TWAMM 做市商的数学原理

最近，Paradigm 研究合伙人 Dave White、Dan Robinson 与 Uniswap 创始人 Hayden Adams 一起合作设计了一个全新的做市模型「时间加权平均做市商 TWAMM」（Time-Weighted Average Market Maker）。根据其发表文章介绍，TWAMM 可以在以太坊上有效地交易大额订单，工作原理是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，在一定时间内使用嵌入式 AMM 平滑地执行这些交易。

关于 TWAMM 的虚拟交易所涉及的数学，Dave White 在文中并没有多费笔墨，只在最后给出了非常简单的数学结论，这对于理解 TWAMM 的数学原理非常不利。本文将重点对 TWAMM 的数学原理进行严格的论证和解释，至于 TWAMM 模型详细的设计原理，可以前往 Paradigm 官网查看:https://www.paradigm.xyz/2021/07/twamm/，本文不再做详述。

定义

假设 TWAMM 执行大额虚拟交易需要

$N$ 个区块，出售

$X$ 的池子以每区块

$x_{rate}$ 的速率出售，而出售

$Y$ 的池子以每个区块

$y_{rate}$ 的速率出售。因此，在整个期间售出的

$X$ 总量为

$x_{in}=N{x}_{rate}$，售出的

$Y$ 总量为

$y_{in}=N{y}_{rate}$。

同时，我们将此时间段嵌入 AMM 的初始储备

$x_{reserve}$ 和

$y_{reserve}$ 分别表示为

$x_0=x_{ammStart}$ 以及

$y_0=y_{ammStart}$。

按照 TWAMM 的设计，大额订单是随着区块进行交易的，每个区块出售

$x_{rate}$ 得到

$y_{out}$，或者出售

$y_{rate}$ 得到

$x_{out}$，同时 AMM 会更新

$x_{reserve}$ 和

$y_{reserve}$ 的值，整个过程总共交易

$N$ 次。

值得注意的是，AMM 的每个区块交易总是遵循恒定乘积做市。

公式

首先，在执行第

$n-1$ 区块的交易后，我们假设此时 AMM 的

$x_{reserve}$ 和

$y_{reserve}$ 值分别为

$x_{n-1}$ 和

$y_{n-1}$。

接下来执行第

$n$ 区块的交易，

$X-Pool$ 和

$Y-Pool$ 分别向 AMM 输入

$x_{rate}$ 和

$y_{rate}$，命：

$${\bar{x}}_n=x_{n-1}+x_{rate}$$

$${\bar{y}}_n=y_{n-1}+y_{rate}$$

因为

$x_{rate}$ 和

$y_{rate}$ 非常微小，且区块的交易 AMM 遵循恒定乘积做市商，我们可以得到，

$${\displaystyle \frac{x_{out,n}}{y_{rate}}}={\displaystyle \frac{{\bar{x}}_n}{{\bar{y}}_n}}={\displaystyle \frac{x_{n-1}+x_{rate}}{y_{n-1}+y_{rate}}}$$

$${\displaystyle \frac{y_{out,n}}{x_{rate}}}={\displaystyle \frac{{\bar{y}}_n}{{\bar{x}}_n}}={\displaystyle \frac{y_{n-1}+y_{rate}}{x_{n-1}+x_{rate}}}$$

化简，

$$x_{out,n}=y_{rate}\ast {\displaystyle \frac{{\bar{x}}_n}{{\bar{y}}_n}}=y_{rate}\ast {\displaystyle \frac{x_{n-1}+x_{rate}}{y_{n-1}+y_{rate}}}$$

$$y_{out,n}=x_{rate}\ast {\displaystyle \frac{{\bar{y}}_n}{{\bar{x}}_n}}=x_{rate}\ast {\displaystyle \frac{y_{n-1}+y_{rate}}{x_{n-1}+x_{rate}}}$$

在得到

$x_{out,n}$ 和

$y_{out,n}$ 的值后，我们进一步可以获得

$n$ 区块的交易后 AMM 的

$x_{reserve}$ 和

$y_{reserve}$ 值

$x_n$ 和

$y_n$，

$$x_n={\bar{x}}_n-x_{out,n}={\bar{x}}_n-y_{rate}\ast {\displaystyle \frac{{\bar{x}}_n}{{\bar{y}}_n}}=y_{n-1}\ast {\displaystyle \frac{{\bar{x}}_n}{{\bar{y}}_n}}=y_{n-1}\ast {\displaystyle \frac{x_{n-1}+x_{rate}}{y_{n-1}+y_{rate}}}$$

$$y_n={\bar{y}}_n-y_{out,n}={\bar{y}}_n-x_{rate}\ast {\displaystyle \frac{{\bar{y}}_n}{{\bar{x}}_n}}=x_{n-1}\ast {\displaystyle \frac{{\bar{y}}_n}{{\bar{x}}_n}}=x_{n-1}\ast {\displaystyle \frac{y_{n-1}+y_{rate}}{x_{n-1}+x_{rate}}}$$

