Un veloce ripasso di analisi

Legenda

• Insiemi ed elementi di logica
• Funzioni di una variabile
• Limiti e continuità
• Calcolo differenziale
• Integrali indefiniti e definiti
  
  
  
  

1. Insiemi ed elementi di logica

Overview:

• Insiemi e numeri
• Operazioni e ordinamento
• Quantificatori universale ed esistenziale
  • Tale che ed implica; negazione, connettivi logici, negazione di una frase
• L'asse reale; estremo superiore
• Il piano cartesiano

Insiemi ed elementi di logica

• Insiemi e numeri

  In matematica, un insieme è una collezione di elementi distinti.

  Gli elementi di un insieme possono essere qualsiasi cosa, come numeri, letterem parole, oggetti e molto altro.

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  Ci sono diversi tipi di numeri, come i numeri interi, i numeri razionali e i numeri reali.

  Gli insiemi possono essere descritti utilizzando una notazione simbolica, come ad esempio {1, 2, 3} per descrivere l'insieme dei numeri interi da 1 a 3.

  Ci sono diverse operazioni che possono essere effettuate sugli insiemi:

  • l'unione (che combina due insiemi in uno solo), l'intersezione (che seleziona solo gli elementi comuni a due insiemi)
  • la differenza (che seleziona solo gli elementi presenti in un insieme ma non nell'altro).

• Operazioni e ordinamento

  Ci sono diverse operazioni che possono essere effettuate sugli insiemi e sui numeri, come la somma, la moltiplicazione, la divisione, la sottrazione e la potenza.

• Quantificatori universale ed esistenziale

  I quantificatori universale ed esistenziale sono espressioni utilizzate per descrivere la relazione tra un insieme e i suoi elementi.

  Il quantificatore universale "per ogni" indica che una proprietà è vera per tutti gli elementi di un insieme, mentre il quantificatore esistenziale "esiste almeno un" indica che almeno un elemento di un insieme possiede una determinata proprietà.

  Ad esempio:
  se A = {1, 2, 3} e P(x) è la proposizione "x è un numero pari",
  allora possiamo scrivere ∀x ∈ A, P(x) per dire che ogni elemento x appartenente ad A soddisfa la proposizione P(x), o ∃x ∈ A, P(x) per dire che almeno un elemento x appartenente ad A soddisfa la proposizione P(x).

• Tale che ed implica, negazione, connettivi logici, negazione di una frase:

  Il simbolo "tale che" (∀) è utilizzato per specificare una condizione che deve essere soddisfatta perché una proposizione sia vera.

  Ad esempio, se A = {1, 2, 3} e P(x) è la proposizione "x è un numero pari", allora possiamo scrivere ∃x ∈ A, tale che P(x) per dire che esiste almeno un elemento x appartenente adfhh A che soddisfa la proposizione P(x).

  Il simbolo di implicazione → indica che una proposizione (notata P) implica un'altra proposizione (notata Q).
  Ad esempio, se P è la proposizione "piove" e Q è la proposizione "il cielo è nuvoloso", allora possiamo scrivere P → Q per dire che "se piove allora il cielo è nuvoloso".

  La negazione è un'operazione logica che inverte il valore di verità di un'espressione.
  Ad esempio, la negazione della proposizione "il cielo è blu" è "il cielo non è blu".

  I connettivi logici sono simboli utilizzati per combinare espressioni logiche in modo da formare nuove espressioni.

  Ad esempio, il connettivo "e" (∧) combina due proposizioni in una nuova proposizione che è vera solo se entrambe le proposizioni originali sono vere.

• L’asse reale, estremo superiore

  L'asse reale è una linea orizzontale utilizzata per rappresentare i numeri reali in un grafico.

  L'estremo superiore dell'asse reale è l'infinito, mentre l'estremo inferiore è il meno infinito.

  Ad esempio, in un grafico cartesiano, l'asse x rappresenta l'asse reale, ovvero i valori delle x, e l'estremo superiore dell'asse x rappresenta l'infinito. Inoltre, l'estremo inferiore dell'asse x rappresenta il meno infinito.

• Il piano cartesiano

  Il piano cartesiano è un sistema di coordinate utilizzato per rappresentare i punti in un piano geometrico.

  è composto da due assi ortogonali, l'asse x (asse reale) e l'asse y (asse immaginario), che si incrociano in un punto detto origine.

  Ogni punto del piano cartesiano può essere descritto utilizzando una coppia ordinata di numeri reali (x, y), che indicano le coordinate del punto rispetto all'origine.

