QUI : Calcul quantique 2

La notion d'etat quantique

Espace des etats

Espace lineaire

Les etats purs sont la polarisation en selon

$O_x$ et

$O_y$

Pour decrire la polarisation d'un photon on utilise un espace lineaire, un espace vectoriel de dimension finie

$\mathcal{H}$ dont les vecteurs de base correspondent aux etats purs.

On associe la base

$\{|x⟩,|y⟩\}$ a

$O_x$ et

$O_y$.

Un etat de polarisation

$\{|\mathrm{\Phi }⟩\}$ correspond a un vecteur appartenant a

$\mathcal{H}$ :

$$|\mathrm{\Phi }⟩=\lambda |x⟩+\mu |y⟩$$

On utilise la notation de Dirac.

Etat de polarisation

Il existe differents types de polarisation pouvant etre representes par un vecteur complexe.

$\mathcal{H}$ est un espace vectoriel complexe de dimension 2

Cela permet de prendre le conjugue d'un vecteur:

$$\overline{|\mathrm{\Phi }⟩}=⟨\mathrm{\Phi }|=\overline{\lambda }⟨x|+\overline{\mu }⟨y|$$

• $\overline{\lambda },\overline{\mu }$ : conjugues de
  $\lambda ,\mu$

Produit scalaire

On peut ecrire une amplitude de probabilite comme un produit scalaire:

$$⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩=(\overline{\nu }⟨x|+\overline{\sigma }⟨y|)+(\lambda |x⟩+\mu |y⟩)=\overline{\nu }\lambda ⟨x|x⟩+\overline{\sigma }\mu ⟨y|y⟩$$

• $|\mathrm{\Psi }⟩=\nu |x⟩+\sigma |y⟩$

Les vecteurs de bases sont orthogonaux entre eux et sont de norme unitaire:

$$\begin{array}{ccc}⟨x|x⟩=⟨y|y⟩=1& \text{et}& ⟨x|y⟩=⟨y|x⟩=0\end{array}$$

On a donc:

$$⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩=\overline{\nu }\lambda +\overline{\sigma }\mu =\overline{⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Psi }⟩}$$

Norme

La norme au carre d'un vecteur

$|\mathrm{\Phi }⟩$ s'ecrit comme le produit scalaire de

$|\mathrm{\Psi }⟩$ avec son conjugue

$⟨\mathrm{\Phi }|$:

$$\Vert \mathrm{\Phi }{\Vert }^2=⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Phi }⟩=|\lambda {|}^2+|\mu {|}^2$$

Un etat physique represente par un vecteur doit etre normalise :

$$\Vert \mathrm{\Phi }{\Vert }^2=⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Phi }⟩=|\lambda {|}^2+|\mu {|}^2=1$$

Espace de Hilbert

Un espace de Hilbert

$\mathcal{H}$ est un espace vectoriel complexe pas forcement de dimension finie muni d'un produit scalaire; introduisant une norme, et complet.

Amplitude et probabilite

Calcul d'amplitude

Les etats de polarisation sont rpz par des vecteurs unitaires dans

$\mathcal{H}$.

Un etat de polarisation rectiligne ou lineare selon

$\theta$, note

$|\theta ⟩$ s'ecrit:

$$|\theta ⟩=\cos \theta |x⟩+\sin \theta |y⟩$$

On peut calculer l'amplitude de probabilite en utilisant la notation de Dirac pour qu'un photo polarise suivant

$\theta$ traverse un polariseur oriente suivant

$\alpha$:

$$\begin{array}{rl}\mathbf{\text{a}}(\theta \to \alpha )& =⟨\alpha |\theta ⟩\\ & =(\cos \alpha ⟨x|+\sin \alpha ⟨y|)(\cos \theta |x⟩+\sin \theta |y⟩)\\ & =\cos \alpha \cos \theta +\sin \alpha \sin \theta \\ & =\cos (\theta -\alpha )\end{array}$$

Probabilite

Suite au calcul precedent, la probabilite de traverser l'analyseur (probabilite de mesurer un photon polarisation selon

$\alpha$) est:

$$\mathbf{\text{P}}(\theta \to \alpha )={\cos }^2(\theta -\alpha )=|⟨\alpha |\theta ⟩{|}^2$$

La probabilite de trouver un etat

$|\mathrm{\Phi }⟩$ dans un autre etat

$|\mathrm{\Psi }⟩$ s'exprime selon:

$$\begin{array}{ccc}\mathbf{\text{a}}(\mathrm{\Phi }\to \mathrm{\Psi })=⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩& \mathbf{\text{et}}& \mathbf{\text{P}}(\mathrm{\Phi }\to \mathrm{\Psi })=|⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩{|}^2\end{array}$$

La mesure quantique

On reprend le systeme de polariseur/analyseur avec l'analyseur oriente selon

$O_x$. Le polariseur (

$\mathbf{\text{P}}$) va prepare l'etat quantique puis l'analyseur (

$\mathbf{\text{A}}$) va tester sa polarisation.