通过观察，我们发现

$x_n\ast y_n=x_{n-1}\ast y_{n-1}$，这正好符合 AMM 的循恒定乘积做市的前提要求。

令，

$x_n\ast y_n=x_{n-1}\ast y_{n-1}=...=x_1\ast y_1=x_0\ast y_0=k$，这是一个常数。

分式线性递归

先对

$x_n$ 求得一般公式，并获得

$x_{ammEnd}=x_N$ 的值，

$y_n$ 同理。

$$x_n=y_{n-1}\ast {\displaystyle \frac{x_{n-1}+x_{rate}}{y_{n-1}+y_{rate}}}={\displaystyle \frac{k}{x_{n-1}}}\ast {\displaystyle \frac{x_{n-1}+{\displaystyle \frac{x_{in}}{N}}}{{\displaystyle \frac{k}{x_{n-1}}}+{\displaystyle \frac{y_{in}}{N}}}}=k\ast {\displaystyle \frac{x_{n-1}+{\displaystyle \frac{x_{in}}{N}}}{{\displaystyle \frac{y_{in}}{N}}\ast x_{n-1}+k}}$$

设

$a=\sqrt{{\displaystyle \frac{k\ast x_{in}}{y_{in}}}},\bar{a}=\sqrt{{\displaystyle \frac{k\ast y_{in}}{x_{in}}}},b=\sqrt{{\displaystyle \frac{x_{in}\ast y_{in}}{k}}}$，则

$$x_n={\displaystyle \frac{x_{n-1}+{\displaystyle \frac{ab}{N}}}{{\displaystyle \frac{b}{aN}}\ast x_{n-1}+1}}$$

$y_n$ 的分式线性递归表达式如下：

$$y_n=k\ast {\displaystyle \frac{y_{n-1}+{\displaystyle \frac{y_{in}}{N}}}{{\displaystyle \frac{x_{in}}{N}}\ast y_{n-1}+k}}={\displaystyle \frac{y_{n-1}+{\displaystyle \frac{\bar{a}b}{N}}}{{\displaystyle \frac{b}{\bar{a}N}}\ast y_{n-1}+1}}$$

解

首先，若

$y_{in}$ 等于 0，

$x_{in}$ 不等于 0，则

$x_n=x_0+{\displaystyle \frac{ab}{N}}\ast n,x_{ammEnd}=x_N=x_0+x_{in},x_{out}=x_0+x_{in}-x_{ammEnd}=0$。

而

$y_n=k\ast {\displaystyle \frac{y_{n-1}}{{\displaystyle \frac{x_{in}}{N}}\ast y_{n-1}+k}},{\displaystyle \frac{1}{y_n}}={\displaystyle \frac{1}{y_{n-1}}}+{\displaystyle \frac{x_{in}}{kN}}$。

计算得到，

$y_n={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{y_0}}+{\displaystyle \frac{x_{in}}{kN}}\ast n}},y_{ammEnd}=y_N={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{y_0}}+{\displaystyle \frac{x_{in}}{k}}}}$。

而

$y_{out}=y_0+y_{in}-y_{ammEnd}={\displaystyle \frac{x_{in}{y}_0}{x_{in}{y}_0+k}}\ast y_0$。

---

$x_{in}$ 等于 0，

$y_{in}$ 不等于 0 时，讨论同上。

---

若

$x_{in}$ 和

$y_{in}$ 都不等于 0，对于一般的分式线性递归，我们可以采用不动点的方法求解。

根据

$x_n={\displaystyle \frac{x_{n-1}+{\displaystyle \frac{ab}{N}}}{{\displaystyle \frac{b}{aN}}\ast x_{n-1}+1}}$，命

$\lambda ={\displaystyle \frac{\lambda +{\displaystyle \frac{ab}{N}}}{{\displaystyle \frac{b}{aN}}\ast \lambda +1}}$，解得

