PRST Exos

Exercice 4

Soit

${\omega }_1,...,{\omega }_n$ les issues i.e.

$\mathrm{\Omega }=\{{\omega }_1;...;{\omega }_n\}$

$$\begin{array}{rl}E(X\times Y)& =\sum _{\omega \in \mathrm{\Omega }}(X(\omega )+Y(\omega ))\\ & =\underset{=E(X)}{\underbrace{\sum _{\omega \in \mathrm{\Omega }}p(\omega )X|\omega |}}+\underset{=E(Y)}{\underbrace{\sum _{\omega \in \mathrm{\Omega }}p(\omega )Y|\omega |}}\\ & =E(X)+E(Y)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}E(\lambda X)& =\sum _{\omega \in \mathrm{\Omega }}p(\omega )\lambda X(\omega )\\ & =\lambda \sum _{\omega \in \mathrm{\Omega }}p(\omega )X(\omega )\\ & =\lambda E(X)\end{array}$$

Exercice 3

• $P(X=x_1)=\frac{8}{27}$
• $P(X=x_2)=\frac{4}{9}$

Exercice 14

Soit

$X$ une variable aleatoire suivant une loi geometrique. Montrer que

$P(X>n+k|X>k)=P(X>n)$ pour tous entiers naturels

$k$ et

$n$.
Nous dirons que la loi geometrique est sans memoire.

Solution

Soient

$n$ et

$k$ deux entiers naturels.

$$\begin{array}{rl}P(X>n)& =\sum _{k>n}p{q}^{k-1}\\ & =p{q}^n+p{q}^{n+2}+...\\ & =p{q}^n(1+q+q^2+...)\end{array}$$

Or

$\sum _{k\ge 0}{q}^k=\frac{1}{1-q}$ pour

$0\le q<1$

D'ou:

$$P(X>n)=p{q}^n\times \frac{1}{1-q}=p{q}^n\times \frac{1}{p}=q^n$$

Ainsi:

$$P(X>n+k|X>k)=\frac{P(\{X=n+k\}\cap \{x>k\})}{P(X>k)}$$

Or

$\{X=n+k\}\cap \{x>k\}=\{X>n+k\}$

D'ou:

$$P(X>n+k)=\frac{P(X>n+k)}{P(X>k)}=\frac{q^{n+k}}{q^k}=q^n=P(X>n)$$

Exercice 6

Considerons une variable aleatoire

$X$ suivant une loi de Poisson de parametre 3

1. Calculer
   $P(X=10)$
2. Calculer
   $E(X)$ et
   $V(X)$

Solution

$$P(X=10)=e^{-3}\times \frac{3^{10}}{10!}E(X)=V(X)=3$$

Exercice 11

La variable aleatoire

$U$ suit une loi uniforme sur l'intervalle

$[2;5]$.
Calculer

$P(U)\in [2;3]$ et

$E(U)$

$P(U)=\frac{1}{3}$

Exercice 10

Dans un atelier, le nombre d'accidents au cours d'une annee peut etre modelise par une loi de Poisson de parametre 5. Calculer la probabilite:

1. qu'il y ait 5 accidents au cours d'une annee