  Ad esempio, il punto (3, 4) si trova 3 unità lungo l'asse x e 4 unità lungo l'asse y rispetto all'origine.

2. Funzioni di una variabile

In matematica, una funzione è una relazione di input (conosciuto anche come x) ed un insieme di output (conosciuto anche come y).

In altre parole, una funzione descrive come gli elementi di un insieme x sono associati agli elementi di un insieme y.

Una funzione può essere descritta utilizzando una formula matematica, ad esempio y = f(x) = x^2.

In questo caso la funzione f assegna ad ogni numero reale x il suo valore al quadrato.

• Operazioni tra funzioni

  è possibile effettuare diverse operazioni tra funzioni, come somma, moltiplicazione, divisione e composizione

  • Somma: per sommare due funzioni f(x) e g(x), si somma il valore di f(x) al valore di g(x) per ogni x del dominio comune.

    Esempio:

    ​​​​​​​​f(x) = x^2
    ​​​​​​​​g(x) = x+1
    ​​​​
    ​​​​​​​​(f+g)(x) = f(x) + g(x) = (x^2) + (x+1)
    

  • Moltiplicazione:
    per moltiplicare due funzioni f(x) e g(x), si moltiplica il valore di f(x) al valore di g(x) per ogni x del dominio comune.

    ​​​​​​​​f(x) = x^2 
    ​​​​​​​​g(x) = x+1
    ​​​​​​​​(f*g)(x) = f(x) * g(x) = x^3 + x^2
    

  • Divisione:
    per dividere due funzioni f(x) e g(x), si divide il valore di f(x) per il valore di g(x) per ogni x del dominio comune.

    ​​​​​​​​f(x) = x^2
    ​​​​​​​​g(x) = x+1
    ​​​​​​​​(f/g)(x) = f(x) / g(x) = (x - 1) / (x + 1)
    

  • Composizione:
    La composizione di due funzioni f(x) e g(x) è una nuova funzione, notata g ∘ f, che, ad ogni x, assegna il valore g(f(x)).

    ​​​​​​​​f(x) = x^2 
    ​​​​​​​​g(x) = x+1
    ​​​​​​​​(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 1
    

• Funzioni limitate:
  Una funzione è limitata se non assume valori troppo grandi o troppo piccoli per un certo intervallo di valori della variabile indipendente.

  Il concetto di limite di una funzione è fondamentale per capire se una funzione è limitata o meno.

  Il limite di una funzione f(x) in un punto a, notato lim x->a f(x), è il valore che tende ad assumere f(x) mentre x si avvicina ad a. Ad esempio, per la funzione f(x) = 1/x, il limite di f(x) mentre x si avvicina a 0 è +infinito.

  Per calcolare il limite di una funzione in un punto a si possono utilizzare diverse tecniche, tra cui la regola dei quattro punti, la regola della valanga, la regola dell'ospital, etc.

  Approfondimento

  • Regola dei quattro punti: questa tecnica consiste nel calcolare il valore della funzione in quattro punti vicini al punto in cui si vuole calcolare il limite, per vedere se questi valori tendono ad un unico valore. Ad esempio, per calcolare il limite della funzione f(x) mentre x si avvicina a 2, si può calcolare f(1.9), f(1.99), f(1.999), f(2). Se questi valori tendono ad un unico valore, allora quel valore è il limite della funzione mentre x si avvicina a 2.
  • Regola della valanga: questa tecnica consiste nel calcolare il valore della funzione in un punto vicino al punto in cui si vuole calcolare il limite, quindi in un punto più vicino ancora, e così via, fino a quando i valori della funzione non tendono ad un unico valore. Ad esempio, per calcolare il limite della funzione f(x) mentre x si avvicina a 2, si può calcolare f(2), f(1.9), f(1.99), f(1.999) e così via. Se questi valori tendono ad un unico valore, allora quel valore è il limite della funzione mentre x si avvicina a 2.
  • Regola dell'ospital: questa tecnica consiste nel formare il rapporto tra la funzione e un termine noto e poi calcolare il limite di tale rapporto. Ad esempio, per calcolare il limite della funzione f(x) = x^2/x mentre x si avvicina a 0, si può formare il rapporto f(x)/x e calcolare il limite di tale rapporto mentre x si avvicina a 0. In questo caso si ottiene lim x->0 x^2/x = lim x->0 x = 0

  Inoltre esistono alcune proprietà dei limiti, tra cui:

  • Il limite di una funzione in un punto è uguale al valore della funzione in quel punto se esiste
  • Il limite di una funzione in un punto è uguale al limite di una funzione costante moltiplicata per la funzione originaria
  • Il limite di una funzione in un punto è uguale al limite del prodotto tra la funzione e una costante
  • Il limite di una funzione in un punto è uguale al prodotto tra il limite di una funzione e la costante

  Esercizio:
  Calcola il limite della funzione f(x) = x^2 - 3x + 2 mentre x si avvicina a 1.

