Revisions PROC

Calculer la densite

Etant donnee

$f$, est-ce une densite ? Si oui,

$P(\text{X}\le 3)$ ?

• Verifier que la
  $f\ge 0$ et
  ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}=1$

Calculer avec la densite

Etant donnee

$f$ densite, calculer

$E(\text{X})$,

$Var(\text{X})$

• $E(\text{X})={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}xf(x)dx$
• $Var(\text{X})={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}(x-E(x){)}^{2}f(x)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{x}^{2}f(x)dx-(E(x){)}^2$

X et Y independants, calculer la densite

$\text{X}$ et

$\text{Y}$ independants, densite

$f$ et

$g$. Densite de

$\text{X}+\text{Y}$ ?

• $h(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x-y)g(y)dy$

Calculer la densite de

$\alpha \text{X}+\beta$

Densite de

$\alpha \text{X}+\beta$. Densite de

$\text{X}$ :

$f$. Il faut passer par la fonction de repartition.

• $F(X)=P(\text{X}\le x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t)dt$
• $f(x)=F^{\prime }(x)$
• Soit
  $\text{Y}=\alpha \text{X}+\beta$,
  $g$ sa densite
  • $G(x)=P(\text{Y}\le x)=P(\alpha \text{X}+\beta \le x)$

Premier Cas

Si

$\alpha >0,G(x)=P(\alpha \text{X}+\beta \le x)=P(\text{X}\le \frac{x-\beta }{\alpha })=F(\frac{x-\beta }{\alpha })$
En derivant

$G^{\prime }(x)=\frac{1}{\alpha }{F}^{\prime }(\frac{x-\beta }{\alpha })$

Second Cas

Si

$\alpha <0,G(x)=P(\alpha \text{X}+\beta <x)=P(\text{X}\ge \frac{x-\beta }{\alpha })=1-\frac{1}{\alpha }{F}^{\prime }(\frac{x-\beta }{\alpha })$
En derivant

$G^{\prime }(x)=-\frac{1}{\alpha }{F}^{\prime }(\frac{x-\beta }{\alpha })\Rightarrow g(x)=-\frac{x-\beta }{\alpha }f(\frac{x-\beta }{\alpha })$

Convergence en probabilite

Definition

$|X_n|$ converge en probabilite vers

$\text{Y}$ si

$\mathrm{\forall }ϵ>0,P(|\text{X}-\text{Y}|>ϵ){\to }_{n\to \mathrm{\infty }}0$

Rappel

$${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^{\alpha }}dx\{\begin{array}{ll}\text{converge si et seulement si}& \alpha >1\\ \text{diverge si et seulement si}& \alpha \le 1\end{array}$$

$${\int }_0^1\frac{1}{x^{\alpha }}dx\{\begin{array}{ll}\text{converge si et seulement si}& \alpha <1\\ \text{diverge si et seulement si}& \alpha \ge 1\end{array}$$

Primitive de

$\frac{1}{x^{\alpha }}$:

$$\begin{array}{rl}{x}^{-\alpha }& =f(x)\\ F(x)& =\frac{1}{-\alpha +1}{x}^{-\alpha +1}\end{array}$$

Cas particulier

On tire

$X_1,X_2,...,X_n$ independemment distribuee et on definit la moyenne

${\overline{X}}_n=\frac{X_1+...+X_n}{N}$

$$\begin{array}{rl}E({\overline{X}}_n)& =E(X_1)\\ Var({\overline{X}}_n)& =\frac{1}{n}Var(X_1)\\ \sigma ({\overline{X}}_n)& =\sqrt{Var({\overline{X}}_n)}\\ \text{Car}E({\overline{X}}_n)& =\frac{1}{n}(E(X_1)+...+E(X_n))\\ & =E(X_1)\\ Var({\overline{X}}_n)& =\frac{1}{n^2}(Var(X_1)+...+Var(X_n))\\ & =\frac{nVar(X_1)}{n^2}=\frac{Var(X_1)}{n}\end{array}$$

