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# 檜山トレラン4 D05 n, k が付く用語・概念

写経学習／念仏学習用の資料。

## 一覧表

番号〈次元〉で整理しないと、脈絡なく個別に準備された膨大な言葉をカオス状態で憶えるハメになる。

| 用語 | 制限 | 同義語 |
|------|--------|-------|
| n-圏 | 0 ≦ n | |
| k/n-シング | 0 ≦ k ≦ n + 1 | n-圏のk-射 |
| k/n-恒等 | 1 ≦ k ≦ n + 1 | n-圏の恒等k-射 |
| n-指標 | 0 ≦ n | |
| k/n-ラベル | 0 ≦ k ≦ n + 1 | n-指標のk-ラベル |
| k/n-コンビネーション | 0 ≦ k ≦ n + 1 | n-指標のk-コンビネーション（文法前提） |
| k/n-宣言{文}? | 0 ≦ k ≦ n + 1 | n-指標のk-宣言{文}? |
| n-文法 | 0 ≦ n | |
| k/n-リテラル | 0 ≦ k ≦ n + 1 | |
| n-セオリー | 0 ≦ n | |
| n-代数構造 | 0 ≦ n |n-代数、n-構造、構造{的 \\| 付き}n-圏 |

==注意：== 番号付けは人によりズレることがある。n-文法を(n + 1)-指標と同一視すれば、次元は n + 1 とするだろうし、n-代数構造も +1 されるかも知れない。1-集合＝0-圏、2-集合＝1-圏、3-集合＝2-圏、‥‥ として集合の次元で勘定する人もいる。我々の次元の約束では、「rig = 1-rig が0-代数構造、2-rig が1-代数構造」になるが、「rig = 1-rig が1-代数構造、2-rig が2-代数構造」が自然と感じる人も当然いるだろう。

## 短い説明

1. n-圏 ： (短く説明できない)
1. k/n-シング ： n-圏のk次元の射、(n + 1)-射はn-射の等式
1. k/n-恒等 ： n-圏のk次元の恒等射、(k - 1)-射のあいだの等式
1. n-指標 ： n-圏の射〈シング〉に対するプロファイル宣言の集まり
1. k/n-ラベル ： n-指標のなかで、k-射を名指すつもりの名前
1. k/n-コンビネーション ： 文法に則って、n-指標をもとに作った、k-射を表す予定のテキスト／グラフィックスによる表現
1. k/n-宣言{文}? ： n-指標のなかで、k-射のプロファイルを宣言する文
1. n-文法 ： n-指標を受け取って、n-セオリーを生成する規則の集まり
1. k/n-リテラル ： k/n-シングの固有名。文法に追加されて、k/n-コンビネーションを作る際に使われる。
1. n-セオリー ： 特定のn-指標から文法に則って作られたk/n-コンビネーションの集まり。kごとのコンビネーションの集合は $\mathrm{Th}_k^\mathscr{G}(\Sigma)$ （$\mathscr{G}$ はn-文法）と書く。
1. n-代数構造 ： n-圏を台対象として、n-圏の(n + 1)-圏内で定義される構造。(n + 1)-指標のモデルになっている。「n-圏 X 上の Y〈Y on {an \| the} n-category X〉」のように言う。例：集合 X 上の群〈a group on the set X〉

## n-圏のシング／コネクティブ〈コンビネータ〉／コンビネーション

以下は、[D02 セオリー論の重要概念 まとめ](https://hackmd.io/@m-hiyama/rJuObkBRY) の記述を少し変更追加したもの。まったく面白みのない羅列だが、**念仏のように唱える**行為でけっこう(n, k)-感覚が養われる。

### 0-圏 ＝ 集合 のシング／コネクティブ〈コンビネータ〉／コンビネーション

- 0-圏の0-シング＝0-射＝集合の要素
- 0-圏の0-コネクティブ〈コンビネータ〉＝集合の要素に対する演算〈操作〉（の記号、以下同様）
- 0-圏の0-コンビネーション＝集合の要素の組み合わせ、0-シングを表す
- 0-圏の1-シング＝1-射＝集合の要素のあいだの等式
- 0-圏の1-コネクティブ〈コンビネータ〉＝集合の要素のあいだの等式に対する演算〈操作〉
- 0-圏の1-コンビネーション＝集合の要素のあいだの等式の組み合わせ、1-シングを表す

