# bayes.game 去中心化版 ## mint KEY KEY为随机数字1-48或随机字母A-Z Key price 0.0002 ETH/个 ## 铸造 Ticket 彩票形式，5个数字+1个字母 玩家可将任意5个数字key+1个字母key铸造为1张Ticket（NFT） ## 奖池 Pot Key的铸造费用全部进入奖池 ## 开奖规则 5+1 最近连续mint 的6个key满足5个数字+1个字母则自动开奖并作为开奖号码 每次开奖号码有效领奖时间48小时，过期开奖号码作废，无法再claim > Key 排列成一个时间序列 {$K_{t}$}={$k_{t_{0}}$, $k_{t_{1}}$, $k_{t_{2}}$, $k_{t_{3}}$, $k_{t_{4}}$, $k_{t_{5}}$, $k_{t_{6}}$ ...}，序列上数值是 1-48 数字或者 A-Z 的字母。 > > 开奖要求连续的六个 $k_{t}$ 满足 5 个数字 +1 个字母的组合，当然这六个 $k_{t}$ 不一定是由同一个人 mint。 > > 我们取某个时间节点 t 开始，考察之前由用户连续 mint 产生的 六个 $k_{t}$ 满足开奖条件的概率为：$C_{6}^{1} / 2^6 = 0.09372$ （或者 $C_{6}^{1} \cdot 26 \cdot 48^{5}/74^{6}=0.24207$, 若要求必须最后一个 key 为字母，$26 \cdot 48^{5}/74^{6}=0.04034$ ）, 这是一个很高的中奖概率。 > > 若我们考虑最坏的情况，时间节点 t 之前的六个 $k_{t}$ 刚好由同一个人 mint，若 t 之前奖池累积了很多的资金，那么此人由极大的概率获得头奖，赢取巨额奖金。 > > 所以，从产品层面，我们要从代码设计连续的六个 $k_{t}$ 必须是多人 mint, 降低同一用户 mint 连续的六个 $k_{t}$ 既能开奖中奖的概率。 >上面讨论了的是一种特殊情况，假设一个用户 mint 了六个 $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$, $k_{4}$, $k_{5}$, $k_{6}$。而六个 $k_t$ 满足 5 个数字 +1 个字母的组合数为：$26 \cdot 48^{5}$。 > >随着时间的推移，这六个 Key 成为头奖号码的概率为：$1/(26 \cdot 48^{5})$。即这个用户中头奖的概率为 $P_1=1/6624903168$ > >同理，用户获得二等奖的最大概率为（$k_{t}$ 包含五个不同数字） $P_2=47 \cdot 5/(26 \cdot 48^{5})$ >$k_{t}$ 包含四个不同数字：$P_2=47 \cdot 4/(26 \cdot 48^{5})$ >$k_{t}$ 包含三个不同数字：$P_2=47 \cdot 3/(26 \cdot 48^{5})$ >$k_{t}$ 包含二个不同数字：$P_2=47 \cdot 2/(26 \cdot 48^{5})$ >$k_{t}$ 包含一个不同数字：$P_2=47 \cdot 1/(26 \cdot 48^{5})$ >用户获得三等奖的最大概率为（$k_{t}$ 包含五个不同数字） $P_3=(46^{2} \cdot C_{5}^{2})/(26 \cdot 48^{5})$ >$k_{t}$ 包含四个不同数字：$P_3=(47^{2}+46^{2} \cdot C_{4}^{2})/(26 \cdot 48^{5})$ >$k_{t}$ 包含三个不同数字：$P_3=(47^{2}+46^{2} \cdot C_{3}^{2})/(26 \cdot 48^{5})$ >$k_{t}$ 包含二个不同数字：$P_3=(47^{2}+46^{2} \cdot C_{2}^{2})/(26 \cdot 48^{5})$ >$k_{t}$ 包含一个不同数字：$P_3= 47^{2}/(26 \cdot 48^{5})$ >用户获得四等奖的最大概率为（$k_{t}$ 包含五个不同数字） $P_4=(45^{3} \cdot C_{5}^{3})/(26 \cdot 48^{5})$ >$k_{t}$ 包含四个不同数字：$P_4=(46^{3} \cdot 3+45^{3} \cdot C_{4}^{3})/(26 \cdot 48^{5})$ >$k_{t}$ 包含三个不同数字：$P_4=(47^{3}+46^{3} \cdot 2+45^{3} \cdot