PRST - Feuille de revisions

Exercice 1

Question 10

Cet exercice est aussi present sur la feuille pour le 17/03/2021

La loi du demi-cercle de Wigner de parametre

$R$ a une densite nulle en dehors de

$]-R;R[$. Sur

$]-R;R[$, sa densite est donnee par

$$f(x)=\frac{2}{\pi R^2}\sqrt{R^2-x^2}$$

Nous admettrons que sa variance est donnee par

$\frac{R^2}{4}$.

En deduire un estimateur du parametre

$R$ par la methode des moments.

Solution

$$\begin{gathered} V(X)=\frac{R^2}{4} \\ \iff R^2=4V(X) \\ \iff R=2\sqrt{V(X)} \end{gathered}$$

Donc:

$$\hat{R}=2\sqrt{S^2}$$

$$S=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$$

On sait que

$E(X)=0$ (symetrie).

En effet,

$E(X)={\int }_{-R}^{R}x\times \frac{2}{\pi R^2}\sqrt{R^2-x^2}dx=0$.

La fonction devient impaire car

$\times x$.

On integre une fonction impaire sur l'intervalle

$]-R;R[$.

$V(X)=E(X^2)$ donc

$E(X^2)=\frac{R^2}{4}$

$$R=2\sqrt{E(X)}\Rightarrow \hat{R}=2\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$$

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Question 11

Soient

$X$ et

$Y$ deux variables aleatoires independantes et suivant toutes deux une loi normale centree reduite.
Considerons les variables aleatoires

$U=X+2Y$ et

$V=X-3Y$

1. Montrer que le vecteur aleatoire
   $(U,V{)}^T$ est un vecteur gaussien.
2. Les variables aleatoires U et V sont-elles independantes ?

Solution

$X$ et

$Y$ sont independants

$\Rightarrow (X,Y{)}^T$ vecteur gaussien

$$\left(\begin{array}{c}U\\ V\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& -3\end{array}\right)$$

$(U,V{)}^T$ gaussien comme image d'un vecteur gaussien comme application lineaire

On calcule la covariance et

$Cov(U,V)=0$

$$\begin{array}{rl}Cov(X)& =E(UV)-\underset{=0}{\underbrace{E(U)E(V)}}\\ & =E((X+2Y)(X-3Y))\\ & =E(X^2-3XY+2XY-6Y^2)\\ & =E(X^2)+\underset{=0}{\underbrace{E(XY)}}-6E(Y^2)\\ & =E(X^2)-6E(Y^2)\text{ car }V(X)=E(X^2)=1\\ & =1-6=\text{color}green5\end{array}$$

Donc elles ne sont pas independantes.

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Exercice 5

La variable aleatoire

$X$ suit une loi uniforme sur

$[0;\theta ]$ avec

$\theta$ inconnu.

Sa densite est par definition donnee par

$f(x,\theta )=\frac{1}{\theta }{\mathrm{𝟙}}_{[0;\theta ]}(x)$ i.e.

$f(x,\theta )=1$ si

$0\le x\le \theta$ sinon.

1. Montrer que sa densite peut etre ecrite
   $f(x,\theta )=\frac{1}{\theta }{\mathrm{𝟙}}_{[0;1]}(\frac{x}{\theta })$
2. En deduire que la fonction de vraisemblance definie sur
   $[0;+\mathrm{\infty }[\times ]0;+\mathrm{\infty }[$ s'ecrit:
   $$L(x_1,...,x_n,\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{{\theta }^n}& \text{si}max{x}_i\le \theta \\ 0& \text{sinon}\end{array}$$ ou encore
   $$L(x_1,...,x_n,\theta )=\frac{1}{{\theta }^n}{\mathrm{𝟙}}_{[max1\le i\le n;+\mathrm{\infty }]}(\theta )$$
3. En deduire l’estimateur du maximum de vraisemblance du parametre
   $\theta$
4. Quelle loi suit la v.a.
   $\frac{X_1}{\theta }$
5. On pose
   $$T=\underset{1\le i\le n}{max}\frac{X_i}{\theta }$$. Determiner sa fonction de repartition
   $F_T$
6. Montrer que
   $\mathbb{P}(\alpha \le T\le 1)=1-{\alpha }^n$
7. En deduire un reel
   $\alpha$ tel que
   $\mathbb{P}(T\in [\alpha ;1])=0,95$
8. Considerons des observations
   $x_1,...,x_n$. Notons
   $$M=\underset{1\le i\le n}{max}{x}_i$$. Deduire des questions precedentes un intervalle de confiance pour le parametre
   $\theta$ de niveau de confiance 0, 95.

