PRST - Exercices du 17/03

Les exos sont fait dans le meme ordre que pendant le cours

Exercice - loi normale

1. loi normale de paramètres
   $m$ et
   $\sigma$ avec
   $\sigma =1$
2. densite
   $f(x,m)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-m{)}^2}{2}}$ pour
   $x\in \mathbb{R}$ et
   $m\in \mathbb{R}$
3. Déterminer l'EMV.

Solution

$$\begin{array}{rl}L(x_1,...,x_n)& ={\mathrm{\Pi }}_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x_i+m{)}^2}{2}}\\ & =(\frac{1}{\sqrt{2\pi }})e^{-\sum _{i=1}^n\frac{(x_i-m)}{2}}\end{array}$$

Passons au logarithme.

Est-ce que la fonction est paire ?
Oui car

$\log$ est defini sur

${\mathbb{R}}^{+\ast }$.

$$\log (L(x_1,...,x_n,m))=-n\log (\sqrt{2\pi })-\sum _{i=1}^n\frac{(x_i-m{)}^2}{2}$$

Derivons par rapport a m:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\frac{\delta \log (L(x_1,...,x_n,m))}{\delta m}& =-\sum _{i=1}^n[(-x_i)+m]\\ & =\sum _{i=1}^n{x}_i-nm\end{array} \\ \begin{array}{r}\\ \frac{\delta \log (L(x_1,...,x_n,m))}{\delta m}=0& \iff \sum _{i=1}^n{x}_i-mn=0\\ & \iff \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i=m\end{array} \end{gathered}$$

Verifions la condition du second ordre:

$$\frac{\delta \log (L(x_1,...,x_n,m))}{\delta m}=-n<0$$

Donc la condition suffisante est verifiee.

$\hat{m}=\overline{X}$ est l'EMV du parametre

$m$.

:::

Exercice - loi geometrique

1. loi géométrique de paramètre
   $p$
2. $P(X=x)=p(1-p{)}^{x-1}$ pour
   $x>1$ et
   $p\in ]0;1[$
3. Déterminer l'EMV.

Solution

Soit

$(x_1,...,x_n)\in {\mathbb{N}}_{\ast }^n$.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}L(x_1,...,x_n,p)& ={\mathrm{\Pi }}_{i=1}^{n}p(1-p{)}^{x_i-n}\\ & =p^n(1-p{)}^{\sum _{i=1}^n(x_i-1)}\end{array} \\ \log (L(x_1,...,x_n,p))=n\log (p)+\sum _{i=1}^n(x_i-1)\log (1-p) \\ \frac{\delta \log (L(x_1,...,x_n,p))}{\delta p}=\frac{n}{p}-\sum _{i=1}^n\frac{x_1-1}{1-p} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} (\log u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u} \\ \iff \log (1-p)=-\frac{1}{1-p} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{\delta \log (L(x_1,...,x_n,p))}{\delta p}=0 \\ \begin{array}{rl}\frac{n}{p}=\sum _{i=1}^n\frac{x_1-1}{1-p}& \iff n(n-p)=p\sum _{i=1}^n(x_i-1)\\ & \iff n-np=p\sum _{i=1}^n{x}_i-np\\ & \iff p=\frac{n}{\sum _{i=1}^n{x}_i}=\frac{1}{\frac{n}{\sum _{i=1}^n{x}_i}}=\frac{1}{\overline{X}}\end{array} \end{gathered}$$

$$(\frac{1}{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$$

$$(\frac{1}{1-p}{)}^{\prime }=-\frac{(-1)}{(1-p{)}^2}=\frac{1}{(1-p{)}^2}$$

$$\frac{{\delta }^2\log (L(x_1,...,x_n,p))}{\delta p^2}=-\frac{n}{p}-\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-1)}{(1-p{)}^2}<0$$

Donc la condition suffisante est verifiee.

$\hat{p}=\frac{1}{\overline{X}}$ est l'EMV du parametre

$p$.

:::

Exercice - information de Fisher

Déterminer l'information de Fisher pour la loi de Poisson de paramètre

$\lambda$.

Solution

$$\begin{gathered} \log f(x,\delta )=-\delta +x\log (\lambda )-\log (x!) \\ \frac{\delta \log f(x,\lambda )}{\delta \lambda }=-n+\frac{x}{\lambda } \\ \frac{{\delta }^2\log f(x,\lambda )}{\delta {\lambda }^2}=-\frac{x}{{\lambda }^2} \\ \begin{array}{rl}{E}_n(\frac{{\delta }^2\log f(X,\lambda )}{\delta {\lambda }^2})& =-E(\frac{X}{{\lambda }^2})\\ & =-\frac{1}{{\lambda }^2}\times \lambda =-\frac{1}{\lambda }\end{array} \\ I(\lambda )=-E(\frac{{\delta }^2\log f(x,\lambda )}{\delta {\lambda }^2})=\frac{1}{\lambda } \end{gathered}$$