  Per risolvere questo esercizio bisogna sostituire x con 1 nella funzione f(x) e si ottiene f(1) = 1 - 3 + 2 = 0, quindi il limite della funzione f(x) mentre x si avvicina a 1 è 0.

  
  

  Ci sono alcuni casi particolari in cui non è possibile calcolare un limite infinito o meno infinito utilizzando le tecniche standard, ad esempio quando la funzione presenta un punto di discontinuità o quando non esiste un valore finito per la funzione in quel punto. In questi casi si può utilizzare un metodo come il 'limite laterale' o il 'limite inferiore/superiore' per cercare di capire come si comporta la funzione in quel punto.

  • Limite laterale: questo metodo consiste nel calcolare i limiti da entrambi i lati di un punto, ad esempio calcolare lim x->a+ f(x) e lim x->a- f(x), dove a è il punto in cui si vuole calcolare il limite.

    Se i due limiti sono uguali, allora il limite esiste e assume il valore dei limiti calcolati. Altrimenti, se i due limiti sono diversi, il limite non esiste.

    Esempio:
    Calcolare lim x->0+ 1/x

    In questo caso si calcola lim x->0+ 1/x = +infinito e lim x->0- 1/x = -infinito, quindi il limite laterale non esiste.

  • Limite inferiore/superiore: questo metodo consiste nel calcolare il limite inferiore e il limite superiore di una funzione in un punto.

    Il limite inferiore è il valore più piccolo che assume la funzione mentre x si avvicina al punto in cui si vuole calcolare il limite, mentre il limite superiore è il valore più grande che assume la funzione mentre x si avvicina al punto in cui si vuole calcolare il limite.

    Se il limite inferiore e il limite superiore sono uguali, allora il limite esiste e assume quel valore.

    Esempio:
    Calcolare i limiti inferiore e superiore di f(x) = |x| mentre x si avvicina a 0.

    In questo caso si calcola lim x->0- f(x) = 0 e lim x->0+ f(x) = 0, quindi i limiti inferiore e superiore sono entrambi uguali a 0 e il limite esiste ed è uguale a 0
    
    

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    In generale, quando la funzione è continua in un punto, i limiti laterale e inferiore/superiore coincidono con il valore della funzione in quel punto.

    In caso contrario, cioè quando la funzione non è continua in un punto, i limiti laterale e inferiore/superiore possono aiutare a capire come si comporta la funzione in quel punto.

• Funzioni monotone
  Una funzione è detta monotona in un intervallo se in quell'intervallo essa non cambia segno, cioè o è sempre crescente o sempre decrescente. Ci sono due tipi di funzioni monotone: funzioni monotone crescenti e funzioni monotone decrescenti.

  • Funzioni monotone crescenti: una funzione è monotona crescente in un intervallo se per ogni coppia di valori x1 e x2 appartenenti all'intervallo, con x1 < x2, si ha che f(x1) <= f(x2).
    In altre parole, se si traccia il grafico della funzione, esso sale sempre o rimane costante.

    Esempio: la funzione f(x) = x^2 è monotona crescente in tutto il dominio della funzione, ovvero su tutti i numeri reali.

  • Funzioni monotone decrescenti: una funzione è monotona decrescente in un intervallo se per ogni coppia di valori x1 e x2 appartenenti all'intervallo, con x1 < x2, si ha che f(x1) >= f(x2). In altre parole, se si traccia il grafico della funzione, esso scende sempre o rimane costante.
    Esempio: la funzione f(x) = -x^2 è monotona decrescente in tutto il dominio della funzione, ovvero su tutti i numeri reali.

  Si noti che una funzione può essere monotona in alcuni intervalli e non monotona in altri. Inoltre, una funzione può essere monotona in un intervallo ma non invertibile ovvero non esiste una funzione inversa.

  Esercizio:
  Determinare in quale intervalli la funzione f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x è monotona crescente e in quale è monotona decrescente.