Solution

$$\begin{array}{rl}x\in [0;\theta ]& \iff 0\le x\le \theta \\ & \iff 0\le \frac{x}{\theta }\le 1\\ & \iff \frac{x}{\theta }\in [0;1]\end{array}$$

Donc

$${\mathrm{𝟙}}_{[0;\theta ]}(x)={\mathrm{𝟙}}_{[0;1]}(\frac{x}{\theta })$$

$$\begin{array}{rl}L(x_1,...,x_n,\theta )& ={\mathrm{\Pi }}_{i=1}^{n}f(x_i,\theta )\\ & ={\mathrm{\Pi }}_{i=1}^n\frac{1}{\theta }{\mathrm{𝟙}}_{[0;\theta ]}(x_i)\\ & =\frac{1}{{\theta }^n}{\mathrm{\Pi }}_{i=1}^n{\mathrm{𝟙}}_{[0;\theta ]}(x_i)\end{array}$$

Pour que ce ne soit pas egale a

$0$,

$x_i\in [0;\theta ]$

$$\begin{array}{rl}L(x_1,...,x_n,\theta )& =\frac{1}{{\theta }^n}{\mathrm{𝟙}}_{[0;\theta ]}(max(x_i))\\ & =\frac{1}{{\theta }^n}{\mathrm{𝟙}}_{[max{x}_i;+\mathrm{\infty }]}(\theta )\end{array}$$

EMV:

$\hat{\theta }=\underset{1\le i\le n}{max}(x_i)$

Loi uniforme sur

$[0;1]$

$$\begin{gathered} F_{\frac{X}{\theta }}(x)=P(\frac{X}{\theta }\le x)=P(X\le \theta x) \\ \text{color}redX\sim U([0;\theta ])=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }x\le 0\\ {\int }_0^{\theta x}\frac{1}{\theta }dt=x& \text{si }\theta x\in [0;\theta ]\text{color}red\iff x\in [0;1]\\ 1& \text{si }\text{color}red\theta x<\theta \text{, i.e. }x>1\end{array} \\ =F_U(x)\text{ avec }U=\frac{X}{\theta }\sim U([0;1]) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}{F}_T(x)& =P(max\frac{X_i}{\theta }\le x)\\ & =P({\cap }_{i=1}^n\{X_i\le x\})={\mathrm{\Pi }}_{i=1}^{n}P(\frac{X_i}{\theta }\le n)\text{ car les v.a. }{x}_i\text{ sont independantes}\\ & =P(\frac{X}{\theta }\le x{)}^n\text{ car les }\frac{x_i}{\theta }\text{ ont les memes lois}\end{array} \\ {F}_T(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ x^n& x\in [0;1]\\ 1& x>1\end{array} \end{gathered}$$

Resolution d'equation:

$$\begin{array}{rl}1-{\alpha }^n& =0,95\\ {\alpha }^n=0,05\\ \alpha =\sqrt[n]{0,05}\end{array}$$

$T=max\frac{x_i}{\theta }$,

$M=max{x}_i$, donc

$T=\frac{M}{\theta }$ (car

$\theta >0$)

$$\begin{gathered} P(\sqrt[n]{0,05}\le T\le 1)=095\Rightarrow P(\sqrt[n]{0,05}\le \frac{M}{\theta })=0,95 \\ P(1\le \frac{\theta }{M}\le (0,05{)}^{-\frac{1}{n}})=0,95\iff P(M\le \theta \le M(0,05{)}^{-\frac{1}{n}})=0,95 \end{gathered}$$

$$I\subset [M,M(0,05{)}^{-\frac{1}{n}}]$$

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