PRST - Feuille 2, suite

Exercice 14

Considerons une variable aleatoire

$X$ suivant une normale centree reduite et une variable aleatoire

$\epsilon$ independante de la variable aleatoire

$X$ telle:

$$P(\epsilon =-1)=P(\epsilon =1)=\frac{1}{2}$$

Considerons la variable aleatoire

$Y:=\epsilon X$.

1. Montrer que la variable aleatoire
   $Y$ suit une loi normale centree reduite
2. Calculer
   $Cov(X,Y)$
3. Determiner la loi de la v.a.
   $X+Y$
   • Si c'est trop difficile, calculer
     $P(X+Y=0)$
4. En deduire que le vecteur aleatoire
   $(X,Y{)}^T$ n’est pas un vecteur gaussien.
5. Bonus: determiner la fonction de repartition de
   $X+Y$

Solution

Pour

$Y\sim \mathcal{N}(0,1)$, il faut montrer que

$Y$ suit la meme loi que

$X$

Soit

$a$ et

$b$ deux reels tels que

$a\le b$

$$\begin{array}{rl}P(Y\in [a;b])& =P(\{Y\in [a;b]\}\cap \{\epsilon =-1\})+P(\{Y\in [a;b]\}\cap \{\epsilon =1\})\\ & =P(\{-X\in [a;b]\}\cap \{\epsilon =-1\})+P(\{X\in [a;b]\}\cap \{\epsilon =1\})\end{array}$$

Or les v.a.

$\epsilon$ et

$X$ sont independantes

$$\begin{array}{rl}P(Y\in [a;b])& =P(-X\in [a;b])\times P(\epsilon =-1)+P(X\in [a;b])\times P(\epsilon =1)\\ & =\frac{1}{2}P(-X\in [a;b])+\frac{1}{2}P(X\in [a;b])\\ X& \sim \mathcal{N}(0,1)\\ \alpha X& \sim \mathcal{N}(\alpha m,\alpha {\sigma }^2)\\ & =\frac{1}{2}P(X\in [a;b])+\frac{1}{2}P(X\in [a;b])\\ & =P(X\in [a;b])\end{array}$$

Y suit la meme loi que

$X$ donc

$Y\sim \mathcal{N}(0,1)$

Avec la fonction caracterisitique:

$$\begin{array}{rl}{\varphi }_Y(X)& =E(e^{it\psi })\\ & =E(e^{-it\psi }\underset{\text{fonction indicatrice}}{\underbrace{{\mathrm{𝟙}}_{\epsilon =-1}}}+e^{it\psi }{\mathrm{𝟙}}_{\epsilon =1})\\ & =E(e^{-itX}{\mathrm{𝟙}}_{\epsilon =-1}+e^{itX}{\mathrm{𝟙}}_{\epsilon =1})\\ & =E(e^{-itX})E({\mathrm{𝟙}}_{\epsilon =-1})+E(e^{itX})E({\mathrm{𝟙}}_{\epsilon =1})\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}Cov(X,Y)& =E(XY)-\underset{=0}{\underbrace{E(X)}}\underset{=0}{\underbrace{E(Y)}}\\ & =E(XY)=E(\epsilon X^2)\end{array}$$

Les v.a.

$\epsilon$ et

$X$ sont independnates donc

$\epsilon$ et

$X^2$ aussi.

$$\begin{gathered} Cov(X,Y)=E(\epsilon )E(X^2) \\ E(\epsilon )=\frac{1}{1}\times -1+\frac{1}{1}\times 1=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} P(X+Y=0)=P(X=-Y)=P(\epsilon =-1)=\frac{1}{2} \\ P(X+Y=2X)=\text{color}redP(Y=X)=P(\epsilon =1)=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Ecrit "savamment":

$${\delta }_a(A)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }a\notin A\\ 1& \text{si }a\in A\end{array}$$

$${\mu }_Y=\frac{1}{2}{\delta }_0+\frac{1}{2}{\mu }_X$$

Mais c'est pas ce qui nous interesse lul

Deux types de v.a.: discrete et continue

Y n'est pas continue car la probabilite d'etre egale a un certain nombre et toujours egal a

$0$. On cherche pas un nombre mais un intervalle.

• Si
  $X+Y$ etait gaussienne
  $P(X+Y=0)=0$
• D'apres la question precedente,
  $P(X+Y=0)=\frac{1}{2}$
• la combinaison lineaire
  $X+Y$ n'est pas guassienne donc le vecteur n'est pas gaussien

Bonus:

On pose

$Z=X+Y$.

$$\begin{array}{rl}P(Z\le z)& =P(\{Z\le z\}\cap \{\epsilon =-1\})+P(\{Z\le z\}\cap \{\epsilon =1\})\\ & =P(\{0\le z\}\cap \{\epsilon =-1\})+P(\{2X\le z\}\cap \{\epsilon =1\})\text{ les v.a. sont independantes}\end{array}$$

• Si
  $z=0$,
  $F_Z(z)=\frac{1}{2}\times F_X(\frac{z}{2})$
• Si
  $z\ge 0$,
  $F_Z(z)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{F}_X(\frac{z}{2})$

$$F_Z(z)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{F}_X(\frac{z}{2})& \text{si }z<0\\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}{F}_X(\frac{z}{2})& \text{si }z\ge 0\end{array}$$

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