ASE 3 : Couple de variables aleatoires discretes et analyse des donnees

Couple de variables aleatoires reelles et discretes

Soient

$X$ et

$Y$ 2 v.a reelles discretes.

On appelle couple

$(X,Y)$ l'application de

$\mathrm{\Omega }\to {\mathbb{R}}^2$ definie par

$(X,Y)(\omega )=(X(\omega ),Y(\omega ))$

$X$ et

$Y$ sont definis sur un meme espace probabilite (

$$\underset{\text{univers}}{\underbrace{\mathrm{\Omega }}},\underset{\text{tribu}}{\underbrace{\mathcal{C}}},\underset{\text{probabilite}}{\underbrace{P}}$$)

La loi d'un couple

$(X,Y)$ (Loi conjointe)

Definition
On appelle loi de

$(X,Y)$ l'ensemble des couples

$((x_i,y_j),P_{i,j})$ ou

• $x_i\in X(\mathrm{\Omega })$ l'ensemble des valeurs de
  $X$
• $y_j\in Y(\mathrm{\Omega })$ l'ensemble des valeurs de
  $Y$

$$P_{ij}=\mathbb{P}((X=x_i)\cap (Y=y_j))$$

:::

Si

$I=[[1,r]]$ et

$J=[[1,s]]$ (ensemble discret, ensemble des indices). Les

$P_{i,j}$ sont souvent donnes dans le tableau a double entres.

$X/Y$	$y_1$	$\dots$	$y_j$	$\dots$	$y_s$
$X_1$	$P_{1,1}$	$\dots$	$P_{1,j}$	\dots	$P_{1,s}$
$⋮$	$⋮$		$⋮$		$⋮$
$X_i$	$P_{i,1}$	$\dots$	$P_{i,j}$	$\dots$	$P_{1,s}$
$⋮$	$⋮$		$⋮$		$⋮$
$X_r$	$P_{r,1}$	$\dots$	$P_{r,j}$	$\dots$	$P_{r,j}$

$$\begin{gathered} P_{i,j}>0\text{et}\sum _{i\in I \\ j\in J}{P}_{ij}=1 \end{gathered}$$

Lois marginales

Definition
Les v.a

$X$ et

$Y$ sont appeles variables marginales du couple

$(X,Y)$. La loi de

$X$ (resp. de

$Y$) est appelee loi marginale de

$X$ (resp. de

$Y$)

Notation:

$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }i\in I,\mathcal{P}(X=x_i)=P_{i\circ }\text{ et }\mathcal{P}(X=y_j)=P_{\circ j} \\ {P}_{i\circ }=\mathcal{P}(X=x_i)=\sum _{j\in J}\mathcal{P}((X=x_i)\cap (Y=y_j))=\sum _{j\in J}{P}_{ij} \\ \mathrm{\forall }j\in J{P}_{\circ j}=\sum _{i\in I}\mathcal{P}((X=x_i)\cap (Y=y_j))=\sum _{i\in I}{P}_{ij} \end{gathered}$$

Exemple

$(X,Y)$ un couple de v.a. dont la loi conjointe est donnee par le tableau:

$X/Y$	1	2	3	4	$P_{i\circ }$ (Loi marginale de $X$)
1	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{4}$
2	0	$\frac{2}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{4}$
3	0	0	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{4}$
4	0	0	0	$\frac{4}{16}$	$\frac{1}{4}$
$P_{\circ j}$ (Loi marginale de $Y$)	$\frac{1}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{7}{16}$	1

Loi conditionnelles

Definition

Soit

$X$ un v.a reelle sur

$(\mathrm{\Omega },\mathcal{C},P)$

$$X(\mathrm{\Omega })=\{x_i|i\in I\},\text{soit }A\text{ un evenement }/P(A)\ne 0$$

La loi conditionnelle de

$X$ sachant

$A=\{(x_i,P_A(X=x_i)),i\in I\}$

$$P_A(X=x_i)=\frac{P((X=x_i)\cap A)}{P(A)}$$

:::

En particulier,

$A$: <<

$Y=y_i$>>

$$P_{(Y=y_i)}(X=x_i)=\frac{P((X=x_i)\cap (Y=y_i))}{P(Y=y_j)}=\frac{P_{i,j}}{P_{\circ j}}$$

$$P_{(Y=y_j)}(X=x_i)=\frac{P_{i,j}}{P_{\circ j}}$$

Exemple

On reprend l'exemple precedent

$X_i$	1	2	3	4
$P_{(Y=3)}(X=x_i)$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$0$

$$P_{(Y=3)}(X=1)=\frac{P((X=1)\cap (Y=3))}{P(Y=3)}=\frac{\frac{1}{16}}{\frac{5}{16}}=\frac{1}{5}$$

Independantes

Definition

$X$ et

$Y$ sont 2 v.a. independantes ssi

$$\begin{gathered} P((X=x)\cap (Y=y))=P(X=x)P(Y=y)]forallx\in X(\omega ),\mathrm{\forall }y\in Y(\omega ) \\ \iff P_{ij}=P_{i\circ }\circ P_{\circ j} \end{gathered}$$

:::

Soit g une fonction de

${\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$, definie sur l'ensemble des valeurs prises par

$(X,Y)$
Soit

$Z=g(X,Y)$,

$Z_h=g(x_i,y_j)\in Z(\mathrm{\Omega })$

$$\begin{gathered} (Z=Z_k)={\cup }_{(i,j) \\ {Z}_k=g(x_i,y_j)}((X=x_i)\cap (Y=y_j))\Rightarrow \text{color}red\mathcal{P}(Z=Z_k)=\sum _{(i,j) \\ {Z}_k=g(x_i,y_j)}P((X=x_i)\cap (Y=y_i)) \end{gathered}$$

En particulier

$Z=X+Y=g(X,Y)$

$$\begin{gathered} P(Z=z)=\sum _{(x,y) \\ x+y=z}\mathcal{P}((X=x)\cap (Y=y)) \end{gathered}$$

Si

$Z=X.Y=g(X,Y)$

$$\begin{gathered} P(X.Y=z)=\sum _{(x,y) \\ x.y=z}\mathcal{P}((X=x)\cap (Y=y)) \end{gathered}$$

Exemple

$(X,Y)$ couple defini par

$X/Y$	1	2	3	4
1	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$
2	0	$\frac{2}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$
3	0	0	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{16}$
4	0	0	0	$\frac{4}{16}$

Determiner la loi de

$Z=X+Y$

$Z=\{2,3,4,5,6,7,8\}$

$Z_k$	2	3	4	5	6	7	8
$P(Z=Z_k)$

$$\begin{array}{rl}P(Z=5)& =P(X+Y=5)\\ & =P((X=1)\cap (Y=4))P((X=2)\cap (Y=3))+P((X=3)\cap (Y=3))+P((X=4)\cap (Y=1))\\ & =\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+0+0=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}\end{array}$$

Determiner la loi de

$Z=X.Y$

$Z(\mathrm{\Omega })$ = {1,2,3,4,6,8,9,12,16}

$Z_k$	1	2	3	4	6	8	9	12	16
$P(Z=Z_k)$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{4}{16}$

$$\begin{array}{rl}P(Z=4)& =P((X=1)\cap (Y=4))+P((X=2)\cap (Y=2))+P((X=4)\cap (Y=1))\\ & =\frac{1}{16}+\frac{2}{16}+0=\text{color}red\frac{3}{16}\end{array}$$

Esperance d'une fonction de 2 v.a.r discretes

$$\begin{gathered} \begin{array}{r}X(\omega )=\{x_1,...,x_i\}\\ Y(\omega )=\{y_1,...,y_j\}\end{array}\}Z=g(X,Y) \\ E(Z)=E(g(X,Y))=\sum _{i,j}g(x_i,y_j)\mathcal{P}((X=x_i)\cap (Y=y_i)) \end{gathered}$$

$$E(Z)=\sum _{i,j}g(x_i,y_j)P_{i,j}$$

Exemple

$g(X,Y)=X,Y$

$$\begin{array}{rl}E(X.Y)& =\sum _{i,j}{x}_i{y}_j\mathcal{P}((X=x_i)\cap (Y=y_j))\\ & =\sum _{i,j}{x}_i{y}_j{P}_{i,j}\end{array}$$

Proposition

Proposition
Si

$X$ et

$Y$ sont 2 v.a. independantes alors

$$E(X.Y)=E(X)E(Y)$$

:::

Demonstration

$$E(X.Y)=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s{x}_i{y}_j{P}_{i,j}$$

or

$X$ et

$Y$ sont independantes

$P_{i,j}=P_{i\circ }\circ P_{\circ j}$

$$\begin{array}{rl}E(X.Y)& =\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s{x}_i{y}_j{P}_{i\circ }{P}_{\circ j}\\ & =\sum _{i=1}^r{x}_i{P}_i(\sum _{j=1}^s{y}_j{P}_{\circ j})\\ & =\sum _{i=1}^r{x}_i{P}_{i\circ }E(Y)=E(X)E(Y)\end{array}$$

$$E(X.Y)=E(X)E(Y)$$

La reciproque est fausse

Contre-exemple

$(X,Y)$ couple de loi conjoite

$X/Y$	0	1	2	$P_{i\circ }$ (Loi de $X$)
0	$\frac{1}{20}$	$\frac{1}{4}$	0	$\frac{3}{10}$
1	$\frac{17}{60}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{7}{10}$
$P_{\circ j}$ (Loi de $Y$)	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$	$1$

$$\begin{array}{rl}E(X.Y)& =\sum _{i=0}^1\sum _{j=0}^{2}i.j{P}_{i,j}\\ & =1\times \frac{1}{4}+2\times \frac{1}{6}=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}\\ E(X)& =\sum _{i=0}^{1}i{P}_{i\circ }=\frac{7}{10}\\ E(Y)& =\sum _{j=0}^{2}j{P}_{\circ j}=\frac{1}{2}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}\\ E(X.Y)& =\frac{7}{12}=E(X)E(Y)\end{array}$$

et pourtant

$X$ et

$Y$ ne sont pas independantes car

$$\begin{gathered} P((X=0)\cap (Y=2))=0 \\ P(X=0).P(Y=2)=\frac{3}{10}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{20} \end{gathered}$$

Covariance et coefficient de correlation lineaire

Definition

$X$ et

$Y$ 2 v.a. discretes.
On appelle covariance de

$(X,Y)$ le nombre reel

$$Cov(X,Y)=E((X-E(X)(Y-E(Y))))$$

:::

Proposition

$$Cov(X,Y)=E(X.Y)-E(X)E(Y)$$

Demonstration

$$\begin{array}{rl}Cov(X,Y)& =E(\stackrel{\text{var centree}}{\overbrace{(X-E(X))}}\stackrel{\text{var centree}}{\overbrace{(Y-E(Y))}})\\ & =E(XY-XE(Y)-E(X)Y+E(X)E(Y))\\ & =E(X.Y)-E(Y)E(X)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y)\end{array}$$

Cat

$E$ est lineaire

$$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$$

Remarque: Si

$X$ et

$Y$ sont independantes alors

$Cov(X,Y)=0$

Definition
On appelle coefficient de correlation lineaire

\mathcal C(X,Y)=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_x\simga_y}

• ${\sigma }_x=\sqrt{V(X)}$
• ${\sigma }_y=\sqrt{V(Y)}$
  :::