BOOM: La correlation et la convolution

Aujourd'hui: convolution et correlation

Les TD et TP ne sont pas notes et ont des corrections (a la fin de la semaine).

Typical reaction of an average EPITA students when he discovered that this cours was about the Fourier transform

L'ordi d'Elodie crash ? "Mathématiques du "pas de signal""

Piqure de rappel

On a entendu une magnifique note de piano puis une note de piano bruitee.
On va regarder les signaux:

Lequel est bruite et lequel n'est pas bruite ?

Resultat: celui de gauche.

Oscillations rapides: hautes frequences.

Le signal de gauche c'est notre signal + un autre signal qui oscille tres vite. Le but c'est de reperer quelles frequencer enlever.

Filtrage de signal: selection de certaines frequences ou suppression d'autres.

Comme les chercheurs d'or: on met le sable dans le tamis et on tamise, les mailles laisse passer le sable et garde les pepites.

Dans ce cas, on supprime les hautes frequences (en theorie).

D'ou peut venir le bruit ?
Peut etre lie au capteur, s'applique aussi en Image, on a besoin de connaitre les bruits pour les enlever.

En pratique, toujours une petite correlation.

Quand on parle de mathematiques de signaux, on l'applique aussi a l'image car c'est un signal en 2D; le traitement d'image est une sous-partie du traitement du signal.

Les bibliotheques utilisees en python n'ont pas toutes la meme representation de l'image. Certaines bibliotheques transforment l'image en 1D et d'autres en 2D.

Convolution en 1D sur du signal est + ou - la meme en 2D sur les images.

A droite: transformee de Fourier du signal classique et a gauche signal bruite.

On a un "pate" en bas. Si on zoom:

Les signaux

Qu'est-ce qu'un signal ?

Quelque chose qui evolue au cours du temps, qu'on peut mesurer (ex: la temperature; la mesure reguliere la transforme en signal, un electrocardiogramme…).
Un flux d'electron qu'on va mesurer.

L'image

Une image est aussi un signal car il y a une mesure: la mesure du nombres de photons qui arrivent.

Les images en noir et blanc n'existe pas, ce sont des photos en niveaux de gris.

Prendre une photo avec un telephone: on a un capteur et plus un photon tape a un endroit plus le pixel sera blanc. Plus on laisse le capteur "ouvert", plus on capte de photons et l'image sera plus net.

Le signal

A quoi ca sert ?
Verifier les risques d'incendie (temperature + humidite), le rechauffement climatique, etc.

Les signaux sont utiles pour les statistiques

Exemple: le radar

Ne pas toucher a cette fenetre !

Cas parfait: signal continu.

On envoie un signal et on compte le temps que ca prend pour revenir.

Attention aux variations avec l'air, l'eau, le vide, etc.

Les chauves-souris le font "automatiqument" mais attention a l'effet Dopler: si une mouche bouge, la frequence renvoyee est modifiee.

Premier probleme

Notre chauve-souris envoie un signal continu mais nos ordis ont pas une memoire infinie et le signal risque d'avoir du bruit a cause du capteur, numerisation, etc

On passe d'un monde analogique a numerique et il risque d'y avoir de la perte d'information

$\to$ problemes d'effets de bords.

Cas reel

On recupere un signal decale et bruite.

Les outils pour traiter ce signal: la correlation

• L'ensemble des signaux forment un espace vectoriel.
• La ressemblance = la correlation
• La norme = la distance

La ressemblance est max quand ?
Quand on a une superposition des deux signaux.

On va "glisser" le signal de gauche sur celui de droite et calculer la ressemblance, cad la correlation ou une integrale (l'aire sous la courbe des 2 signaux).

Quand on va faire, on ne va pas avoir la correlation maximale theorique.

Dans la correlation:

1. L'auto-correlation
   • Entre 2 signaux
     $x$ et
     $x$
   • Entre le meme signal sans aucune modification
   • Nous sert a definir l'espace des calculs qu'on va faire
2. L'inter-correlation
   • Entre 2 signaux
     $x$ et
     $y$

Dans ce cas c'est l'inter-correlation.

