PRST - Exos pour le 24/03

Exercice 1

Considerons une variable aleatoire

$X$ suivant une loi de Poisson de parametre

$0,2$.

1. Calculer
   $P(X=4)$.
2. Calculer
   $E(X)$ et
   $V(X)$.

Solution

$P(X=4)e^{-0,2}\frac{0,2^4}{4!}=5,45\times {10}^{-5}$

$E(X)=0,2$

$V(X)=0,2$

Exercice 2

La variable aleatoire

$U$ suit une loi uniforme sur l’intervalle

$[2;7]$. Calculer

$P(U\in [3;5])$ puis

$E(U)$.

Solution

$P(U\in [3,5])=\frac{5-3}{7-2}=\frac{2}{5}$

$E(U)=\frac{a+b}{2}=\frac{2+7}{2}=4,5$

Exercice 3

La loi de Skellam est definie sur

$N$ comme la difference de deux variables aleatoires independantes suivant des lois de Poisson

$\mathcal{P}({\lambda }_1)$ et

$\mathcal{P}({\lambda }_2)$ avec

${\lambda }_1\ge 0$ et

${\lambda }_2\ge 0$.

Soient

$N_1$ et

$N_2$ des variables aleatoires independantes suivant respectivement des lois de Poisson

$\mathcal{P}({\lambda }_1)$ et

$\mathcal{P}({\lambda }_2)$.

Par definition, la variable aleatoire

$X:=N_1-N_2$ suit une loi de Skellam de parametres

${\lambda }_1$ et

${\lambda }_2$

1. Montrer que
   $E(X)={\lambda }_1-{\lambda }_2$ et
   $V(X)={\lambda }_1+{\lambda }_2$
2. Consid´erons un echantillon
   $(X_1,...,X_n)$ de la loi de
   $X$. Determiner, a l’aide de la methode des moments, des estimateurs des parametres
   ${\lambda }_1$ et
   ${\lambda }_2$.

Solution

$$\begin{array}{rl}E(X)& =E(N_1-E(N_2))\\ & =E(N_1)-E(N_2)\\ & ={\lambda }_1-{\lambda }_2\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}V(X)& =V(N_1-N_2)\\ & =\underset{N_1\text{ et }{N}_2\text{ sont independantes}}{\underbrace{V(N_1)+V(-N_2)}}\\ & ={\lambda }_1+(-1{)}^{2}V(N_2)\\ & ={\lambda }_1+{\lambda }_2\end{array}$$

On sait que

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}E(X)={\lambda }_1-{\lambda }_2\\ V(X)={\lambda }_1+{\lambda }_2\end{array} \\ \{\begin{array}{l}E(X)={\lambda }_1-{\lambda }_2\\ E(X)+V(X)=2{\lambda }_1\end{array} \\ \{\begin{array}{l}{\lambda }_2={\lambda }_1-E(X)=\frac{V(X)-E(X)}{2}\\ {\lambda }_1=\frac{E(X)+V(X)}{2}\end{array} \end{gathered}$$

D'ou, par la methode des moments:

$$\{\begin{array}{l}{\hat{\lambda }}_1=\frac{\overline{X}+S^2}{2}\\ {\hat{\lambda }}_1=\frac{S^2-\overline{X}}{2}\end{array}$$