# PRST Exos

# Exercice 4
Soit $\omega_1,...,\omega_n$ les issues i.e.
$\Omega = \{\omega_1;...;\omega_n\}$
$$
\begin{aligned}
E(X\times Y) &= \sum_{\omega\in\Omega}(X(\omega) + Y(\omega))\\
&= \underbrace{\sum_{\omega\in\Omega} p(\omega)X\vert\omega\vert}_{=E(X)} + \underbrace{\sum_{\omega\in\Omega} p(\omega)Y\vert\omega\vert}_{=E(Y)}\\
&= E(X) + E(Y)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
E(\lambda X) &= \sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)\lambda X(\omega)\\
&= \lambda\sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)X(\omega)\\
&= \lambda E(X)
\end{aligned}
$$

# Exercice 3
- $P(X = x_1) = \frac{8}{27}$
- $P(X = x_2) = \frac{4}{9}$

# Exercice 14
Soit $X$ une variable aleatoire suivant une loi geometrique. Montrer que $P(X\gt n+k\vert X\gt k) = P(X\gt n)$ pour tous entiers naturels $k$ et $n$.
Nous dirons que la loi geometrique est *sans memoire*.

:::spoiler Solution
Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels.

$$
\begin{aligned}
P(X\gt n) &= \sum_{k\gt n} pq^{k-1}\\
&= pq^n + pq^{n+2} +...\\
&= pq^n(1+q+q^2+...)
\end{aligned}
$$

Or $\sum_{k\ge0}q^k=\frac{1}{1-q}$ pour $0\le q\lt1$

D'ou:

$$
P(X\gt n) = pq^n\times\frac{1}{1-q} = pq^n\times\frac{1}{p} = q^n
$$

Ainsi:

$$
P(X\gt n+k\vert X\gt k) = \frac{P(\{X=n+k\}\cap\{x\gt k\})}{P(X\gt k)}
$$

Or $\{X=n+k\}\cap\{x\gt k\} = \{X\gt n+k\}$

D'ou:

$$
P(X\gt n + k) = \frac{P(X\gt n + k)}{P(X\gt k)} = \frac{q^{n+k}}{q^k} = q^n = P(X\gt n)
$$
:::

# Exercice 6
Considerons une variable aleatoire $X$ suivant une loi de Poisson de parametre 3
1. Calculer $P(X=10)$
2. Calculer $E(X)$ et $V(X)$

:::spoiler Solution
$$
P(X=10) = e^{-3}\times\frac{3^{10}}{10!}
E(X) = V(X) = 3
$$
:::

# Exercice 11
La variable aleatoire $U$ suit une loi uniforme sur l'intervalle $[2;5]$.
Calculer $P(U)\in[2;3]$ et $E(U)$

:::spoiler
$P(U) = \frac{1}{3}$
:::

# Exercice 10
Dans un atelier, le nombre d'accidents au cours d'une annee peut etre modelise par une loi de Poisson de parametre 5. Calculer la probabilite:
1. qu'il y ait 5 accidents au cours d'une annee
2.