ASE2 - TD 3

Avec Poisson: approximation en serie, mieux de passer par la Gaussienne (loi binomiale) car moins de calculs

Exercice 9

Une usine fabrique des pieces, dont

$3\mathrm{\%}$ ont des defauts

1. On preleve 1000 pieces au hasard
   1. Quelle est la probabilite d'avoir plus de
      $50$ pieces defectueuses ?
   2. Quelles est la probabilite d'avoir entre
      $20$ et
      $40$ pieces defectueuses ?
2. On veut
   $1950$ pieces sans defaut. Par prudence, on en preleve
   $2000$ au hasard. Quelle est la probabilite d'avoir sufffisamment de pieces en bon etat ?

Solution

Soit

$X$ la v.a.: nombre de pieces defectueurse parmi 1000.

$X$ suit la loi

$\mathcal{B}(n,p)$ avec

$n=1000$ et

$p=0,03$

$$\begin{gathered} \mathcal{B}(n,p)\simeq \mathcal{N}(np,\sqrt{npq}) \\ \text{Donc }\frac{X-np}{\sqrt{npq}}{\to }^{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0,1)\text{ (theoreme Moivre-Laplace)} \\ \{\begin{array}{l}np=30\\ npq=29,1\end{array} \\ \sqrt{npq}=\sqrt{29,1}=5,4 \end{gathered}$$

1.1.

$$\begin{array}{rl}P(X/gt50)& =1-P(X\le 50)\\ & \simeq 1-P(U\le \frac{50-30+0,5}{5,4})\end{array}$$

avec

$U=\frac{X-30}{5,4}\sim \mathcal{N}(0,1)$

$$\begin{array}{rl}P(X>50)& \simeq 1-P(U\le 3,8)\\ & \simeq 1-F(3,8)=1,0-0,9999...=0\end{array}$$

1.2.

$$P(20\le X\le 40)\simeq P(\frac{20-30-0,5}{5,4}\le U\le \frac{40-30+0,5}{5,4})$$

avec

$U=\frac{X-30}{5,4}\sim \mathcal{N}(0,1)$

$$\begin{array}{rl}P(20\le X\le 40)& =P(-1,94\le U\le 1,94)\\ & =F(1,94)-F(-1,94)F\text{ fonction de repartition de }\mathcal{N}(0,1)\\ & =F(1,94)-(1-F(1,94))\\ & =2F(1,94)-1=2\times 0,9738\text{ (Table de }\mathcal{N}(0,1)\text{)}\\ & =0,9476\end{array}$$

$$\begin{gathered} X\to \mathcal{B}(2000,p=0,03),n=2000 \\ np=60,npq=58,2,\sqrt{npq}=7,63 \\ \mathcal{B}(2000;0,03)\simeq \mathcal{N}(60;7,63) \end{gathered}$$

On veut

$1950$ pieces en bon etat, donc:

$$\begin{gathered} P(X\le 50)=P(\frac{X-60}{7,6}\le \frac{50-60+0,5}{7,63}) \\ U=\frac{X-60}{7,63}\to \mathcal{N}(0,1) \end{gathered}$$

Donc:

$$\begin{array}{rl}P(X\le 50)& =P(U\le -1,25)\\ & =F(-1,25)\\ & =1-F(1,25)\\ & =1-0,8944=0,1056\end{array}$$

Exercice 10

Le nombre de pannes, par mois, sur une certaines machine, suit une loi de Poisson de moyenne egale a

$3$. Un atelier fonctionne avec

$12$ machines de ce type, independantes.

En un mois, quelle est la probabilite de constater dans cet atelier:

1. Plus de
   $42$ pannes ?
2. entre
   $36$ et
   $45$ pannes ?

Solution

Soit

$X_i$ v.a.: nombre de pannes, en un mois de la machine

$n^{o}i$,

$X_i\to \mathcal{P}(3)$.
Soit

$S_{12}=X_1+X_2+...+X_{12}$,

$S_{12}$: nombre de pannes dans l'atelier

$(X_i)$ sont independantes donc:

$S_{12}=\sum _{i=1}^{12}\to \mathcal{P}(12\times 3)=\mathcal{P}(36)$.

$$S_{12}\to \mathcal{P}(36),\lambda =36>20$$

On peut approximer cette loi par la loi normale:

$$\frac{S_{12}-36}{\sqrt{36}}\simeq \mathcal{N}(0,1)$$

On cherche

$P(S_{12}>42)$

$$\begin{array}{rl}P(S_{12}>42)& =P(\frac{S_{12}-36}{6}>\frac{42-36}{6})\\ & =P(\frac{S_{12}-36}{6}>1)\\ & =1-P(U<1)\text{ avec }U=\frac{S_{12}-36}{6}\\ & =1-F(1)\\ & =1-0,8413=0,1587\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}P(36<S_{12}<45)& =P(0<\frac{S_{12}-36}{6}<\frac{3}{2})\\ & =F(1,5)-F(0)\\ & =0,9332-0,5=0,4332\end{array}$$

Exercice 11

On jette

$600$ fois un de equilibre a

$6$ faces. On note

$X$ le nombre d'apparitions de l'as (face marquee 1).

1. Quelle est la loi de
   $X$ ?
2. Calculer
   $E(X)$ et
   $V(X)$
3. Calculer
   $P(X>110)$
4. Determiner un intervale
   $[a;b]$ centre sur
   $E(X)$ tel que
   $P(a\le X\le b)=0,95$

Solution

$$X\to \mathcal{B}(n,p)=\{\begin{array}{l}n=600\\ p=\frac{1}{6}\end{array}$$

$$E(X)=np=100,\sigma (X)=\sqrt{100\times \frac{5}{6}}=9,13$$

$$\begin{array}{rl}P(X>110)& =P(\frac{X-100}{9,13}>\frac{110-100}{9,13})\\ & =P(U>\frac{110-100}{9,13})\\ & =P(U>1,15)\text{ avec }U=\frac{X-100}{9,13}\to \mathcal{N}(0,1)\\ & =1-F(1,15)\end{array}$$

Donc P(X\gt110)=1-0,8749=0,13

$$P(X>110)=0,13$$

Soit

$r$: rayon de l'intervalle

$$\{\begin{array}{l}a=E(X)-r\\ b=E(X)+r\end{array}$$

On cherche

$r$ tel que

$$P(|X-100|\le r)=0,95$$

Posons

$U=\frac{X-100}{9,13}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}P(|X-100|\le r)=P(|U|\le \frac{r+0,5}{9,13})& =0,95\\ P(\frac{-r-0,5}{9,13}\le U\le \frac{r+0,5}{9,13})& =0,95\\ F(\frac{r+0,5}{9,13})-F(\frac{-r-0,5}{9,13})& =0,95\\ 2F(\frac{r+0,5}{9,13})-1& =0,95\end{array} \\ F(\frac{r+0,5}{9,13})=\frac{1,95}{2}=0,975 \\ \text{D'apres la table: }\frac{r+0,5}{9,13}=1,96 \\ \Rightarrow r=1,96\times 9,13-0,5=17,39 \\ \text{Donc: }\{\begin{array}{l}a=100-17,39=82,61\\ b=100+17,39=117,39\end{array} \end{gathered}$$

$$I=[82,61;117,39]$$

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