QUI : Calcul quantique 1

Generalites

Informatique quantique

L'informatique quantique est l'utilisation des lois et proprietes de la mecanique quantique pour encoder et tranposter de l'information.

Mecanique quantique

La mecanique quantique est une theorie physique pour decrire un systeme dont la taille est celle d'un atome (

${10}^{-10}m$) ou moindre.

Tout systeme est ultimement un objet quantique. La mecanique quantique doit permettre de retrouver les lois classiques.

Qubits

Qubits (Quantum bits) : changer les proprietes quantiques individuelles d'une particule telle que son energie, sa polarisation, son "spin" pour encoder de l'information. C'est la plus petite quantite d'information que l'on peut transporter ou stocker dans un systeme quantique.

Loi de Moore

Le nombre de transistors garves sur une puce double tous les 18 mois environ.

D'apres cette loi, les dimensions d'un puce seront inferieures a 10 nm apres 2020. A cette echelle les proprietes quantiques des atomes et electrons vont devenir importantes.

Avantages et inconvenients du calcul quantique

• Superposition

  • Un bit classique peut seulement prendre les valeurs 0 et 1
  • Un qubit peut prendre les valeurs 0 et 1 et toutes celles intermediaires
  • Un qubit est constitue d'une superposition lineaire des etats quantiques correspondant aux bits 0 et 1
    • cela decuple les capacites de calcul, le cryptage et de transport de l'information

• Intrication

  • 2 objets quantiques intriques bien que separes pas une distance arbitraire sont une seule et meme entite
  • on ne peut pas comprendre cette entite comme la reunion de 2 objets independants

• Parallelisme

  • mise en oeuvre des proprietes de superposition et d'intrication
  • permet a un ordinateur quantique de realiser plus d'operations qu'un ordinateur classique
  • algoritmes quantiques
    • algorithme de Shor
    • algorithme de Grover

• Decoherence : Obstacle majeur

  • sensibilite a l'environnement
  • entraine une perte de relation de phase entre 2 etats quantiques
    • relation necessaire a la realisation d'un calcul quantique
  • interaction des qubits avec l'environnement qui brouille les superpositions lineaires

Un ordinateur quantique fiable doit etre parfaitement isole. Des codes d'erreur ont ete creer pour palier aux defauts d'isolation.

Premier modele physique d'un qubit : le photon

La polarisation du photon sers a encoder de maniere quantique un qubit.

Polarisation

La polarisation a ete mise en evidence avec un cristal birefringent, c.a.d. qui decompose la lumiere en deux rayons polarises dans des directions perpendiculaire alors que la lumiere incidente est polarisee.

Les vibrations lumineuses ont un caractere vectoriel.

Une onde transverse

Pour une orientation convenable, on observera une extinction d'un des deux rayons. C'est une vibration transverse (orthogonale) a la direction de propagation.

Une onde scalaire se propageant au cours du temps selon la direction

$O_z$ est decrite par:

$$u(z,t)=u_o\cos (\omega t-kz)$$

• $\omega =ck=\frac{2\pi }{T}=2\pi f$ : frequence angulaire de la vibration (
  $s^{-1}$)
• $c$ : vitesse de la lumiere (
  $m.s^{-1}$)

On se place dans un plan fixe en

$z=0$ :

$$u(z=0,t)=u(t)=u_0\cos (\omega t)$$

:::

Vecteur polarisation

Le modele de l'onde scalaire peut se generaliser aux 3 dimensions pour representer le vecteur champ electrique qui caracterise une onde lumineuse:

$$\overrightarrow{E}={\overrightarrow{E}}_0\cos (\omega t)$$

L'orientation de ce champ est la polarisation de la lumiere.

La lumiere est percue comme un champ electromagnetique dont la composante electrique est orthogonale a sa direction de propagation.

