# PRST - Feuille 2, suite # Exercice 14 Considerons une variable aleatoire $X$ suivant une normale centree reduite et une variable aleatoire $\varepsilon$ independante de la variable aleatoire $X$ telle: $$ P(\varepsilon=-1)=P(\varepsilon=1)=\frac{1}{2} $$ Considerons la variable aleatoire $Y := \varepsilon X$. 1. Montrer que la variable aleatoire $Y$ suit une loi normale centree reduite 2. Calculer $Cov(X,Y)$ 3. Determiner la loi de la v.a. $X+Y$ - Si c'est trop difficile, calculer $P(X+Y=0)$ 4. En deduire que le vecteur aleatoire $(X,Y)^T$ n’est pas un vecteur gaussien. 5. **Bonus**: determiner la fonction de repartition de $X+Y$ :::spoiler Solution 1. :::info Pour $Y\sim\mathcal N(0,1)$, il faut montrer que $Y$ suit la meme loi que $X$ ::: Soit $a$ et $b$ deux reels tels que $a\le b$ $$ \begin{aligned} P(Y\in[a;b]) &= P(\{Y\in[a;b]\}\cap\{\varepsilon=-1\}) + P(\{Y\in[a;b]\}\cap\{\varepsilon=1\})\\ &= P(\{-X\in[a;b]\}\cap\{\varepsilon=-1\}) + P(\{X\in[a;b]\}\cap\{\varepsilon=1\}) \end{aligned} $$ Or les v.a. $\varepsilon$ et $X$ sont independantes $$ \begin{aligned} P(Y\in[a;b]) &= P(-X\in[a;b])\times P(\varepsilon=-1) + P(X\in[a;b])\times P(\varepsilon=1)\\ &= \frac{1}{2}P(-X\in[a;b]) + \frac{1}{2}P(X\in[a;b])\\ X&\sim\mathcal N(0,1)\\ \alpha X&\sim\mathcal N(\alpha m,\alpha\sigma^2)\\ &= \frac{1}{2}P(X\in[a;b]) + \frac{1}{2}P(X\in[a;b])\\ &= P(X\in[a;b]) \end{aligned} $$ :::success Y suit la meme loi que $X$ donc $Y\sim\mathcal N(0,1)$ ::: Avec la fonction caracterisitique: $$ \begin{aligned} \phi_Y(X) &= E(e^{it\psi})\\ &= E(e^{-it\psi}\underbrace{πŸ™_{\varepsilon=-1}}_{\text{fonction indicatrice}} + e^{it\psi}πŸ™_{\varepsilon=1})\\ &= E(e^{-itX}πŸ™_{\varepsilon=-1} + e^{itX}πŸ™_{\varepsilon=1})\\ &= E(e^{-itX} ) E(πŸ™_{\varepsilon=-1}) + E(e^{itX})E(πŸ™_{\varepsilon=1})\\ \end{aligned} $$ 2. $$ \begin{aligned} Cov(X,Y)&=E(XY)-\underbrace{E(X)}_{=0}\underbrace{E(Y)}_{=0}\\ &=E(XY)=E(\varepsilon X^2) \end{aligned} $$ Les v.a. $\varepsilon$ et $X$ sont independnates donc $\varepsilon$ et $X^2$ aussi. $$ Cov(X,Y)=E(\varepsilon)E(X^2)\\ E(\varepsilon)=\frac{1}{1}\times-1+\frac{1}{1}\times1 =0 $$ 3. $$ P(X+Y=0)=P(X=-Y)=P(\varepsilon=-1)=\frac{1}{2}\\ P(X+Y=2X)=\color{red}{P(Y=X)}=P(\varepsilon =1)=\frac{1}{2} $$ Ecrit "savamment": $$ \delta_{a}(A)= \begin{cases} 0 &\text{si } a\not\in A\\ 1 &\text{si } a\in A \end{cases} $$ :::danger $$ \mu_Y=\frac{1}{2}\delta_0+\frac{1}{2}\mu_X $$ ::: > Mais c'est pas ce qui nous interesse lul 4. Deux types de v.a.: discrete et continue :::danger Y n'est pas continue car la probabilite d'etre egale a un certain nombre et toujours egal a $0$. On cherche pas un nombre mais un intervalle. ::: - Si $X+Y$ etait gaussienne $P(X+Y=0)=0$ - D'apres la question precedente, $P(X+Y=0)=\frac{1}{2}$ - la combinaison lineaire $X+Y$ n'est pas guassienne donc le vecteur n'est pas gaussien Bonus: On pose $Z=X+Y$. $$ \begin{aligned} P(Z\le z)&= P(\{Z\le z\}\cap\{\varepsilon=-1\})+P(\{Z\le z\}\cap\{\varepsilon=1\})\\ &= P(\{0\le z\}\cap\{\varepsilon=-1\})+P(\{2X\le z\}\cap\{\varepsilon=1\})\text{ les v.a. sont independantes} \end{aligned} $$ - Si $z=0$, $F_Z(z)=\frac{1}{2}\times F_X(\frac{z}{2})$ - Si $z\ge0$, $F_Z(z)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}F_X(\frac{z}{2})$ $$ F_Z(z)= \begin{cases} \frac{1}{2}F_X(\frac{z}{2}) &\text{si }z\lt0\\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}F_X(\frac{z}{2}) &\text{si } z\ge0 \end{cases} $$ :::