 書き方：可換モノイド (A, m, e) ## 群 - 名前：群〈Group〉 - 前提： (A, m, e) はモノイド - 追加素材である関数： i:A→A - 追加法則： ∀x∈A. m(i(x), x) = m(x, i(x)) = e - 書き方：群 (A, m, e, i) ## 半環 - 名前：半環〈Semiring〉 - 前提： (A, a, θ) は可換モノイド、(A, m, e) はモノイド - 追加法則：下 - 書き方：半環 (A, a, θ, m, e) 1. ∀x, y, z∈A. m(x, a(y, z)) = a(m(x, y), m(x, z)) 1. ∀x, y, z∈A. m(a(x, y), z) = a(m(x, z), m(y, z)) ## 有向グラフ - 名前：有向グラフ〈Directed Graph〉 - 素材である集合： A, X - 素材である関数： dom:X→A, cod::X→A - 法則：なし - 書き方：有向グラフ (A, X, dom, cod) 次の記法／言葉を使う。 - x:a→b :⇔ (dom(x) = a かつ cod(x) = b) - xはaからbへの辺である :⇔ x:a→b - xはaからbへの射である :⇔ xはaからbへの辺である ## 圏 - 名前：圏〈Category〉 - 素材である集合： A, X - 素材である関数： dom:X→A, cod::X→A, id:A→X, comp:X×X⊇→X - 法則：下 - 書き方：圏 (A, X, dom, cod, id, comp) - 呼び名： - Aの要素を「対象」と呼ぶ - Xの要素を「射」と呼ぶ - dom(x) を「xの域」と呼ぶ - cod(x) を「xの余域」と呼ぶ - id(a) を「aの恒等射」と呼ぶ - comp(x, y) を「xとyの結合〈合成〉」と呼ぶ 1. ∀a∈A. dom(id(a)) = a 1. ∀a∈A. cod(id(a)) = a 1. ∀x, y∈X. cod(x) = dom(y) ⇔ comp(x, y) is-defined 1. ∀x, y∈X. dom(x;y) = dom(x) 1. ∀x, y∈X. cod(x;y) = cod(y) 1. ∀(x:a→b), (y:b→c), (z:c→d). comp(comp(x, y), z) = comp(x, comp(y, z)) 1. ∀(x:a→b). comp(id(a), x) = x 1. ∀(x:a→b). comp(x, id(b)) = x comp:X×X⊇→X を中置演算記号';'で書けば、 1. ∀(x:a→b), (y:b→c), (z:c→d). (x;y);z = x;(y;z) 1. ∀(x:a→b). id(a);x = x 1. ∀(x:a→b). x;id(b) = x comp:X×X⊇→X を中置演算記号'∘'で左右を逆に書けば、 1. ∀(x:a→b), (y:b→c), (z:c→d). z∘(y∘x) = (z∘y)∘x 1. ∀(x:a→b). x∘id(a) = x 1. ∀(x:a→b). id(b)∘x = x 左右の順番と使用する記号も*習慣に過ぎない*。選択は、分野・コミュニティ・個人に依存する。 ## 厳密双対{性}?付き圏 - 名前：厳密双対{性}?付き圏〈Category with Strict {Duality \| Duals}〉 - 前提： (A, X, dom, cod, id, comp) は圏 - 追加素材である関数： dual:A→A, dual:X→X - 追加法則：下 - 書き方：厳密双対{性}?付き圏 (A, X, dom, cod, id, comp, dual) - 呼び名： - dual(a) を「aの双対対象」と呼ぶ - dual(x) を「xの双対射」と呼ぶ 1. dom(dual(x)) = dual(cod(x)) 1. cod(dual(x)) = dual(dom(x)) 1. ∀a∈A. dual(dual(a)) = a 1. ∀x∈X. dual(dual(x)) = x 1. ∀a∈A. id(dual(a)) = dual(id(a)) 1. ∀(x:a→b), (y:b→c)∈X. dual(comp(x, y)) = comp(dual(y), dual(x)) 厳密ではない双対{性}?付き圏は、等式の一部が成立しなくなり、法則は同型で与えられ、別に一貫性法則〈一貫性メタ法則〉が必要になる。 dual(a), dual(x) を a\*, x\* と書くことが多い。が、記法（書き方）と使用する記号は、分野・コミュニティ・個人に依存する。上付きアスタリスクと';'を使えば、 1. dom(x\*) = cod(x)\* 1. cod(x\*) = dom(x)\* 1. ∀a∈A. a\*\* = a 1. ∀x∈X. x\*\* = x 1. ∀a∈A. id(a\*) = id(a)\* 1. ∀(x:a→b), (y:b→c)∈X. (x;y)\* = y\*;x\* ## ダガー圏 - 名前：ダガー圏〈Dagger Category〉 - 前提： (A, X, dom, cod, id, comp, dual) は厳密双対付き圏 - 追加法則： ∀a∈A. dual(a) = a - 書き方：ダガー圏 (A, X, dom, cod, id, comp, dual) - 呼び名： - dual(x) を「xのダガー」と呼ぶ (A, X, dom, cod, id, comp, dual) がダガー圏のときは、dual(x) を x† と書くのが習慣。'