CAMA : ma01 Transformations isometriques

Cours du 30 / 03

angle = np.array([θ for θ in np.linspace(-np.pi/2,np.pi/2,7)])
shape1 = np.concatenate([np.array([np.cos(angle), np.sin(angle)]), 
                         np.array([[-0.5, -1, -1, -1], [1, 1, 0.5, 0]]),
                         np.array([[-0.5, 0], [-0.5, -1]])], axis=1)

[[ 0.     0.5    0.866  1.     0.866  0.5    0.    -0.5   -1.    -1.    -1.    -0.5    0.   ]
 [-1.    -0.866 -0.5    0.     0.5    0.866  1.     1.     1.     0.5    0.    -0.5   -1.   ]]

Matrice de rotation centrée en

$(0,0)$

$$R=\left[\begin{array}{cc}cos(\theta )& -sin(\theta )\\ sin(\theta )& cos(\theta )\end{array}\right]$$

Propriétés

• Effectue une rotation de centre (0,0) et d'angle θ
• Déterminant = 1
• Matrice orthogonale
  $\to$ pas de déformation ni d'agrandissement de la forme (automorphisme orthogonal)

θ = np.pi / 4

R = np.array([[np.cos(θ), -np.sin(θ)], [np.sin(θ), np.cos(θ)]])

[[ 0.707 -0.707]
 [ 0.707  0.707]]

R @ shape1 # multiplication de matrices

• Matrice orthogonale donc (par définition)
  $R.R^T=\text{Id}$.
• La transposée est la rotation d'angle -θ puisque sinus est une fonction impaire.

Symétrie axiale

La symétrie horizontale tranformant (a,b) en (a,-b) est:

$$Sx=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$$

Pour avoir un symétrie axiale par rapport à une droite passant par

$(0,0)$ qui a un angle

$\alpha$ :

• rotation pour mettre l'axe de symétrie a l'horizontale
• appliquer la symétrie horizontale
• faire la rotation inverse
  
  $$S=R_{-\alpha }^{-1}Sx{R}_{-\alpha }=R_{\alpha }Sx{R}_{-\alpha }$$

def Rα(α):
    return np.array([[np.cos(α), -np.sin(α)], [np.sin(α), np.cos(α)]])

Sx = np.array([[1, 0],[0,-1]])

θ = 70 * (2 * np.pi)/360  # 70 degrés

Rα(θ) @ Sx @ Rα(-θ) @ shape1

La rotation selon l'angle est :

Rα(θ) @ Sx @ Rα(-θ)

[[-0.766  0.643]
 [ 0.643  0.766]]

Translation

La translation ne peut pas etre exprimée avec un produit matriciel car ce n'est pas une application linéaire :

$$T(2\mathbf{\text{x}})\ne 2T(\mathbf{\text{x}})$$
Ce n'est pas non plus une transformation isométrique.

• Une translation est une addition :
  $T(\mathbf{\text{x}})=\mathbf{\text{x}}+{\mathbf{\text{v}}}_t$.
• On change la représentation des points pour exprimer les translations sous forme de produit matriciel :
  $\mathbf{\text{x}}=(x_1,x_2)$ devient
  $\mathbf{\text{x}}=(x_1,x_2,1)$

La translation par le vecteur

$(v_1,v_2)$ est :

$$T(X)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& v_1\\ 0& 1& v_2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ 1\end{array}\right]$$

v = np.array([1,2])

T = np.identity(3) # matrice de translation
T[0:2,2] = v

Matrice de translation:
 [[1. 0. 1.]
 [0. 1. 2.]
 [0. 0. 1.]]

shape1_3d = np.concatenate([shape1, np.ones((1, len(shape1[0])))], axis=0) 
# rajoute une nouvelle dimension à la matrice pour la translation
T @ shape1_3d

La matrice inverse replacant la forme orange à sa position d'origine applique la transition

$-\mathbf{\text{v}}=(-1,-2)$.

$$T^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
Ce n'est pas la transposée de T, T n'est pas orthogonale.

Il y a 2 types d'isométries :

• l'isométrie vectorielle ou automorphisme orthogonal :
  $\mathrm{\forall }\mathbf{\text{x}},||\mathbf{\text{f}}(\mathbf{\text{x}})||=\mathbf{\text{x}}$ et conserve les angles
• l'isométrie geométrique :
  $\mathrm{\forall }\mathbf{\text{a}},\mathbf{\text{b}},||\mathbf{\text{f}}(\mathbf{\text{a}})-\mathbf{\text{f}}(\mathbf{\text{b}})||=||\mathbf{\text{a}}-\mathbf{\text{b}}||$.

La translation est une isométrie geométrique mais pas vectorielle, c'est un automorphisme orthogonal.