TWAMM 集中流动性的数学原理

Uniswap V3 核心是通过盘口区间提供流动性（集中式流动性），流动性提供者将流动性添加到有可能价格波动到的区间范围，提高资金使用率。

TWAMM 做市商作为新型的 AMM 协议同样可以采用集中流动性（Concentrated Liquidity）。

资金利用率

先看看 Uniswap V2 使用非集中流动性的资金利用率。

上图为资金池中的

$x-y$ 的量变化曲线。资金池中的当前价格在

$c$ 点，并且假设会在

$a$ 价格点和

$b$ 价格点之间波动。从

$c$ 点向

$a$ 点滑动，消耗最大

$y_{real}$，从

$c$ 点向

$b$ 点滑动，消耗最大为

$x_{real}$。也就是说，当前价格

$c$ 点，在

$a$ 点和

$b$ 点之间震荡的话，最大只需要消耗

$x_{real}$ 和

$y_{real}$。理论上只要提供

$x_{real}$ 和

$y_{real}$ 就足够了。而事实上，如上图所示，在价格

$c$ 点，分别提供了大于

$x_{real}$ 和

$y_{real}$ 的

$x$ 和

$y$。明显可以看出，

$x-x_{real}$ 和

$y-y_{real}$ 的资金在这种情况下是永远用不上的，也就称为闲置资金。在这种情况下，资金利用率为

${\displaystyle \frac{x_{real}}{x}}$ 或者

${\displaystyle \frac{y_{real}}{y}}$。如果价格波动非常小的话，资金利用率是非常低的。

如何在某个区间添加流动性并提供 Swap 功能是 Uniswap V3 的重点，这需要先从虚拟资金池说起。

虚拟资金池

Uniswap 的交易采用恒定乘积模型（

$x\cdot y=k$）。所谓的虚拟资金池(Virtual Reserves)，是指在乘积恒定曲线上，只提供某个区间流动性的资金池：

图中的蓝色的曲线就是虚拟资金池满足的乘积恒定曲线。事实上需要的资金的曲线如图中的橘黄色。橘黄色的曲线公式如下图：

$$(x+{\displaystyle \frac{L}{\sqrt{p_b}}})(y+L\sqrt{p_a})=L^2$$

你可以想象成虚拟资金曲线在

$x-y$ 轴进行平移，使得

$a,b$ 点和

$x,y$ 轴重合。也就是用一定量的资金就能达到“虚拟”的交易曲线的效果。

Uniswap V3 集中流动性

恒定乘积做市商资金池中的两种代币金额满足：

$x\cdot y=k$。如果设定

$k=L^2$ 的话，

$x\cdot y=L^2$，

$L$ 就是我们说的流动性。由恒定乘积的交易模型得出如下的公式：

$$L=\sqrt{xy},p={\displaystyle \frac{y}{x}}$$

在已知

$L$ 和

$\sqrt{p}$ 的情况下，也能推导出资金需求量

$x$ 和

$y$:

$$x={\displaystyle \frac{L}{\sqrt{p}}},y=L\sqrt{p}$$

通过上面的公式，在流动性不变的情况下（不添加或删除流动性），流动性可以看成是单位“价格波动”的

$y$ 资金量的变化。“价格波动”打上引号是因为事实上是

$\sqrt{p}$ 的变化。

$$L={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }\sqrt{p}}}$$

这个是 Uniswap V3 核心公式，用相对值（资金和价格相对值）来计算流动性。所谓的流动性，就是单位“价格变化”的资金量。在一定的交易量的情况下，如果流动性好，价格变化就小，流动性不够的话，价格波动就大。

集中流动性兑换

集中流动性的引入，使用户可以把资金放到任意价格区间内提供流动性，上文为了方便解释原理，只用了一个区间的场景，实际场景中不太可能只有一个价格区间，假设有几个连续的价格区间各自有不同的流动，则如下如所示：

我们可以看到，做市商曲线不再连续了，在交易过程中，价格变化到不同区间时要分段独立计算，但是在

$X-Y$ 直角坐标系中每个价格区间的边界是一条直线，

$x$ 和

$y$ 的量是同时变化的，而且还可能存在价格区间有重叠的情况，这就导致整个的计算过程复杂度非常高。

Uniswap V3 改用

$Price-Liquidity$ 的坐标系，这样价格区间的边界就从一个二维的直线变成了

$Price$ 轴上的一个点了，而且增加/减少流动性不会改变当前价格，Swap会导致价格变化但不会改变流动性的值，因此

$Price$ 和

$Liquidity$ 在同一时间只有一个值变化，进一步降低了计算复杂度.

如何计算 Swap 的结果是 Uniswap V3 的重点。对用户和应用侧来说，还是对

$X_{token}$ 和

$Y_{token}$ 进行的操作，所以在实际计算过程中要在

$(X,Y)\leftrightarrows (Price,Liquidity)$ 之间做互相的转换.

当发生一次 Swap 时，

$x_{in}$ 和

$y_{in}$ 其中有一个为零，我们可以将 Swap 结果写成如下对称形式：

$$x_{ammEnd}=y_{ammStart}\cdot {\displaystyle \frac{x_{ammStart}+x_{in}}{y_{ammStart}+y_{in}}}$$

$$y_{ammEnd}=x_{ammStart}\cdot {\displaystyle \frac{y_{ammStart}+y_{in}}{x_{ammStart}+x_{in}}}$$

$$x_{out}=x_{ammStart}+x_{in}-x_{ammEnd}=y_{in}\cdot {\displaystyle \frac{x_{ammStart}+x_{in}}{y_{ammStart}+y_{in}}}$$

$$y_{out}=y_{ammStart}+y_{in}-y_{ammEnd}=x_{in}\cdot {\displaystyle \frac{y_{ammStart}+y_{in}}{x_{ammStart}+x_{in}}}$$

简单起见，我们令

$y_{in}=0$：

$$x_{ammEnd}=x_{ammStart}+x_{in}$$

$$y_{ammEnd}=x_{ammStart}\cdot {\displaystyle \frac{y_{ammStart}}{x_{ammStart}+x_{in}}}$$

$$x_{out}=x_{ammStart}+x_{in}-x_{ammEnd}=0$$

$$y_{out}=y_{ammStart}-y_{ammEnd}=x_{in}\cdot {\displaystyle \frac{y_{ammStart}}{x_{ammStart}+x_{in}}}$$

由于，

$$x_{ammEnd}={\displaystyle \frac{L}{\sqrt{p_{ammEnd}}}},x_{ammStart}={\displaystyle \frac{L}{\sqrt{p_{ammStart}}}}$$

$$y_{ammEnd}=L\sqrt{p_{ammEnd}},y_{ammStart}=L\sqrt{p_{ammStart}}$$

$$p_{ammEnd}={\displaystyle \frac{y_{ammEnd}}{x_{ammEnd}}},p_{ammStart}={\displaystyle \frac{y_{ammStart}}{x_{ammStart}}}$$

可以计算出

$p_{ammEnd}$ 关于

$x_{in}$ 和

$p_{ammStart}$ 的计算公式:

$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{p_{ammEnd}}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{p_{ammStart}}}}+{\displaystyle \frac{x_{in}}{L}}$$

$$x_{in}={\displaystyle \frac{L}{\sqrt{p_{ammEnd}}}}-{\displaystyle \frac{L}{\sqrt{p_{ammStart}}}}$$

$$y_{out}=y_{ammStart}-y_{ammEnd}=L\sqrt{p_{ammStart}}-L\sqrt{p_{ammEnd}}$$

TWAMM 集中流动性

按照 TWAMM 的数学原理 一文，TWAMM 依然采用恒定乘积的交易模型，资金池中的两种代币金额满足：

$x\cdot y=k=L^2$。由恒定乘积的交易模型依然得出如下的公式：

$$L=\sqrt{xy},p={\displaystyle \frac{y}{x}},x={\displaystyle \frac{L}{\sqrt{p}}},y=L\sqrt{p}$$

如果 TWAMM 引入集中流动性，即时兑换（Instant Swap）的

$(X,Y)\leftrightarrows (Price,Liquidity)$ 计算结果依然和 Uniswap V3 相同，但是定期兑换（Term Swap）就不相同了。

TWAMM 长期订单到期执行结算的结果如下：

$$x_{ammEnd}=\sqrt{{\displaystyle \frac{k{x}_{in}}{y_{in}}}}\cdot {\displaystyle \frac{e^{2\sqrt{{\displaystyle \frac{x_{in}{y}_{in}}{k}}}}+c}{e^{2\sqrt{{\displaystyle \frac{x_{in}{y}_{in}}{k}}}}-c}}$$

$$x_{out}=x_{ammStart}+x_{in}-x_{ammEnd}$$

$$y_{ammEnd}=\sqrt{{\displaystyle \frac{k{y}_{in}}{x_{in}}}}\cdot {\displaystyle \frac{e^{2\sqrt{{\displaystyle \frac{x_{in}{y}_{in}}{k}}}}+\bar{c}}{e^{2\sqrt{{\displaystyle \frac{x_{in}{y}_{in}}{k}}}}-\bar{c}}}$$

$$y_{out}=y_{ammStart}+y_{in}-y_{ammEnd}$$

$$c={\displaystyle \frac{\sqrt{x_{ammStart}\cdot y_{in}}-\sqrt{y_{ammStart}\cdot x_{in}}}{\sqrt{x_{ammStart}\cdot y_{in}}+\sqrt{y_{ammStart}\cdot x_{in}}}}=-\bar{c}$$

$$e^{2\sqrt{{\displaystyle \frac{x_{in}{y}_{in}}{k}}}}>\left|{\displaystyle \frac{\sqrt{x_{ammStart}\cdot y_{in}}-\sqrt{y_{ammStart}\cdot x_{in}}}{\sqrt{x_{ammStart}\cdot y_{in}}+\sqrt{y_{ammStart}\cdot x_{in}}}}\right|$$