$\lambda =\pm a$。

$\pm a$ 正是上述分式线性递归表达式的两个不动点。

进一步计算，

$$x_n-a={\displaystyle \frac{a({\displaystyle \frac{N}{b}}-1)(x_{n-1}-a)}{x_{n-1}+{\displaystyle \frac{aN}{b}}}},x_n+a={\displaystyle \frac{a({\displaystyle \frac{N}{b}}+1)(x_{n-1}+a)}{x_{n-1}+{\displaystyle \frac{aN}{b}}}}$$

将上面两个表达式相除，

$${\displaystyle \frac{x_n-a}{x_n+a}}={\displaystyle \frac{N-b}{N+b}}\ast {\displaystyle \frac{x_{n-1}-a}{x_{n-1}+a}}=(1-{\displaystyle \frac{2b}{N+b}})\ast {\displaystyle \frac{x_{n-1}-a}{x_{n-1}+a}}$$

根据等比数列求得,

$${\displaystyle \frac{x_n-a}{x_n+a}}=(1-{\displaystyle \frac{2b}{N+b}}{)}^n\ast {\displaystyle \frac{x_0-a}{x_0+a}},{\displaystyle \frac{x_N-a}{x_N+a}}=(1-{\displaystyle \frac{2b}{N+b}}{)}^N\ast {\displaystyle \frac{x_0-a}{x_0+a}}$$

同理，

$${\displaystyle \frac{y_n-\bar{a}}{y_n+\bar{a}}}=(1-{\displaystyle \frac{2b}{N+b}}{)}^n\ast {\displaystyle \frac{y_0-\bar{a}}{y_0+\bar{a}}},{\displaystyle \frac{y_N-\bar{a}}{y_N+\bar{a}}}=(1-{\displaystyle \frac{2b}{N+b}}{)}^N\ast {\displaystyle \frac{y_0-\bar{a}}{y_0+\bar{a}}}$$

极限值

TWAMM 的基本假设是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，也即是

$N$ 可以取无穷大，这时候可以获得

$x_N$ 的极限值。

$${\displaystyle \frac{x_{ammEnd}-a}{x_{ammEnd}+a}}=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x_N-a}{x_N+a}}=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-{\displaystyle \frac{2b}{N+b}}{)}^N\ast {\displaystyle \frac{x_0-a}{x_0+a}}=e^{-2b}\ast {\displaystyle \frac{x_0-a}{x_0+a}}$$

$$x_{ammEnd}=a\ast {\displaystyle \frac{e^{2b}+c}{e^{2b}-c}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{k{x}_{in}}{y_{in}}}}\ast {\displaystyle \frac{e^{2\sqrt{{\displaystyle \frac{x_{in}{y}_{in}}{k}}}}+c}{e^{2\sqrt{{\displaystyle \frac{x_{in}{y}_{in}}{k}}}}-c}}$$

其中，

$$c={\displaystyle \frac{x_0-a}{x_0+a}}={\displaystyle \frac{\sqrt{x_{ammStart}\ast y_{in}}-\sqrt{y_{ammStart}\ast x_{in}}}{\sqrt{x_{ammStart}\ast y_{in}}+\sqrt{y_{ammStart}\ast x_{in}}}}$$

$$x_{out}=x_{ammStart}+x_{in}-x_{ammEnd}$$

相似的，

$$y_{ammEnd}=\sqrt{{\displaystyle \frac{k{y}_{in}}{x_{in}}}}\ast {\displaystyle \frac{e^{2\sqrt{{\displaystyle \frac{x_{in}{y}_{in}}{k}}}}+\bar{c}}{e^{2\sqrt{{\displaystyle \frac{x_{in}{y}_{in}}{k}}}}-\bar{c}}}$$

$$\bar{c}={\displaystyle \frac{\sqrt{y_{ammStart}\ast x_{in}}-\sqrt{x_{ammStart}\ast y_{in}}}{\sqrt{x_{ammStart}\ast y_{in}}+\sqrt{y_{ammStart}\ast x_{in}}}}=-c$$

$$y_{out}=y_{ammStart}+y_{in}-y_{ammEnd}$$

最后，经过简单的验证

$x_{ammEnd}\ast y_{ammEnd}=x_{ammStart}\ast y_{ammStart}=k$，依然满足 AMM 的恒定乘积。

至此，我们完成了TWAMM 的数学原理严格的论证和解释，并得到了与「时间加权平均做市商 TWAMM」一文完全相同的结论。