  1. Calcoliamo il segno della derivata seconda f''(x) = 6x - 12
  2. Notiamo che f''(x) = 0 ha soluzione x = 2.
     Dividiamo l'intervallo in 3 parti: x < 2, 2 < x < 3 e x > 3
  3. Calcoliamo f''(x) per x < 2, 2 < x < 3 e x > 3:
     
     
     
     
  • f''(x) = 6x - 12 è positivo per x < 2, quindi f(x) è concava verso l'alto e quindi crescente.
  • f''(x) = 6x - 12 è negativo per 2 < x < 3, quindi f(x) è concava verso il basso e quindi decrescente.
  • f''(x) = 6x - 12 è positivo per x > 3, quindi f(x) è concava verso l'alto e quindi crescente.
  
  
  

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  Quindi la funzione f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x è monotona crescente per x < 2 e x > 3 e monotona decrescente per 2 < x < 3.

• Funzioni Simmetriche
  Una funzione f(x,y) è detta simmetrica se per ogni coppia di valori x e y della sua variabile, esiste una coppia -x e -y tale che f(-x, -y) = f(x, y).
  In altre parole, se si specchia il grafico della funzione rispetto all'origine degli assi, esso coincide con se stesso.

  Esempio:
  La funzione f(x, y) = x^2 + y^2 è una funzione simmetrica perché
  f(-x, -y) = (-x)^2 + (-y)^2 = x^2 + y^2 = f(x, y) per ogni x e y.

  Questa definizione si può estendere a funzioni di più variabili che risultano invarianti sotto permutazione dei loro argomenti.

  Ad esempio, la funzione f(x, y, z) = x + y + z è simmetrica perché f(x, y, z) = f(y, x, z) = f(z, x, y) = ... per ogni x, y e z

• Funzioni pari e dispari
  le funzioni pari e dispari sono un particolare tipo di funzioni che presentano proprietà specifiche.

  1. Funzioni Pari: una funzione f(x) è detta pari se per ogni valore x della sua variabile, esiste un valore -x tale che f(-x) = f(x).

  In altre parole, se si specchia il grafico della funzione lungo l'asse delle x, esso coincide con se stesso.

  Esempio:
  la funzione f(x) = x^2 è una funzione pari perché f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) per ogni x.

  2. Funzioni Dispari: una funzione f(x) è detta dispari se per ogni valore x della sua variabile, esiste un valore -x tale che f(-x) = -f(x).

  In altre parole, se si specchia il grafico della funzione lungo l'asse delle x, esso è simmetrico rispetto all'asse delle x.

  Esempio: la funzione f(x) = x^3 è una funzione dispari perché f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x) per ogni valore x.

  Si noti che una funzione può essere sia pari che dispari, ad esempio la funzione f(x) = |x| è pari perché f(-x) = |-x| = |x| = f(x) per ogni x e allo stesso tempo è dispari perché f(-x) = -|x| = -f(x) per ogni x.

  In generale, le funzioni pari e dispari hanno proprietà particolari che possono essere utilizzate per semplificare il calcolo di alcune operazioni matematiche, come ad esempio l'integrazione e la trasformata di Fourier.

  Per quanto riguarda gli esempi, si possono fare esercizi per identificare le funzioni pari e dispari, per esempio verificando se la funzione f(-x) = f(x) per ogni x oppure f(-x) = -f(x) per ogni x.

3. Funzioni Limitate

Una funzione f(x) si dice limitata se la sua immagine (l’insieme dei valori che assume) è un insieme limitato.

Detto esplicitamente, questo significa che esiste un numero reale positivo M tale che |f(x)| ≤ M per ogni x nel dominio della funzione.

Ad esempio, la funzione f(x) = sin(x) è limitata perché la sua immagine è l’intervallo [-1, 1] e possiamo scegliere M = 1.

• Una funzione f(x) si dice limitata superiormente se la sua immagine è un insieme limitato superiormente.

  Detto esplicitamente, questo significa che esiste un numero reale M tale che f(x) ≤ M per ogni x nel dominio della funzione.

  Ad esempio, la funzione f(x) = e^(-x) è limitata superiormente perché la sua immagine è l’intervallo (0, 1] e possiamo scegliere M = 1.

• Una funzione f(x) si dice limitata inferiormente se la sua immagine è un insieme limitato inferiormente.

  Detto esplicitamente, questo significa che esiste un numero reale M tale che f(x) ≥ M per ogni x nel dominio della funzione.

  Ad esempio, la funzione f(x) = x^2 + 1 è limitata inferiormente perché la sua immagine è l’intervallo [1, +∞) e possiamo scegliere M = 1.

Una funzione f(x) si dice limitata se e solo se è limitata sia superiormente che inferiormente.

In questo caso, possiamo trovare due numeri reali l ed L tali che l ≤ f(x) ≤ L per ogni x nel dominio della funzione.

I numeri l ed L si chiamano limite inferiore e limite superiore della funzione, rispettivamente.