同样，我们有：

$$x_{ammEnd}={\displaystyle \frac{L}{\sqrt{p_{ammEnd}}}},x_{ammStart}={\displaystyle \frac{L}{\sqrt{p_{ammStart}}}}$$

$$y_{ammEnd}=L\sqrt{p_{ammEnd}},y_{ammStart}=L\sqrt{p_{ammStart}}$$

$$p_{ammEnd}={\displaystyle \frac{y_{ammEnd}}{x_{ammEnd}}},p_{ammStart}={\displaystyle \frac{y_{ammStart}}{x_{ammStart}}}$$

可以计算出

$p_{ammEnd}$ 关于

$x_{in}$，

$y_{in}$，

$\bar{p}={\displaystyle \frac{y_{in}}{x_{in}}}$（长期订单到期执行结算时

$\bar{p}$ 是常数）和

$p_{ammStart}$ 的公式:

$$p_{ammEnd}=\bar{p}\cdot {\left({\displaystyle \frac{e^{2\sqrt{{\displaystyle \frac{x_{in}{y}_{in}}{k}}}}+\bar{c}}{e^{2\sqrt{{\displaystyle \frac{x_{in}{y}_{in}}{k}}}}-\bar{c}}}\right)}^2$$

$$=\bar{p}\cdot {\left({\displaystyle \frac{e^{2\sqrt{\bar{p}}{\displaystyle \frac{x_{in}}{L}}}+\bar{c}}{e^{2\sqrt{\bar{p}}{\displaystyle \frac{x_{in}}{L}}}-\bar{c}}}\right)}^2$$

$$\bar{c}={\displaystyle \frac{\sqrt{p_{ammStart}}-\sqrt{\bar{p}}}{\sqrt{p_{ammStart}}+\sqrt{\bar{p}}}}=-c$$

再次计算：

$$\sqrt{p_{ammEnd}}=\sqrt{\bar{p}}\cdot {\displaystyle \frac{e^{2\sqrt{\bar{p}}{\displaystyle \frac{x_{in}}{L}}}+\bar{c}}{e^{2\sqrt{\bar{p}}{\displaystyle \frac{x_{in}}{L}}}-\bar{c}}}$$

$$=\sqrt{\bar{p}}\cdot {\displaystyle \frac{e^{2{\displaystyle \frac{y_{in}}{L\sqrt{\bar{p}}}}}+\bar{c}}{e^{2{\displaystyle \frac{y_{in}}{L\sqrt{\bar{p}}}}}-\bar{c}}}>0$$

反向计算求得

$x_{in}$ 和

$y_{in}$ 计算公式：

$$e^{2\sqrt{\bar{p}}{\displaystyle \frac{x_{in}}{L}}}={\displaystyle \frac{\bar{c}\cdot (\sqrt{p_{ammEnd}}+\sqrt{\bar{p}})}{\sqrt{p_{ammEnd}}-\sqrt{\bar{p}}}}={\displaystyle \frac{(\sqrt{p_{ammStart}}-\sqrt{\bar{p}})\cdot (\sqrt{p_{ammEnd}}+\sqrt{\bar{p}})}{(\sqrt{p_{ammStart}}+\sqrt{\bar{p}})\cdot (\sqrt{p_{ammEnd}}-\sqrt{\bar{p}})}}>1$$

经过分析，

$${\displaystyle \frac{\sqrt{p_{ammStart}}-\sqrt{p_{ammEnd}}}{\sqrt{p_{ammEnd}}-\sqrt{\bar{p}}}}>0$$