C_{3}^{3})/(26 \cdot 48^{5})$ >$k_{t}$ 包含二个不同数字：$P_4=(47^{3}+46^{3} )/(26 \cdot 48^{5})$ >$k_{t}$ 包含一个不同数字：$P_4= 47^{3}/(26 \cdot 48^{5})$ >用户获得五等奖的最大概率为（$k_{t}$ 包含五个不同数字） $P_5=(44^{4} \cdot C_{5}^{4})/(26 \cdot 48^{5})$ >$k_{t}$ 包含四个不同数字：$P_5=(45^{4} \cdot 3+44^{4} \cdot C_{4}^{4})/(26 \cdot 48^{5})$ >$k_{t}$ 包含三个不同数字：$P_5=(46^{4} \cdot 2+45^{4})/(26 \cdot 48^{5})$ >$k_{t}$ 包含二个不同数字：$P_5=(47^{4}+46^{4} )/(26 \cdot 48^{5})$ >$k_{t}$ 包含一个不同数字：$P_5= 47^{4}/(26 \cdot 48^{5})$ >用户不获奖的最大概率为（$k_{t}$ 包含五个不同数字） $P_0=(43^{5}+48^{5} \cdot 25 )/(26 \cdot 48^{5})$ >$k_{t}$ 包含四个不同数字：$P_0=(44^{5}+48^{5} \cdot 25 )/(26 \cdot 48^{5})$ >$k_{t}$ 包含三个不同数字：$P_0=(45^{5}+48^{5} \cdot 25 )/(26 \cdot 48^{5})$ >$k_{t}$ 包含二个不同数字：$P_0=(46^{5}+48^{5} \cdot 25 )/(26 \cdot 48^{5})$ >$k_{t}$ 包含一个不同数字：$P_0=(47^{5}+48^{5} \cdot 25 )/(26 \cdot 48^{5})$ >时间序列 {$K_{t}$} 可由三个部分叠加而成的，即：趋势项部分，周期项部分，以及随机噪声项部分。 > >用公式表示： >$${K_{t}}={T_{t}}+{S_{t}}+{R_{t}}$$ > >其中 T 是趋势项，S 是周期项，R 是随机项，t 代表的是时间。 >研究时间序列的最主要目的当然是预测。而从时间序列中把这三个部分分解出来是序列分析、预测的的首要任务，这一过程被称为时间序列分解。我们要考虑的是从上一次开奖到下一次开奖的 t 估计（周期性），也就能计算出奖池能够累积多少奖金。研究趋势性，就能确定如何选择 key 组合可以获得最大的中奖概率。 > ### 线性分解趋势项 > 方便起见，我们用虚数 $(i1，i2, i3...i24,i25,i26)$ 来代替字母 A-Z。 > > 一种比较简单的趋势拟合即是采用线性回归。从趋势项的角度，可简单地认为时间序列与时间有简单的线性关系： > $$K_t=a+bt+ϵt, t=1,2,3,...$$ ## 奖金等级 头奖5+1奖金=总奖池的40% 二等奖4+1奖金（5%） 三等奖3+1奖金（1%） 四等奖2+1奖金（0.2%） 五等奖1+1奖金（0.05%） - 依此计算，当奖池1ETH， 奖金分配，开发者{3%}，国库{12%} 头奖5+1奖金=总奖池的20% 二等奖4+1奖金（2%） 三等奖3+1奖金（10000 USD） 四等奖2+1奖金（100 Usd） 五等奖1+1奖金（10 USD） - 依此计算，当奖池1ETH， 奖金分配，开发者{3%}，国库{12 头奖5+1奖金=总奖池的20% 二等奖4+1奖金（2%） 三等奖3+1奖金（0.2%） 四等奖2+1奖金（100 Usd） 五等奖1+1奖金（10 USD） - 依此计算，当奖池1ETH， 奖金分配，开发者{3%}，国库{12%} >key price = 0.00035 ETH（1 USD），1 ticket price = 6 USD。 > >用户获得五等奖的最大概率为：$P_5=(44^{4} \cdot C_{5}^{4})/(26 \cdot 48^{5})=0.00283$，意味着用户每组 1,000 张彩票就能获得 3 注五等奖，1,000 张彩票的成本大约 $1,000 \cdot 6 \cdot 1=6,000$ USD。若兑换这 3 注奖后再组 3 张彩票，成本为 18 USD，之后这新的 1,000 张彩票又能获得 3 注五等奖。所以为了游戏继续（允许套利空间），3 张五等奖彩票的奖金必须在成本附近，建议设置五等奖奖金为 10 USD，$6000/(3 \cdot (10-6))=500$，500 次后收回 6,000 USD 成本。 > >同理，四等奖的最大概率为 $P_4=(45^{3} \cdot C_{5}^{3})/(26 \cdot 48^{5})=0.00014$，意味着用户每组 10,000 张彩票就能获得 2 注四等奖，10,000 张彩票的成本大约 $10,000 \cdot 6 \cdot 1=60,000$ USD。若兑换这 2 注奖后再组 2 张彩票，成本为 12 USD，之后这新的 10,000 张彩票又能获得 2 注四等奖。所以为了游戏继续（允许套利空间），2 张四等奖彩票的奖金必须在成本附近，建议设置四等奖奖金为 100 USD, $60000/(2 \cdot (100-6))=320$，320 次后收回 60,000 USD 成本。 > >三等奖的最大概率为 $P_3=(46^{2} \cdot C_{5}^{2})/(26 \cdot 48^{5})=0.0000032$，意味着用户每组 1,000,000 张彩票就能获得 3 注三等奖，1,000,000 张彩票的成本大约 $1,000,000 \cdot 6 \cdot 1=6,000,000$ USD。若兑换这 3 注奖后再组 3 张彩票，成本为 18 USD，之后这新的 1,000,000 张彩票又能获得 3 注三等奖。 > >若设置三等奖奖金为 10000 USD, $6000000/(3 \cdot (10000-6))=200$，200 次后收回 6,000,000 USD 成本。 > >若设置三等奖的奖金为奖池的 0.2%，3 注三等奖总共为 0.6%，那么只要用户在之后进行多次新的组 3 张彩票和兑奖的流程，就有可能拿回 6,000,000 USD 的初始成本。 > >每次的奖金百分比为 r，初始奖金为 $z_0$, $z_{n+1}=(1-r) \cdot z_n$, 计算等比数列，$z_n=z_0 \cdot (1-r)^{n}$, 若 r=0.2%，经过 n=2000 次流程后收回成本，$6000000 \cdot (1-r)^{2000 \cdot 3}=36.4$ > >二等奖的最大概率为 $P_2=(47 \cdot C_{5}^{1})/(26 \cdot 48^{5})=0.000000035$，意味着用户每组 100,000,000 张彩票就能获得 3 注二等奖，100,000,000 张彩票的成本大约 $100,000,000 \cdot 6=600,000,000$ USD。若兑换这 3 注奖后再组 3 张彩票，成本为 18 USD，之后这新的 100,000,000 张彩票又能获得 3 注二等奖。 > >若设置二等奖奖金为 1,000,000 USD, $600000000/(3 \cdot (1000000-6))=200$，200 次后收回 600,000,000 USD 成本。 > >若设置二等奖的奖金为奖池的 2%，3 注二等奖总共为 6%，那么只要用户在之后进行多次新的组 3 张彩票和兑奖的流程，就有可能拿回 600,000,000 USD 的初始成本。 > >每次的奖金百分比为 r，初始奖金为 $z_0$, $z_{n+1}=(1-r) \cdot z_n$, 计算等比数列，$z_n=z_0 \cdot (1-r)^{n}$, 若 r=2%，经过 n=365 次流程后，$600000000 \cdot (1-r)^{365 \cdot 3}=0.148$ > >一等奖的最大概率为 $P_1=1/(26 \cdot 48^{5})=0.00000000015$，意味着用户每组 10,000,000,000 张彩票就能获得 2 注一等奖，10,000,000,000 张彩票的成本大约 $10,000,000,000 \cdot 6=60,000,000,000$ USD。若兑换这 2 注奖后再组 2 张彩票，成本为 12 USD，之后这新的 10,000,000,000 张彩票又能获得 2 注一等奖。若设置一等奖的奖金为奖池的 20%，2 注一等奖总共为 40%，那么只要用户在之后进行多次新的组 2 张彩票和兑奖的流程，就有可能拿回 60,000,000,000 USD 的初始成本。 > >每次的奖金百分比为 r，初始奖金为 $z_0$, $z_{n+1}=(1-r) \cdot z_n$, 计算等比数列，$z_n=z_0 \cdot (1-r)^{n}$, 若 r=20%，经过 n=60 次流程后，$60000000000 \cdot (1-r)^{60 \cdot 2}=0.14$ > ## 兑奖 中奖者可在有效的开奖号码列表，点击对应的号码claim领取奖金 兑奖后彩票进行燃烧销毁 ## 积分规则 mint key获得积分 - 每次mint key可获得2积分 铸造ticket奖励积分 - 每铸造一张ticket获得10积分 pool积分奖励 - 玩家往pool中放入一张ticket可获得5积分 ## Blast Pool 用户可将任意ticket投入pool 池中任意彩票中奖，池中任意地址可发起claim 成功claim后对应彩票作废 进入pool ticket列表，点击对应ticket claim
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Showen Peng
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Mathematical Principle of TWAMM Concentrated Liquidity

The core of Uniswap V3 is to provide liquidity through intervals (Concentrated Liquidity), where liquidity providers add liquidity to a range that has the potential for price fluctuations to improve capital utilization. TWAMM automated market makers as a new type of AMM protocol can also use Concentrated Liquidity. Capital Utilization Let's look at the utilization rate of Uniswap V2 using non-concentrated liquidity. The above graph shows the volume change curve of $x-y$ in the pool. The current price in the pool is at $c$ and is assumed to fluctuate between $a$ price point and $b$ price point. Sliding from point $c$ to point $a$ consumes the maximum $y_{real}$ and sliding from point $c$ to point $b$ consumes the maximum $x_{real}$. That is, the current price $c$ point, oscillating between $a$ and $b$ points, consumes only $x_{real}$ and $y_{real}$ at maximum. Theoretically it is enough to provide $x_{real}$ and $y_{real}$. And in fact, as shown above, at the price $c$ point, $x$ and $y$ are provided greater than $x_{real}$ and $y_{real}$, respectively. It is obvious that the funds $x-x_{real}$ and $y-y_{real}$ are never used in this case, which is also called idle funds. In this case, the capital utilization rate is $\dfrac{x_{real}}{x}$ or $\dfrac{y_{real}}{y}$. If the price fluctuation is very small, the capital utilization is very low. How to add liquidity in a certain price interval and provide Swap function is the focus point of Uniswap V3, which needs to start with the virtual Reserves.