Inégalité de Tchebychev

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\forall }ϵ>0,P(|{\overline{X}}_n-E(X_n)|\ge ϵ)& \le \frac{Var({\overline{X}}_n)}{{ϵ}^2}\\ & \le \frac{Var(X_1)}{n{ϵ}^2}{\to }_{n\to \mathrm{\infty }}0\end{array}$$
Donc

$P(|{\overline{X}}_n-E(X_n)|>ϵ){\to }_{n\to \mathrm{\infty }}0$

Theoreme central limite

• $X_1,X_2,...,X_n$
• ${\overline{X}}_n=\frac{X_1+...+X_n}{n}$
  On a vu que
  $E({\overline{X}}_n)=E(X_1)$ et que
  $Var({\overline{X}}_n)=\frac{1}{n}Var(X_1)$

$$Z_n=\frac{{\overline{X}}_n-E({\overline{X}}_n)}{\sigma ({\overline{X}}_n)}\to Z$$
Ou

$Z$ a une distribution normal centre reduite:

$Z⇝N(0,1)$

$$E(Z_n)=0\text{et}Var(Z_n)=1$$

On a

$\mathrm{\forall }[a,b]\subset \mathbb{R}$,

$$P(Z_n\in [a,b]){\to }_{n\to \mathrm{\infty }}P(Z\in [a,b])$$

Exercice typique

Premier exercice

Soient

$X_1,...,X_n$ independemment distribuee avec

$E(X_1)=3$,

$Var(X_1)=4$ et

${\overline{X}}_n=\frac{X_1+...+X_n}{n}$. Trouver n tel que

$P(|{\overline{X}}_n-3|\ge 1)\le 5\mathrm{\%}$.

Solution

Si

$Z\to N(0,1)$,

$P(-1,96\le Z\le 1,96)=95\mathrm{\%}$
1 est pris au hasar mais pas 3, c'est l'esperance.
Ici, on definit

$$\begin{array}{rl}{Z}_n& =\frac{{\overline{X}}_n-E({\overline{X}}_n)}{\sigma ({\overline{X}}_n)}\\ & =\frac{{\overline{X}}_n-3}{\sqrt{\frac{4}{n}}}\\ & =\frac{{\overline{X}}_n-3}{\frac{2}{\sqrt{n}}}\end{array}$$
Si n est grand:

$$\begin{gathered} P(-1,96\le \frac{{\overline{X}}_n-3}{\frac{2}{\sqrt{n}}}\le 1,96)=95\mathrm{\%} \\ P(|\frac{{\overline{X}}_n-3}{\frac{2}{\sqrt{n}}}|\le 1,96)=95\mathrm{\%} \\ P(|{\overline{X}}_n-3|\le \frac{1,96\ast 2}{\sqrt{n}})=95P(|{\overline{X}}_n-3|\ge \frac{3,92}{\sqrt{n}})=5\mathrm{\%} \end{gathered}$$

• Si
  $\frac{3,92}{\sqrt{n}}=1$, on a:
  
  $$P(|{\overline{X}}_n-3|\ge 1)=5\mathrm{\%}$$
• Si
  $\frac{3,92}{\sqrt{n}}\ge n_0$ avec
  $n_0=3,{92}^2$ valeur minimale de n, on a:
  
  $$P(|{\overline{X}}_n-3|\ge 1)\ge P(|{\overline{X}}_n-3|\ge \frac{3,92}{\sqrt{n}})\le 5\mathrm{\%}$$

Deuxieme exercice

On achete une machine.

$P_{\text{Machine defectueuse}}=2\mathrm{\%}$. On achete

$n$ machines. Pour

$i\in [1,n]$

$$X_i=\{\begin{array}{ll}1& \text{si defectueuse}\\ 0& \text{sinon}\end{array}$$
et

${\overline{X}}_n=\frac{X_1+...+X_n}{n}$

On sait que

${\overline{X}}_n{\to }_{\text{prob}}2\mathrm{\%}$. Trouver

$n_0$ tel que

$\mathrm{\forall }n\ge n_0$,

$P(0,01\le {\overline{X}}_n\le 0,03)\ge 95\mathrm{\%}$.

Solution

Autrement dit,

$$\begin{array}{rl}P(|{\overline{X}}_n-0,02|\le 0,01)& \ge 95\mathrm{\%}\\ \text{donc}P(|{\overline{X}}_n-0,02|\ge 0,01)& \le 5\mathrm{\%}\end{array}$$

$$\begin{gathered} X_i=\{\begin{array}{ll}1& \text{avec proba}p=0,02\\ 0& \text{avec proba}1-p\end{array} \\ E(X_i)=0\ast (1-p)+1\ast p=p \\ \begin{array}{rl}Var(X_i)& =E((X_i-E(X){)}^2)\\ & =E((X_i-p{)}^2)=p(1-p)=0,02\ast 0,98\end{array} \end{gathered}$$
Pour

${\overline{X}}_n$:

$$\begin{array}{r}E({\overline{X}}_n)=E(X_1)=p\\ Var({\overline{X}}_n)=\frac{1}{n}Var(X_1)=\frac{p(1-p)}{p}\end{array}$$
On pose:

$$Z_n=\frac{{\overline{X}}_{n}E({\overline{X}}_n)}{\sigma {\overline{X}}_n}=\frac{{\overline{X}}_n-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$$

On a donc:

$$\begin{array}{rl}P(|Z_n|\ge 1,96)& =5\mathrm{\%}\\ P(|\frac{{\overline{X}}_n-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}|\ge 1,96)& =5\mathrm{\%}\\ P(|{\overline{X}}_n-p|\ge 1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}})& =5\mathrm{\%}\end{array}$$
Si

$n$ tel que

$1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\le 0.01$, on a

$P(|X_n-p|\ge 0,01)\le 5\mathrm{\%}$

Troisieme exercice

Soit

$f(x)=...$.

• Si vous pensez que
  $f$ est une densite, entrer
  $P(X\le 3)$
• Sinon rentrer
  $-1$

Solution

Discussion sur les integrales impropres.
Il faut verifier que

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx=1$. Si

$f$ est non-nulle sur une partie infinie de

$\mathbb{R}$, il faut discuter de la nature de l'integrale. Soit elle est:

• divergente et
  $f$ n'est pas une densite
• convergente et verifier que l'integrale vaut 1 et que
  $f$ est positive

Exemples

Exemple 1

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si}x\le 1\\ \frac{1}{x}& \text{si}x>1\end{array}$$

Solution

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx={\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}dx$$
L'integrale est divergente donc

$f$ n'est pas une densite.

Exemple 2

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{sur}]-\mathrm{\infty },1]\\ \frac{1}{x^{10}}& \text{sur}]1,+\mathrm{\infty }[\end{array}$$

Solution

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx& ={\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^{10}}\text{avec}{x}^{-10}\to \text{primitive:}\frac{1}{-10+1x^{{}^{-}10+1}}\\ & =[-\frac{1}{9}\ast \frac{1}{x^9}{]}_1^{+\mathrm{\infty }}\\ & =0-(-\frac{1}{9})\\ & =\frac{1}{9}\end{array}$$

$f$ n'est pas une densite.

Exemple 3

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si}x\le 1\\ \frac{9}{x^{10}}& \text{si}x>1\end{array}$$

• f est une densite (cf exo ci-dessus)
• $P(X\le 3)$?
  $E(X)$?
  $Var(X)$?

