ASE1 : Typical statement of an exam

Format

Fichier excel deja pret ou on devra mettre nom + prenom + uid. Format CSV fr, separation des champs avec ,

Jouons avec R

UID<-20254 #UID de l'etudiant
X<-runif(1000) #Loi uniforme pour une variable X et on en prend mille
plot(X) #Affiche X
Z<-1:1000 #Vecteur Z
plot(Z)
alpha<-UID/23000
K<-UID/7500

alpha

0.8806087

K

2.700533

Ces nombres sont differents pour tout le monde

V<-K*X^alpha
W<-K*Z^alpha

sort(V) #Loi uniforme de V
sort(W) #Loi uniforme de W

Le vecteur W a ete construit par vous, il depend de votre numero. Vous devez etre capable de decrire W.

boxplot(W) #Ne sera pa demande au partiel

summary(W) #Decrit des valeurs utiles

Min    1st Qu.    Median    Mean    3rd Qu.    Max
2.7    350.1      643.5    630.1    919.1      1193.8 

sd(W) #Ecart type
var(W) #Variance

On aura la commande dans l'enonce.

cor(V, W) #Correlation entre V et W

K<-2.5
alpha<-2.1
W<-K*Y^alpha
summary(W)

Jouez avec mean, sd, boxplot, summary, var, cov, cor.

X<-1:100
Y<-X^2
plot(X, Y)

Le coefficient de correlation de X et Y au pif ?
Plutot proche de 1 car la courbe ressemble a une droite.

cor(X, Y)

0.96

Intervalle de confiance

On va s'interesser au poids d'un nouveau-ne.

• On en a pese 49
• On a trouve une moyenne de 3.6 Kgs

Je sais que l'ecart-type est de 0.5 Kg. Je souhaite avoir un intervalle de confiance a

$95\mathrm{\%}$ du poids moyen.

Derniere hypothese: le poids suit une loi normale.

Il y a 2 facons de faire:

• Rappeler le raisonnement
• Apprendre la formule du cours

Rappelons le raisonnement

En general "Observation = moyen + ecart = moyenne + k * ecart type" sauf qu'on doit faire une deduction sur la moyenne.

Estimation de moyenne de type moyenne observee ± k * ecart type. Quand on connait l'ecart type K depend de la distribution de la loi normale.

x.barre<-3.6
sigma<-0.5

n<-49

Formule du cours

Un intervalle de confiance a

$95\mathrm{\%}$,

$\alpha =5\mathrm{\%}$,

$\frac{\alpha }{2}=2.5\mathrm{\%}$ et

$1-\frac{\alpha }{2}=0.975$

On utilise qnorm

u<-qnorm(0.975)
u

1.959964

mu.inferieur<-x.barre-u*sigma0/sqrt(n) #Formule du cours
mu.superieur<-x.barre+u*sigma0/sqrt(n)

L'intervalle de confiance a

$95\mathrm{\%}$ est

$[3.46,3.74]$.

On a mesure un ecart type de 0.53 Kgs. Quel est l'intervalle de confiance?
On a mesure une moyenne de 3.6 Kgs et un ecart type de 0,53 Kgs sur 49 bebes.

v<-qt(0.975, 49-1)
v

2.010635

ecart<-v*0.53/sqrt(n-1)

mu.inferieur<-x.barre-ecart
mu.superieur<-x.barre+ecart

3.44
3.75

Patients malades

Pour une maladie donnee, un traitement gueri

$90\mathrm{\%}$ des patients.
J'ai fait un test avec 1000 patients et 850 sont gueris au bout de 2 semaines.

J'accepte le 90% sur cette base?
Un test de chi2, dans le cours.

Ici : k=2 classes

1. patients gueris, p1 = 0.9
2. patients non gueris, p2 = 0.1

n<-1000
N1<-850
N2<-150
p1<-0.9
p2<-0.1

Z<-(N1-n*p1)^2/(n*p1) + (N2-n*p2)/(n*p2)
Z

27.77778

qchisq(0.95, 1)

3.84

qchisq(0.99, 1)

6.63

La valeur de Z est trop grande, les ecarts de Z sont trop grands. En principe Z doit rester petit, on va refuser l'hypothese de guerison a

$90\mathrm{\%}$.

H0: la proba de guerison est de

$90\mathrm{\%}$, la proba de non guerison est

$10\mathrm{\%}$.

Regression lineaire

plot(X, Y, col="blue")

On veut appliquer ces formules

mX<-mean(X)
mY<-mean(Y)

sX<-sd(X)
sY<-sd(Y)

rho<-cor(X, Y)

beta<-rho*sY/sX
alpha<-mY-beta*mX

PREV<-beta*X+alpha

points(X,PREV,col="red",pch=19,cex=0.8)

ECARTS<-Y-PREV

var(PREV)
var(ECARTS)

var(PREV) + var(ECARTS)

2174766