4/1/2022
TWAMM 集中流动性的数学原理

Uniswap V3 核心是通过盘口区间提供流动性（集中式流动性），流动性提供者将流动性添加到有可能价格波动到的区间范围，提高资金使用率。 TWAMM 做市商作为新型的 AMM 协议同样可以采用集中流动性（Concentrated Liquidity）。 资金利用率 先看看 Uniswap V2 使用非集中流动性的资金利用率。 上图为资金池中的 $x-y$ 的量变化曲线。资金池中的当前价格在 $c$ 点，并且假设会在 $a$ 价格点和 $b$ 价格点之间波动。从 $c$ 点向 $a$ 点滑动，消耗最大 $y_{real}$，从 $c$ 点向 $b$ 点滑动，消耗最大为 $x_{real}$。也就是说，当前价格 $c$ 点，在 $a$ 点和 $b$ 点之间震荡的话，最大只需要消耗 $x_{real}$ 和 $y_{real}$。理论上只要提供 $x_{real}$ 和 $y_{real}$ 就足够了。而事实上，如上图所示，在价格 $c$ 点，分别提供了大于 $x_{real}$ 和 $y_{real}$ 的 $x$ 和 $y$。明显可以看出，$x-x_{real}$ 和 $y-y_{real}$ 的资金在这种情况下是永远用不上的，也就称为闲置资金。在这种情况下，资金利用率为 $\dfrac{x_{real}}{x}$ 或者 $\dfrac{y_{real}}{y}$。如果价格波动非常小的话，资金利用率是非常低的。 如何在某个区间添加流动性并提供 Swap 功能是 Uniswap V3 的重点，这需要先从虚拟资金池说起。

3/29/2022
Mathematical Principle of TWAMM

Definition Assume that TWAMM requires $N$ blocks to execute a large virtual transaction, and that the pool selling $X$ sells at a rate of $x_{rate}$ per block, while the pool selling $Y$ sells at a rate of $y_{rate}$ per block. Thus, the total amount of $X$ sold during the whole period is $x_{in}=Nx_{rate}$ and the total amount of $Y$ sold is $y_{in}=Ny_{rate}$. Also, we note the initial reserves $x_{reserve}$ and $y_{reserve}$ for this time period in embeded AMM as $x_{0}=x_{ammStart}$ and $y_{0}=y_{ammStart}$, respectively. According to the design of TWAMM, large orders are traded with blocks, each block sells $x_{rate}$ to get $y_{out}$, or sells $y_{rate}$ to get $x_{out}$, while AMM updates the values of $x_{reserve}$ and $y_{reserve}$, the whole process $N$ transactions in total. It is worth noting that each block transaction of AMM always follows a constant product market making. Formula

3/9/2022
TWAMM 做市商的数学原理

最近，Paradigm 研究合伙人 Dave White、Dan Robinson 与 Uniswap 创始人 Hayden Adams 一起合作设计了一个全新的做市模型「时间加权平均做市商 TWAMM」（Time-Weighted Average Market Maker）。根据其发表文章介绍，TWAMM 可以在以太坊上有效地交易大额订单，工作原理是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，在一定时间内使用嵌入式 AMM 平滑地执行这些交易。 关于 TWAMM 的虚拟交易所涉及的数学，Dave White 在文中并没有多费笔墨，只在最后给出了非常简单的数学结论，这对于理解 TWAMM 的数学原理非常不利。本文将重点对 TWAMM 的数学原理进行严格的论证和解释，至于 TWAMM 模型详细的设计原理，可以前往 Paradigm 官网查看:https://www.paradigm.xyz/2021/07/twamm/，本文不再做详述。 定义 假设 TWAMM 执行大额虚拟交易需要 $N$ 个区块，出售 $X$ 的池子以每区块 $x_{rate}$ 的速率出售，而出售 $Y$ 的池子以每个区块 $y_{rate}$ 的速率出售。因此，在整个期间售出的 $X$ 总量为 $x_{in}=Nx_{rate}$，售出的 $Y$ 总量为 $y_{in}=Ny_{rate}$。 同时，我们将此时间段嵌入 AMM 的初始储备 $x_{reserve}$ 和 $y_{reserve}$ 分别表示为 $x_{0}=x_{ammStart}$ 以及 $y_{0}=y_{ammStart}$。 按照 TWAMM 的设计，大额订单是随着区块进行交易的，每个区块出售 $x_{rate}$ 得到 $y_{out}$，或者出售 $y_{rate}$ 得到 $x_{out}$，同时 AMM 会更新 $x_{reserve}$ 和 $y_{reserve}$ 的值，整个过程总共交易 $N$ 次。

11/23/2021
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Published on HackMD