# ASE2 - TD 3

:::warning
Avec Poisson: approximation en serie, mieux de passer par la Gaussienne (loi binomiale) car moins de calculs
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# Exercice 9
Une usine fabrique des pieces, dont $3\%$ ont des defauts
1. On preleve 1000 pieces au hasard
1. Quelle est la probabilite d'avoir plus de $50$ pieces defectueuses ?
2. Quelles est la probabilite d'avoir entre $20$ et $40$ pieces defectueuses ?
2. On veut $1950$ pieces sans defaut. Par prudence, on en preleve $2000$ au hasard. Quelle est la probabilite d'avoir sufffisamment de pieces en bon etat ?

:::spoiler Solution

Soit $X$ la v.a.: nombre de pieces defectueurse parmi 1000.

$X$ suit la loi $\mathcal B(n,p)$ avec $n=1000$ et $p=0,03$

$$
\mathcal B(n,p)\simeq \mathcal N(np,\sqrt{npq})\\
\text{Donc } \frac{X-np}{\sqrt{npq}}\to^{\mathcal L}\mathcal N(0,1)\text{ (theoreme Moivre-Laplace)}\\
\begin{cases}
np=30\\
npq=29,1
\end{cases}\\
\sqrt{npq}=\sqrt{29,1}=5,4
$$

1.1.
$$
\begin{aligned}
P(X/gt50)&=1-P(X\le50)\\
&\simeq 1-P(U\le\frac{50-30+0,5}{5,4})
\end{aligned}
$$

avec $U=\frac{X-30}{5,4}\sim \mathcal N(0,1)$

$$
\begin{aligned}
P(X\gt50)&\simeq 1-P(U\le3,8)\\
&\simeq 1-F(3,8)=1,0-0,9999... = 0
\end{aligned}
$$

1.2.

$$
P(20\le X\le40)\simeq P(\frac{20-30-0,5}{5,4}\le U\le\frac{40-30+0,5}{5,4})
$$

avec $U=\frac{X-30}{5,4}\sim \mathcal N(0,1)$

$$
\begin{aligned}
P(20\le X\le40)&= P(-1,94\le U\le 1,94)\\
&= F(1,94)-F(-1,94) \text{ } F \text{ fonction de repartition de }\mathcal N(0,1)\\
&= F(1,94)-(1-F(1,94))\\
&= 2F(1,94)-1 = 2\times 0,9738 \text{ (Table de } \mathcal N(0,1)\text{)}\\
&= 0,9476
\end{aligned}
$$

2.

$$
X\to\mathcal B(2000,p=0,03), n=2000\\
np=60,npq=58,2,\sqrt{npq}=7,63\\
\mathcal B(2000;0,03)\simeq\mathcal N(60;7,63)
$$

On veut $1950$ pieces en bon etat, donc:

$$
P(X\le50)=P(\frac{X-60}{7,6}\le\frac{50-60+0,5}{7,63})\\
U=\frac{X-60}{7,63}\to\mathcal N(0,1)
$$

Donc:

$$
\begin{aligned}
P(X\le50)&=P(U\le-1,25)\\
&= F(-1,25)\\
&= 1-F(1,25)\\
&= 1-0,8944=0,1056
\end{aligned}
$$

:::

# Exercice 10
Le nombre de pannes, par mois, sur une certaines machine, suit une loi de Poisson de moyenne egale a $3$. Un atelier fonctionne avec $12$ machines de ce type, independantes.

En un mois, quelle est la probabilite de constater dans cet atelier:
1. Plus de $42$ pannes ?
2. entre $36$ et $45$ pannes ?

:::spoiler Solution

Soit $X_i$ v.a.: nombre de pannes, en un mois de la machine $n^oi$, $X_i\to\mathcal P(3)$.
Soit $S_{12}=X_1+X_2+...+X_{12}$, $S_{12}$: nombre de pannes dans l'atelier
$(X_i)$ sont independantes donc: $S_{12}=\sum_{i=1}^{12}\to\mathcal P(12\times 3)=\mathcal P(36)$.

$$
S_{12}\to\mathcal P(36), \lambda=36\gt20
$$

On peut approximer cette loi par la loi normale:

$$
\frac{S_{12}-36}{\sqrt{36}}\simeq\mathcal N(0,1)
$$

1.

On cherche $P(S_{12}\gt42)$

$$
\begin{aligned}
P(S_{12}\gt42)&=P(\frac{S_{12}-36}{6}\gt\frac{42-36}{6})\\
&= P(\frac{S_{12}-36}{6}\gt1)\\
&=1-P(U<1)\text{ avec } U=\frac{S_{12}-36}{6}\\
&=1-F(1)\\
&=1-0,8413=0,1587
\end{aligned}
$$

2.

$$
\begin{aligned}
P(36\lt S_{12} \lt45) &=P(0\lt\frac{S_{12}-36}{6}\lt\frac{3}{2})\\
&=F(1,5)-F(0)\\
&= 0,9332-0,5=0,4332
\end{aligned}
$$

:::

# Exercice 11
On jette $600$ fois un de equilibre a $6$ faces. On note $X$ le nombre d'apparitions de l'as (face marquee 1).
1. Quelle est la loi de $X$ ?
2. Calculer $E(X)$ et $V(X)$
3. Calculer $P(X\gt 110)$
4. Determiner un intervale $[a;b]$ centre sur $E(X)$ tel que $P(a\le X\le b)=0,95$

:::spoiler Solution

1.

$$
X\to\mathcal B(n,p)=\begin{cases}
n=600\\p=\frac{1}{6}
\end{cases}
$$

2.

$$
E(X) = np = 100,\sigma(X)=\sqrt{100\times\frac{5}{6}} = 9,13
$$

3.

$$
\begin{aligned}
P(X\gt110) &= P(\frac{X-100}{9,13}\gt\frac{110-100}{9,13})\\
&= P(U\gt\frac{110-100}{9,13})\\
&= P(U\gt1,15)\text{ avec } U=\frac{X-100}{9,13}\to\mathcal N(0,1)\\
&= 1-F(1,15)
\end{aligned}
$$

Donc P(X\gt110)=1-0,8749=0,13

:::success

$$
P(X\gt110)=0,13
$$

:::

4.

Soit $r$: rayon de l'intervalle

$$
\begin{cases}
a=E(X)-r\\
b=E(X)+r
\end{cases}
$$

On cherche $r$ tel que

$$
P(\vert X-100\vert\le r)=0,95
$$

Posons $U=\frac{X-100}{9,13}$

$$
\begin{aligned}
P(\vert X-100\vert\le r)=P(\vert U\vert\le\frac{r+0,5}{9,13})&=0,95\\
P(\frac{-r-0,5}{9,13}\le U\le\frac{r+0,5}{9,13})&=0,95\\
F(\frac{r+0,5}{9,13})-F(\frac{-r-0,5}{9,13})&=0,95\\
2F(\frac{r+0,5}{9,13})-1&=0,95\\
\end{aligned}\\
F(\frac{r+0,5}{9,13}) = \frac{1,95}{2} = 0,975\\
\text{D'apres la table: } \frac{r+0,5}{9,13}=1,96\\
\Rightarrow r= 1,96\times 9,13-0,5=17,39\\
\text{Donc: } \begin{cases}
a=100-17,39=82,61\\
b=100+17,39=117,39
\end{cases}
$$

:::success

$$
I=[82,61;117,39]
$$

:::

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