Pour decire l'orientation du champ electrique on a besoin d'un systeme d'axe

$O_x$ et

$O_y$. En posant

$\Vert {\overrightarrow{E}}_0\Vert =E_0$ :

$$\overrightarrow{E}=\left(\begin{array}{c}{E}_x\\ E_y\end{array}\right)=E_x{\overrightarrow{u}}_x+E_y{\overrightarrow{u}}_y\Rightarrow \overrightarrow{E}=E_o\cos \theta \cos (\omega t){\overrightarrow{u}}_x+E_0\sin \theta \cos (\omega t){\overrightarrow{u}}_y$$

L'angle

$\theta$ caracterise l'orientation de

$\overrightarrow{E}$ dans

$xOy$, c.a.d. la polarisation

:::

L'intensite de l'onde lumineuse est proportionnelle au carre du champ electrique

$$I\propto E_0^2$$

On introduit un vecteur unitaire, note

$\hat{p}$ et appartenant au plan

$xOy$ tel que:

$$\hat{p}=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)\Rightarrow \overrightarrow{E}=E_0\cos (\omega t)\hat{p}$$

• Si
  $\theta =0$ : polarisation selon
  $O_x(\hat{p}={\overrightarrow{u}}_x)$
• Si
  $\theta =\pi /2$ : polarisation selon
  $O_y(\hat{p}={\overrightarrow{u}}_y)$

Changement et mesure de la polarisation de la lumiere

Polariseur et analyseur

On utilise un systeme a 2 polarisateurs consecutifs pour changer et mesurer l'orientation du champ

$\overrightarrow{E}$:

• polariseur "d'entree" : oriente la polarisation de la lumiere incidente selon un angle
  $\theta$ par rappor a
  $O_x$
• polariseur "de sortie" (l'analyseur) : possede un axe de polarisation faisant un angle
  $\alpha$ avec
  $Ox$

On utilise un vecteur unitaire

$\hat{n}$ pour decrire la polarisation de l'analyseur

$$\hat{n}=\cos \alpha {\overrightarrow{u}}_x+\sin \alpha {\overrightarrow{u}}_y=\left(\begin{array}{c}\cos \alpha \\ \sin \alpha \end{array}\right)$$

Loi de Malus

On doit determiner l'orientation du champ electrique

${\overrightarrow{E}}^{\prime }$ pour mesurer la polarisation a la sortie de l'analyseur.

On projete

$\overrightarrow{E}$ oriente selon

$\hat{p}$ dans la direction

$\hat{n}$

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{E}& =(\overrightarrow{E}\cdot \hat{n})\hat{n}\\ & =E_0\cos (\omega t)(\hat{p}\cdot \hat{n})\hat{n}\\ & =E_0\cos (\omega t)(\cos \theta \cos \alpha +\sin \theta \sin \alpha )\hat{n}\\ \overrightarrow{E}& =E_0\cos (\omega t)\cos (\theta -\alpha )\hat{n}\end{array}$$

La loi de Malus est une loi classique pour l'intensite a la sortie de l'analyser:

$$I^{\prime }=I{\cos }^2(\alpha -\theta )$$

Type de polarisation

Pour une polarisation lineaire, les deux composantes de

$\overrightarrow{E}$ ont la meme dependence par r

Les composantes de

$\overrightarrow{E}$ se notent avec une phase specifique a chacune qui peut etre differentes :

$$\{\begin{array}{l}{E}_x=E_0\cos \theta \cos (\omega t-{\delta }_x)\\ E_y=E_0\cos \theta \cos (\omega t-{\delta }_y)\end{array}$$

:::

En fonction de la differnce de phase

$\delta ={\delta }_x-{\delta }_y$:

• Si
  $\delta =0$ ou
  $\delta =\pm \pi$ : polarisation rectiligne
  • $E_x$ et
    $E_y$ oscillent dans un plan fixe faisant un angle
    $\theta$ avec
    $Ox$
• Si
  $\theta =\pm \frac{\pi }{2}$ : polarisation circulaire
  • l'extremite du vecteur
    $\overrightarrow{E}$ decrit un cercle au cours du temps
• Si
  $\theta \ne p\frac{\pi }{2}$ avec
  $p\in \mathbb{Z}$ : polarisation elliptique
  • pas de relation particuliere entre les phases des composantes
  • l'extremite de
    $\overrightarrow{E}$ decrit une ellipse

On ne peut pas mesurer la phase individuelle d'une composante

$\overrightarrow{E}$, seule

$\delta$ est accessible. On peut imposer

${\delta }_x=0$ en redefinissant l'origine des temps.