上述不等式说明

$p_{ammEnd}$ 的值介于

$\bar{p}$ 和

$p_{ammStart}$ 之间（排除

$\bar{p}$，

$p_{ammStart}$ 和

$p_{ammEnd}$ 都相等的情况）。

另外，通过对

$\sqrt{p_{ammEnd}}$ 求导，我们可以获得

$\sqrt{p_{ammEnd}}$ 对

$x_{in}$ 和

$y_{in}$ 的变化情况：

$$\frac{\mathrm{d}\sqrt{p_{ammEnd}}}{\mathrm{d}{x}_{in}}={\displaystyle \frac{-4\bar{p}\cdot \bar{c}}{L{(e^{2\sqrt{\bar{p}}{\displaystyle \frac{x_{in}}{L}}}-\bar{c})}^2}}$$

$$\frac{\mathrm{d}\sqrt{p_{ammEnd}}}{\mathrm{d}{y}_{in}}={\displaystyle \frac{-4\bar{c}}{L{(e^{2{\displaystyle \frac{y_{in}}{L\sqrt{\bar{p}}}}}-\bar{c})}^2}}$$

上面说明，如果

$\bar{p}>p_{ammStart}$，则

$p_{ammEnd}$ 单增，反之则单减。

最后，

$$x_{in}={\displaystyle \frac{L}{2\sqrt{\bar{p}}}}\ln \left|{\displaystyle \frac{(\sqrt{p_{ammStart}}-\sqrt{\bar{p}})\cdot (\sqrt{p_{ammEnd}}+\sqrt{\bar{p}})}{(\sqrt{p_{ammStart}}+\sqrt{\bar{p}})\cdot (\sqrt{p_{ammEnd}}-\sqrt{\bar{p}})}}\right|$$

$$y_{in}={\displaystyle \frac{L\sqrt{\bar{p}}}{2}}\ln \left|{\displaystyle \frac{(\sqrt{p_{ammStart}}-\sqrt{\bar{p}})\cdot (\sqrt{p_{ammEnd}}+\sqrt{\bar{p}})}{(\sqrt{p_{ammStart}}+\sqrt{\bar{p}})\cdot (\sqrt{p_{ammEnd}}-\sqrt{\bar{p}})}}\right|$$

我们可以得到

$x_{out}$ 和

$y_{out}$ 的表达式：

$$x_{out}={\displaystyle \frac{L}{\sqrt{p_{ammStart}}}}+x_{in}-{\displaystyle \frac{L}{\sqrt{p_{ammEnd}}}}$$

$$={\displaystyle \frac{L}{\sqrt{p_{ammStart}}}}-{\displaystyle \frac{L}{\sqrt{p_{ammEnd}}}}+{\displaystyle \frac{L}{2\sqrt{\bar{p}}}}\ln \left|{\displaystyle \frac{(\sqrt{p_{ammStart}}-\sqrt{\bar{p}})\cdot (\sqrt{p_{ammEnd}}+\sqrt{\bar{p}})}{(\sqrt{p_{ammStart}}+\sqrt{\bar{p}})\cdot (\sqrt{p_{ammEnd}}-\sqrt{\bar{p}})}}\right|$$

$$y_{out}=L\sqrt{p_{ammStart}}+y_{in}-L\sqrt{p_{ammEnd}}$$

$$=L\sqrt{p_{ammStart}}-L\sqrt{p_{ammEnd}}+{\displaystyle \frac{L\sqrt{\bar{p}}}{2}}\ln \left|{\displaystyle \frac{(\sqrt{p_{ammStart}}-\sqrt{\bar{p}})\cdot (\sqrt{p_{ammEnd}}+\sqrt{\bar{p}})}{(\sqrt{p_{ammStart}}+\sqrt{\bar{p}})\cdot (\sqrt{p_{ammEnd}}-\sqrt{\bar{p}})}}\right|$$

如果

$y_{in},\bar{p}\to 0,x_{in}\ne 0$，通过 L'Hôpital's Rule 求极限我们可以得到即时兑换的结果：

$$x_{in}=\underset{\bar{p}\to 0}{lim}({\displaystyle \frac{L}{2\sqrt{\bar{p}}}}\ln \left|{\displaystyle \frac{(\sqrt{p_{ammStart}}-\sqrt{\bar{p}})\cdot (\sqrt{p_{ammEnd}}+\sqrt{\bar{p}})}{(\sqrt{p_{ammStart}}+\sqrt{\bar{p}})\cdot (\sqrt{p_{ammEnd}}-\sqrt{\bar{p}})}}\right|)$$

$$={\displaystyle \frac{L}{\sqrt{p_{ammEnd}}}}-{\displaystyle \frac{L}{\sqrt{p_{ammStart}}}}$$

$$y_{in}=0$$

$$x_{out}=0$$

$$y_{out}=L\sqrt{p_{ammStart}}-L\sqrt{p_{ammEnd}}$$

参考

• [1] Mathematical Principle of TWAMM
• [2] Technical Documentation for TWAMM Protocol
• [3] Introducing Uniswap V3
• [4] Uniswap V3 Core WhitePaper
• [5] Uniswap V3 技术白皮书导读
• [6] Uniswap V3 源代码导读
• [7] Uniswap v3 设计详解