### 1-圏 ＝ 圏 のシング／コネクティブ〈コンビネータ〉／コンビネーション

- 1-圏の0-シング＝0-射＝圏の対象
- 1-圏の0-コネクティブ〈コンビネータ〉＝圏の対象に対する演算〈操作〉（の記号、以下同様）
- 1-圏の0-コンビネーション＝圏の対象の組み合わせ、0-シングを表す
- 1-圏の1-シング＝1-射＝圏の射
- 1-圏の1-コネクティブ〈コンビネータ〉＝圏の射に対する演算〈操作〉
- 1-圏の1-コンビネーション＝圏の射の組み合わせ、1-シングを表す
- 1-圏の2-シング＝2-射＝圏の射のあいだの等式
- 1-圏の2-コネクティブ〈コンビネータ〉＝圏の射のあいだの等式に対する演算〈操作〉
- 1-圏の2-コンビネーション＝圏の射のあいだの等式の組み合わせ、2-シングを表す

### 集合の1-圏 のシング／コネクティブ〈コンビネータ〉／コンビネーション

- 集合の1-圏の0-シング＝0-射＝集合
- 集合の1-圏の0-コネクティブ〈コンビネータ〉＝集合に対する演算〈操作〉（の記号、以下同様） 例： ベキ集合（の記号）
- 集合の1-圏の0-コンビネーション＝集合の組み合わせ、0-シングを表す
- 集合の1-圏の1-シング＝1-射＝写像
- 集合の1-圏の1-コネクティブ〈コンビネータ〉＝写像に対する演算〈操作〉例： デカルト・ペアリング
- 集合の1-圏の1-コンビネーション＝写像の組み合わせ、1-シングを表す
- 集合の1-圏の2-シング＝2-射＝写像のあいだの等式
- 集合の1-圏の2-コネクティブ〈コンビネータ〉＝写像のあいだの等式に対する演算〈操作〉
- 集合の1-圏の2-コンビネーション＝写像のあいだの等式の組み合わせ、2-シングを表す

### 2-圏 のシング／コネクティブ〈コンビネータ〉／コンビネーション

- 2-圏の0-シング＝0-射＝2-圏の対象
- 2-圏の0-コネクティブ〈コンビネータ〉＝2-圏の対象に対する演算〈操作〉（の記号、以下同様）
- 2-圏の0-コンビネーション＝2-圏の対象の組み合わせ、0-シングを表す
- 2-圏の1-シング＝1-射＝2-圏の1-射
- 2-圏の1-コネクティブ〈コンビネータ〉＝2-圏の1-射に対する演算〈操作〉
- 2-圏の1-コンビネーション＝2-圏の1-射の組み合わせ、1-シングを表す
- 2-圏の2-シング＝2-射＝2-圏の2-射
- 2-圏の2-コネクティブ〈コンビネータ〉＝2-圏の2-射に対する演算〈操作〉
- 2-圏の2-コンビネーション＝2-圏の2-射の組み合わせ、2-シングを表す
- 2-圏の3-シング＝3-射＝2-圏の2-射のあいだの等式
- 2-圏の3-コネクティブ〈コンビネータ〉＝2-圏の2-射のあいだの等式に対する演算〈操作〉
- 2-圏の3-コンビネーション＝2-圏の2-射のあいだの等式の組み合わせ、3-シングを表す

### 圏の2-圏 のシング／コネクティブ〈コンビネータ〉／コンビネーション

- 圏の2-圏の0-シング＝0-射＝圏
- 圏の2-圏の0-コネクティブ〈コンビネータ〉＝圏に対する演算〈操作〉（の記号、以下同様） 例：直積
- 圏の2-圏の0-コンビネーション＝圏の組み合わせ、0-シングを表す
- 圏の2-圏の1-シング＝1-射＝関手
- 圏の2-圏の1-コネクティブ〈コンビネータ〉＝関手に対する演算〈操作〉 例：結合
- 圏の2-圏の1-コンビネーション＝関手の組み合わせ、1-シングを表す
- 圏の2-圏の2-シング＝2-射＝自然変換
- 圏の2-圏の2-コネクティブ〈コンビネータ〉＝自然変換に対する演算〈操作〉例：縦結合
- 圏の2-圏の2-コンビネーション＝自然変換の組み合わせ、2-シングを表す
- 圏の2-圏の3-シング＝3-射＝自然変換のあいだの等式
- 圏の2-圏の3-コネクティブ〈コンビネータ〉＝自然変換のあいだの等式に対する演算〈操作〉例：推移律
- 圏の2-圏の3-コンビネーション＝自然変換のあいだの等式の組み合わせ、3-シングを表す