PRST - Feuille 3

Exercice du cours

Déterminer les estimateurs des paramètres

$m$ et

$\sigma$ 2 donnés par la méthode des moments pour une loi normale

$N(m,{\sigma }^2)$.

Solution

$$\begin{gathered} E(\lambda )=\frac{1}{\lambda } \\ \lambda =\frac{1}{E(X)} \\ \hat{\lambda }=\frac{1}{{\overline{X}}_n} \end{gathered}$$

$X_n{\to }^{P.S}\frac{1}{\lambda }$ loi forte des grand normbres

$$\begin{gathered} f:x\mapsto \frac{1}{x},{\mathcal{C}}^{\gamma } \\ ]0;+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R} \end{gathered}$$

Exercice 1

Determiner un estimateur convergent et sans biais du parametre

$\lambda$ pour la loi de Poisson.

Solution

On sait que:

$$E(Y)=\lambda$$

Donc l'estimateur d'ordre 1 de parametre

$\lambda$ est:

$$\hat{\lambda }={\overline{X}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

L'estimateur est sans biais et il est fortement convergent par la loi forte des grand nombres.

Exercice 2

Determiner un estimateur du parametre

$\alpha$ pour la loi de Pareto par la methode desmomets (cf. feuille1).

Solution

On sait que

$E(X)=\frac{\alpha }{\alpha -1}$

$$\begin{gathered} \alpha -1E(X)=\alpha \\ \alpha (E(X)-1)=E(X) \\ \alpha =\frac{E(X)}{E(X)-1} \\ \overline{\alpha }\frac{\overline{X}}{\overline{X}-1} \end{gathered}$$

Exercice 3

Determiner un estimateur du parametre

$p$ pour une loi geometrique.

Solution

$$\begin{gathered} X\sim \mathcal{E}(p) \\ E(X)=\frac{1}{p} \\ \text{donc }p=\frac{1}{E(X)} \\ \overline{p}=\frac{1}{X} \end{gathered}$$

Exercice du cours

1. loi de Pareto de parametre
   $\alpha$
2. densite
   $f(x,\alpha )=\alpha x^{-\alpha -1}$ pour
   $x>1$ et
   $\alpha >0$
3. Determiner l'EMV

Solution

$$\begin{array}{rl}L(x_1,...,x_n,\alpha )& ={\mathrm{\Pi }}_{k=1}^{n}f(x_k,\alpha )\\ & ={\mathrm{\Pi }}_{k=1}^n\alpha x^{-\alpha -1}\\ & ={\alpha }^n{\mathrm{\Pi }}_{k=1}^n{x}^{-\alpha -1}\\ \log (x_1,...,x_n,\alpha )& =n\log (\alpha )+{\mathrm{\Pi }}_{k=1}^n\log (x{k}^{-\alpha -1})\\ & =n\log \alpha -(\alpha -1){\mathrm{\Pi }}_{k=1}^n\log (xk)\\ \frac{\delta L}{\delta \alpha }& =\frac{n}{\alpha }-\sum _{k=1}^n\log (x_k)\\ \frac{\delta L}{\delta \alpha }=0& \iff \frac{n}{\alpha }-\sum _{k=1}^n\log (x_k)\\ & \iff \alpha =\frac{n}{\sum _{k=1}^n\log (x_k)}\\ & \iff \alpha =\frac{1}{\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\log (x_k)}\\ \frac{{\alpha }^{2}L}{\delta \alpha }& =-\frac{n}{{\alpha }^2}<0\\ \hat{\alpha }& =\frac{1}{\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\log (x_k)}\Rightarrow \text{ EMV}\end{array}$$

Exercice 6

Soit

$X$ une varibale aleatoire suivant une loi uniforme sur

$[0,\theta ]$.

1. Quelle est la densite de la variable aleatoire
   $X$ ?
2. Quelle est son esperance ?
3. En deduire un estimateur du parametre
   $\theta$ par la methode des moments

Solution

$$f(x,\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta }& \text{si }x\in [0,\theta ]\\ 0& \text{sinon}\end{array}$$

$$E(X)=0+\frac{\theta }{2}=\frac{\theta }{2}\Rightarrow \theta =2\times E(X)$$

$$\hat{\theta }=2\overline{X}$$