Le champ electrique

$\overrightarrow{E}$ peut aussi s'ecrire :

$$\overrightarrow{E}=E_0\mathbf{\text{Re}}[e^{-i\omega t}\left(\begin{array}{c}\lambda \\ \mu \end{array}\right)]\text{avec}\left(\begin{array}{c}\mu \\ \lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos \theta e^{i{\delta }_x}\\ \sin \theta e^{i{\delta }_y}\end{array}\right)$$

• $\left(\begin{array}{c}\mu \\ \lambda \end{array}\right)$ : polarisation
• $\mu ,\lambda \in \mathbb{C}$
• $|\lambda {|}^2+|\mu {|}^2=1$

Approche quantique de la polarisation

En reduisant l'intensite lumineuse, on peut etudier la polarisation rectiligne individuelle de chaque photon constituant la lumiere.

La taille typique d'un photon est donnee par sa longueur d'onde de l'ordre du nanometre.

On detecte

$N$ photons, si

$N\to \mathrm{\infty }$ on doit retrouver le comportement ondulatoire classique de la lumiere.
On prend une lame birefringente avec des photons incidents dont la polarisation rectiligne fait un angle

$\theta$ avec

$O_x$.

Non simultaneite

Le faisceau est separe en des faisceaux d'intensite:

• $I{\cos }^2\theta$ polarise selon
  $O_x$
• $I{\sin }^2\theta$ polarise selon
  $O_y$

Un photon est detecte soit en

$D_x$ soit en

$D_y$

Pour mesurer la probabilite de detection d'un photon pour chaque detecteur:

$${\mathbf{\text{P}}}_x={\cos }^2\theta \mathbf{\text{et}}{\mathbf{\text{P}}}_y={\sin }^2\theta$$

Cette experience met en valeur l'aspect corpulaire de la lumiere.

Recouvrement de la loi classique

Si

$N$ photons sont envoyes alors le nombre de photons detectes par chaque detecteur est :

$$D_x:N_x\simeq N{\cos }^2\theta \mathbf{\text{et}}{D}_y:N_y\simeq N{\sin }^2\theta$$

On retrouve la loi de Malus lorsque

$N\to \mathrm{\infty }$.

Nature probabiliste

Il est impossible de prevoir le chemin d'un photon, ce qui est en opposition avec le determinisme de la mecanique classique.

Recombinaison de faisceau

On cherche a recombiner deux faisceaux, et retrouver la loi de Malus malgre la differentiation de chemin, par ce dispositif:

On s'attend a une intensite de sortie proporionelle a

${\mathbf{\text{P}}}_x$.
Le photons a 2 chemins possibles :

• (E) : il traverse le polariseur avec une probabilite de
  ${\cos }^2\theta$, puis l'analyseur avec une probabilite de
  ${\cos }^2\theta$
  • la probabilite totale est
    ${\cos }^2\theta {\cos }^2\alpha$
• (O) : il traverse le polariseur avec une probabilite de
  ${\sin }^2\theta$, puis l'analyseur avec une probabilite de
  ${\sin }^2\theta$
  • la probabilite totale est
    ${\sin }^2\theta {\sin }^2\alpha$

La probabilite totale est :

$${\mathbf{\text{P}}}_{tot}={\cos }^2\theta {\cos }^2\alpha +{\sin }^2\theta {\sin }^2\alpha \ne {\cos }^2(\theta -\alpha )$$
Le raisonnement est FAUX.

Amplitude de probabilite

Pour retrouver la loi de Malus, il faut raisonner a partir de la notion d'amplitude de probabilite pour chaque chemin.

Le module au carre de cette amplitude donne la probabilite:

$$\begin{array}{cc}\mathbf{\text{a}}(\theta \to x)=\cos \theta & \mathbf{\text{a}}(\alpha \to x)=\cos \alpha \\ \mathbf{\text{a}}(\theta \to y)=\sin \theta & \mathbf{\text{a}}(\alpha \to y)=\sin \alpha \end{array}$$

• $\mathbf{\text{a}}(\theta \to x)$ : amplitude assiociee a la probabilite de detecter un photon polarise selon
  $O_x$

L'amplitude totale de sortie s'obtient en superposant les amplitudes pour des chemins indiscernables:

$${\mathbf{\text{P}}}_{tot}=|{\mathbf{\text{a}}}_{tot}^2|={\cos }^2(\theta -\alpha )$$
Le raisonnement est BON.