${\mathbf{\text{P}}}_s$ est la probabilite de sortie du photon de (

$\mathbf{\text{A}}$):

1. (
   $\mathbf{\text{P}}$) est selon
   $O_x$ :
   ${\mathbf{\text{P}}}_s=100\mathrm{\%}\Rightarrow \text{Resultat : 1}$
2. (
   $\mathbf{\text{P}}$) est selon
   $O_y$ :
   ${\mathbf{\text{P}}}_s=0\mathrm{\%}\Rightarrow \text{Resultat : 0}$

Polarisation arbitraire

Supposons que le polariseur est oriente selon la direction

$\theta$ ou sa direction orthogonale

${\theta }_{\mathrm{\perp }}$, on peut construire un systeme orthonorme de vecteur de base

$\{|\theta ⟩,|{\theta }_{\mathrm{\perp }}⟩\}$ a partir de la base

$\{|x⟩,|y⟩\}$:

$$\begin{array}{ccc}|\theta ⟩=\cos \theta |x⟩+\sin \theta |y⟩& \mathbf{\text{et}}& |{\theta }_{\mathrm{\perp }}⟩=-\sin \theta |x⟩+\cos \theta |y⟩\end{array}$$

Le polariseur prepare le photon dans l'etat

$|\theta ⟩$, on a donc:

$${\mathbf{\text{P}}}_s={\cos }^2\theta$$

Apres le passage du photon dans l'analyseur, son etat

$|\theta ⟩$ devient

$|x⟩$.

La mesure modifie (ou perturbe) l'etat de polarisation.

Difference entre mesure classique et quantique

Il y a une difference de principe entre la mesure en physique classique et la mesure en physique quantique:

• Cas classique: la quantite physique preexiste a la mesure
  • Si une voiture est contolee a
    $180km.h^{-1}$, cette vitesse preexistait avant la mesure
• Cas quantique: l'etat de polarisation
  $|\theta ⟩$ n'existait pas avant d'etre mesure.

Si on prend l'exemple de la voiture dans une version quantique, son etat de vitesse serait donne par la superposition d'un etat a

$120km.h^{-1}$ et d'un autre a

$180km.h^{-1}$.

La notion d'operateur

Comment un etat quantique peut se transformer sous l'effet d'operateurs de la forme de matrices de dimensions 2?

Principes

On peut formuler 2 principes a partir de l'analyse de la structure mathematique:

1. L'etat physique d'un systeme quantique est rpz par un vecteur
   $|\mathrm{\Phi }⟩$ appartenant a
   $\mathcal{H}$.
   $|\mathrm{\Phi }⟩$ est unitaire (
   $\Vert \mathrm{\Phi }{\Vert }^2=1$) et est un vecteur d'etat du systeme quantique.
2. Soient
   $|\mathrm{\Psi }⟩$ et
   $|\mathrm{\Phi }⟩$ 2 etats physiques. L'amplitude de probabilite de trouver
   $Phi$ dans
   $Psi$ est
   $\mathbf{\text{a}}(\mathrm{\Phi }\to \mathrm{\Psi })=⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Psi }⟩$. La probabilite pour
   $\mathrm{\Phi }$ de reussir le test
   $\mathrm{\Psi }$ est:
   
   $$\mathbf{\text{P}}(\mathrm{\Phi }\to \mathrm{\Psi })=|a(\mathrm{\Phi }\to \mathrm{\Psi }){|}^2=|⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩{|}^2$$

Pour realiser le test on doit preparer le systeme dans l'etat

$|\mathrm{\Phi }⟩$ puis on va tester le systeme qui va le mettre dans l'etat

$|\mathrm{\Psi }⟩$.

Operateur de projection

Mesure et projection

Dans le test precedent on a fait une projection orthognale sur

$|\mathrm{\Psi }⟩$