Solution

1. $P(X\le 3)$?
   
   $$\begin{array}{rl}P(X\le 3)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{3}f(x)dx\\ & ={\int }_1^3\frac{9}{x^{10}}dx\text{avec}\frac{9}{x^{10}}\to \text{primitive:}-\frac{1}{x^9}\\ & =[-\frac{1}{x^9}{]}_1^3=-\frac{1}{3^9}+\frac{1}{1^9}=1-\frac{1}{3^9}\end{array}$$
2. $E(X)$?
   
   $$\begin{array}{rl}E(X)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}xf(x)dx\\ & ={\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{9x}{x^{10}}dx\\ & ={\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^9}dx\text{avec}{x}^{-9}\to \text{primitive:}\frac{1}{-9+1}{x}^{-9+1}=-\frac{1}{8}{x}^{-8}\\ & =9[-\frac{1}{8}{x}^{-8}{]}_1^{+\mathrm{\infty }}\\ & =9[-0+\frac{1}{8}]=\frac{9}{8}\end{array}$$
3. $Var(X)$?
   
   $$\begin{array}{rl}Var(X)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}(x-\frac{9}{8}{)}^{2}f(x)dx\\ & =E(X^2)-(E(X){)}^2\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{x}^{2}f(x)dx-(\frac{9}{8}{)}^2\end{array}$$
   
   $${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{x}^{2}f(x)dx={\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{x}^2\frac{x9}{x^{10}}dx\text{avec}{x}^{-8}\to \text{primitive:}\frac{1}{-8+1}{x}^{-8+1}=-\frac{1}{7}{x}^{-7}$$
   
   $$E(X^2)=9[-\frac{1}{7x^7}{]}_1^{+\mathrm{\infty }}=9(-0+\frac{1}{7})$$
   
   $$Var(X)=\frac{9}{7}-{\frac{9}{8}}^2$$

Densite de

$X+Y$ quand

$X$ et

$Y$ independants

• $X$: densite
  $f$
• $Y$: densite
  $g$
• $Z=X+Y$: densite $h
  • $h$ est la convolution de
    $f$ et
    $g$
    
    $$h(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x-y)g(y)dy$$

Exemple de distribution uniforme

• $X⇝\mathcal{U}([1,2])$
• $Y⇝\mathcal{U}([4,5])$
  
  
  
  $f(x)g(y)\ne 0\iff x\in [1,2]\text{et}y\in [4,5]$
  
  $$h(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(y)h(x-y)dy={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x-y)g(y)dy$$
  Soit
  $x_0$ fixe, on calcule
  $h(x_0)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x_0-y)g(y)dy$.
  
  $$\begin{array}{rl}f(x_0-y)g(y)\ne 0& \iff \{\begin{array}{l}1\le x_0-y\le 2\\ 4\le y\le 5\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}{x}_0-2\le & y\le x_0-1\\ 4\le & y\le 5\end{array}\end{array}\end{array}$$

Vert:

$x_0-2\le y\le x_0-1$
Rouge

$4\le y\le 5$

• Cas
  $x_0-1<4$ (
  $x_0<5$):
  • Pas de
    $y$ qui convient
  • $h(x_0)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}0dx=0$
• Cas
  $5\le x_0-2$ (
  $x_0\ge 7$):
  • Pas d'intersection
  • $h(x_0)=0$
• Cas
  $4\le x_0-2\le 5\le x_0-1$:
  • $h(x_0)={\int }_{x_0-2}^{5}1\ast 1dx=[x{]}_{x_0-2}^5=5-(x_0-2)=7-x_0$
• Cas
  $x_0-2\le 4\le x_0-1\le 5$ (
  $5\le x\le 6$):
  
  • $h(x_0)={\int }_4^{x_0-1}1dy=[y{]}_4^{x_0-1}=x_0-1-4=x_0-5$

Finalement:

• $x\in [5,6]$,
  $h(x_0)=x_0-5$
• $x\in [6,7]$,
  $h(x_0)=7-x_0$
• Ailleurs,
  $h(x_0)=0$