Discernabilite

Un photon ne fait aucune distinction entre les chemins (E) et (O), sinon la probabilite serait

${\mathbf{\text{P}}}_{tot}={\cos }^2\theta {\cos }^2\alpha +{\sin }^2\theta {\sin }^2\alpha \ne {\cos }^2(\theta -\alpha )$. C'est l'indiscernabilite des chemins possibles.

Interpretation

On a 2 interpretations possibles:

1. Le photon emprunte 2 trajets a la fois
2. la question "Quel trajet ?" n'a aucun sens

La deuxieme interpretation est preferable car il est impossiblde de differencier les chemins experimentalement.

La notion de trajectoire n'existe pas en physique quantique. Elle est remplacee par la notion de probabilite de presence.

Un photon ne peut prendre physiquement qu'un seul des 2 chemins.

Application : La cryptographie quantique

On attribue arbitrairement :

• Valeur 1 : photon polarise par
  $O_x$
• Valeur 0 : photon polarise par
  $O_y$

Convention de communication

Si Alice (A) et Bob (B) echangent des informations sous forme quantique alors cela prend la forme d'une suite de photons polarises :

$$\text{y y x y x y y y x ...}$$
Bob analyse la polarisation de l'information recue a l'aide d'une lame birefringente et en deduis le message de Alice

$$\text{0 0 1 0 1 0 0 0 1 ...}$$

Possibilite d'ecoute

Pour intercepter le message, Eve va devoir mesurer la polarisation quantique d'un des photons, elle a

$50$ de chance de se tromper, puis doit renvoyer le photon a Alice et a

$50$ de chance de se tromper.

Si leur message a ete espionne, Alice et Bob peuvent constater une plu grande quantite d'erreurs.

Protection de la cle publique

Protection de la cle publique

La cryptographie repose sur une cle de chiffrage (cle publique) connue seulement de l'expediteur et du destinataire.

Le temps de calcul est le principal obstacle pour dechiffrer le message

Cryptographie quantique

Il s'agit de proteger la cle de chiffrage, tel que s'assure que la transmission d'une cle n'a pas ete espionee (distribution quantique d'une cle).

Protocole BB84

Choix de polarisation

1. On suppose qu'Alice peut envoyer 4 types de photons avec des polarisations rectilignes differentes:
   
2. On peut regrouyper les polarisations en 2 ensembles differents:
   

Transmission

Alice choisit au hasard une des deux bases pour emettre / recevoir des photons

Ces bases sont constituees par des systemes similaires a la lame birefringente.

Quand Bob recoit un photon, il choisit parmis ce bases aleatoirement.
Il va ensuite analyser la polarisation du photon recu.

Reception

Parfois la base de reception de Bob

${\mathfrak{B}}_B$ n'est pas "alignee" avec la polarisation du photon recu, l'etat de polarisation est projete sur l'une des 2 directions de

${\mathfrak{B}}_B$.

Comparaison

Alice rend publique sa base d'emission

${\mathfrak{B}}_A$ pour indiquer a Bob les photons recus dont la polarisation n'etait pas alignee.

Si

${\mathfrak{B}}_B\ne {\mathfrak{B}}_A$ il y a eu une projection, dans ce cas le photon recu est rejete et Bob conserve que les photons dont la

${\mathfrak{B}}_B$ etait en accord avec

${\mathfrak{B}}_A$.

Dans le tableau la cle conservee ou clee reconciliee est

$\text{0 1 0 1 ...}$

Interception

Une personne souhaitant intercepter le message (Eve) doit recevoir d'Alice puis renvoyer a Bob chaque photon intercepte. 2 cas se presentent :

1. La base
   ${\mathfrak{B}}_E$ de Eve est alignee
   • Eve a 0% de chances de se tromper
2. La base
   ${\mathfrak{B}}_E$ de Eve est non-alignee
   • Eve a 50% de chances de se tromper

Non-clonage

Il est impossible pour Eve de proceder differemment, elle est obligee de projeter.

Theoreme de non-clonage : Il est impossible d'interagir avec un "etat quantique" sans le modifier, il ne peut pas etre clone.

Alice et Bob peuvent detecter un eventuel espion avec une probabilite de

$1-{\frac{3}{4}}^n$