†'はダガーナイフのdagger、剣印記号。手書きでは'+'（プラス）や↑（上向き矢印）で代用。 - x:a→b ならば、x†:b→a ## 厳密モノイド圏 - 名前：厳密モノイド圏〈Strict Monoidal Category〉 - 前提： (A, X, dom, cod, id, comp) は圏 - 追加素材である関数： prod:A×A→A, prod:X×X→X, unit:1→A - 追加法則：下 - 書き方：厳密モノイド圏 (A, X, dom, cod, id, comp, prod, unit) - 呼び名： - prod(a, b) を「aとbのモノイド積対象」と呼ぶ - prod(x, y) を「xとyのモノイド積射」と呼ぶ - unit を「{モノイド}?単位{対象}?」と呼ぶ 1. ∀x, y∈X. dom(prod(x, y)) = prod(dom(x), dom(y)) 1. ∀x, y∈X. cod(prod(x, y)) = prod(cod(x), cod(y)) 1. ∀a∈A. id(prod(a, b)) = prod(id(a), id(b)) 1. ∀(x:a→b), (y:c→d), (z:b→e), (w:d→f)∈X. comp(prod(x, y), prod(z, w)) = prod(comp(x, z), comp(y, w)) 1. ∀a, b, c∈A. prod(prod(a, b), c) = prod(a, prod(b, c) 1. ∀x, y, z∈X. prod(prod(x, y), z) = prod(x, prod(y, z) 1. ∀a∈A. prod(unit, a) = a 1. ∀a∈A. prod(a, unit) = a 1. ∀x∈X. prod(id(unit), x) = x 1. ∀x∈X. prod(x, id(unit)) = x prodに対する標準的中置演算子記号は'⊗'。法則を、'⊗'と';'を使って書けば、 1. ∀x, y∈X. dom(x⊗y) = dom(x)⊗dom(y) 1. ∀x, y∈X. cod(x⊗y) = cod(x)⊗cod(y) 1. ∀a∈A. id(a⊗b) = id(a)⊗id(b) 1. ∀(x:a→b), (y:c→d), (z:b→e), (w:d→f)∈X. (x⊗y) ; (z⊗w) = (x;z) ⊗ (y;w) 1. ∀a, b, c∈A. (a⊗b)⊗c = a⊗(b⊗c) 1. ∀x, y, z∈X. (x⊗y)⊗z = x⊗(y⊗z) 1. ∀a∈A. unit⊗a = a 1. ∀a∈A. a⊗unit = a 1. ∀x∈X. id(unit)⊗x = x 1. ∀x∈X. x⊗id(unit) = x ## 厳密双対{性}?付き厳密モノイド圏 - 名前：厳密双対{性}?付き厳密モノイド圏〈Strict Monoidal Category with Strict {Duality \| Duals}〉 - 前提： (A, X, dom, cod, id, comp, dual) は厳密双対{性}?付き圏、(A, X, dom, cod, id, comp, prod, unit) は厳密モノイド圏 - 追加法則： ∀x, y∈X. dual(prod(x, y)) = prod(dual(x), dual(y)) - 書き方：厳密双対{性}?付き厳密モノイド圏 (A, X, dom, cod, id, comp, dual, prod, unit) ## 厳密余双対{性}?付き厳密モノイド圏 - 名前：厳密余双対{性}?付き厳密モノイド圏〈Strict Monoidal Category with Strict {Coduality \| Coduals}〉 - 前提： (A, X, dom, cod, id, comp, dual) は厳密双対{性}?付き圏、(A, X, dom, cod, id, comp, prod, unit) は厳密モノイド圏 - 追加法則： ∀x, y∈X. dual(prod(x, y)) = prod(dual(y), dual(x)) - 書き方：厳密双対{性}?付き圏 (A, X, dom, cod, id, comp, dual, prod, unit) ※ 余双対〈codual〉は一般的な用語ではない。他の用語も見当たらない。 ## ダガー厳密モノイド圏 - 名前：ダガー厳密モノイド圏〈Daagger Strict Monoidal Category〉 - 前提： (A, X, dom, cod, id, comp, dual) はダガー圏、(A, X, dom, cod, id, comp, prod, unit) は厳密モノイド圏 - 追加法則： ∀x, y∈X. dual(prod(x, y)) = prod(dual(x), dual(y)) - 書き方：ダガー厳密モノイド圏 (A, X, dom, cod, id, comp, dual, prod, unit)