Notre correlation est maximale en

$-5$ car on a un decalage de

$-5s$

Recap sur le bruit

Pourquoi on arrive quand meme a retrouver notre signal de base ?

La correlation entre le signal et le bruit est nulle car le bruit est non-correle.

La correlation

Definition

$${\mathrm{\Gamma }}_{xx}(\tau )={\int }_{\mathbb{R}}x(t)\overline{x(t-\tau )}dt=<x(t),x(t-\tau )>$$

${\mathrm{\Gamma }}_{xx}(0)$ est maximale car il n'y a pas de decalage

$$\begin{array}{rl}& =<x(t),x(t)>\\ & ={\int }_{\mathbb{R}}|x(t)y{|}^2\\ & =||x(t)|{|}^2=\text{ENERGIE du signal}\end{array}$$

Proprietes

Dans le cas des signaux reels, si

$x$ est reel, l'auto-correlation est paire:

${\mathrm{\Gamma }}_{xx}(-\tau )={\mathrm{\Gamma }}_{xx}(\tau )$

Inter-correlation:

$${\mathrm{\Gamma }}_{xy}(\tau )={\int }_{\mathbb{R}}x(t)\overline{y(t-\tau )}dt=<x(t),y(t-\tau )>$$

C'est la formule qu'on utilisera.

L'inter-correlation est nulle si les signaux ne s'intersectent pas.

On prend un signal, on le fait glisser sur un autre et on calcul la multiplication des aires sous la courbes de l'intersection des 2.

Cas du radar

On envoie

$x(t)$ et on recupere

$y=x(t-t_0)+\eta (t)$

• $\nu (t)$ : bruit
• $x(t-t_0)$ : signal retarde de
  $t_0$

Le bruit depend de

$t$ et pas de

$x$.

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Gamma }}_{xy}(\tau )=<x(t),y(t-\tau )>& =<x(t),\stackrel{y(t-\tau )}{\overbrace{x(t-(\tau +t_0)+\nu (t-\tau ))}}>\\ & =<x(t),x(t-(\tau +t_0))>+\underset{=0}{\underbrace{<x(t),\nu (t-\tau )>}}\\ & =\mathrm{\Gamma }xx(\tau -t_0)\end{array}$$

$\mathrm{\Gamma }xx(\tau +t_0)$ est maximal en

$0$:

$$\tau +t_0=0\Rightarrow \tau =-t_0$$

Sur le notebook: les courbes ne sont pas arrondies, si on zoom dessus on pourrait voir des traits.

La convolution

On va parler de convolution continue:

• En numerique: des sommes
• En analogique: des integrales

Avec la convolution, possible de recuperer un signal debruite:

On veut recuperer notre signal a partir du gros pate bleu.

La convolution est utilisee pour debruiter des signaux tout le temps.

C'est faisable avec la correlation mais plus chiant.

Convolution avec une image: probleme aux bords. La "fenetre glissante" passant sur une image risque de sortir du bord de l'image.
Attention a comment on gere les bords.

Exemple

Definition

$$(f\ast g)(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}g(xg(t-x))dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}g(x)f(t-x)dx=(g\ast f)(t)$$

Difference de la correlation:

• On ne prend pas le conjugue,
  $t-x$ inverse
  $g$
• Il n'y a pas de
  $t-\tau$

Proprietes

• Element neutre de la convolution: le delta de Dirac

$$f\ast g=g\ast f=f\Rightarrow g\equiv \delta :t\to \{\begin{array}{ll}0& t\ne 0\\ +\mathrm{\infty }& t=0\end{array}\text{et}{\int }_{\mathbb{R}}\delta (t)dt=1$$

• Si
  $f$ et
  $g$ sont de meme parite:
  $f\ast g$ est paire.
• Si
  $f$ et
  $g$ sont de parite contraire:
  $f\ast g$ est impaire.