La semaine derniere, vous avez cherche a generaliser la notion de derivabilite d'une fonction a celle de differentiabilite d'une fonction .
Le point de vue aborde: on sait deriver le long d'un vecteur , cad qu'on sait deriver la fonction
A partir de la on cherche a construire un objet multidimensional qui va remplacer la derivee dans le cas unidimensionnel.
On sait deriver une fonction de
On sait donc deriver une fonction de le long d'un vecteur (en particulier le long des axes).
On regroupe les derivees le long des axes dans un objet qu'on appelle le gradient
Definition de la differentielle en un point
C'est la demarche BOTTOM-UP
On va generaliser la notion de derivabilite d'une fonction de a l'aide des normes sur
Analyser "l'objet differentiel" qu'on obtient et decrire une partie des proprietes qu'il a
retrouver les derivees partielles comme ecriture en coordonnnees de la differentielle en un point
C'est la demarche TOP-DOWN
Etant donne une fonction on dit que est derivable en si existe. Dans ce cas cette limite est appelee le nombre derivee de en et on le note
est derivable en s'il existe un nombre reel tel que pour assez petit (h proche de 0)
Dans ce cas est le nombre derivee de en et on le note
Dans : si est derivable en alors
f est differentiable en si
varie de tel sorte a ce qu'on reste dans la boule
Definition: une fonction est differentiable en un point s'il existe une application lineaire telle que
On ne precise pas la norme car elles sont equivalentes.
Question: Pour donne, combien y a-t-il d'applications lineaires qui satisfait ?
Il n'y a qi'une seule, qu'on appelle la differentielle en .
Lemme: Si existe, elle est unique.
On suppose qu'il existe 2 applications lineaires et qui satisfont , cad
On est dans la situation suivante:
On va prendre un vecteur , soit (donc )
On a:
Si on se limite a , on a
Dans la relation
Etant donne un vecteur , , .
En particulier, ;
Donc la matrice de dans la base canonique est nulle, i.e.
Donc
Definition: On appelle differentielle de au point , l'unique application lineaire (si elle existe) qui satisfait:
Dans ce contexte, a une matrice dans la base canonique de taille
1.On note
D'apres la definition:
Definition (rappel):
Remarque: , car ce sont des reels.
Donc
Dans le cas
Les proprietes usuelles de derivabilites et de calcul des derivees s'etend au cas des fonctions de . Soient et , on suppose differentiable en .
La differentielle de en quand elle existe est une matrice ligne: comment en decrire les coeffs ?
Definition(temporaire): Quand est differentiable au point on appelle gradient de en le vecteur (colonne) dont la transposee est la marice de dans les bases canoniques
On a donc: pour tout assez petit
On est interesse par calculer
Soit
En prenant la limite on vient de constater (avec la definition temporaire de ) que
Cad que la ieme coordonnee de votre gradient c'est la derivee partielle par rapport a
Defintion: Le gradient d'une fonctino en un point c'est le vecteur des derivees partielles:
Les definitions "temporaire" et definitives de gradient ne sont pas equivalentes: on peut admettre des derivees partielles sans etre differentiable
Prop: Si une fonction admet un gradient en un point , et si est continue au voisinage de , alors est differentiable en , cad qu'on peut ecrire
Remarque: si est differentiable en :
Pour parler de composee on va generaliser un petit peu le cadre avec lequel on a travaille jusque la.
On s'interesse donc aux fonctions
On note les fonctions coordonnees de ,
Une fonction va etre dite differentielle si on a une ecriture:
La matrice de dans les bases canoniques est appellee la jacobienne de en .
Pour si on est differentiable en
On a AP:
Soit , , , si et sont differentiable respectivement en et en alors
Matriciellement: