# ASE3: TD 2

# Exercice 1

Soit $$X=\begin{pmatrix} 16 & 2 &0 \\ 8&12&10 \\ 12&16&14 \\ 20&8&14 \\ 16&4&10 \\ 0&6&12 \end{pmatrix}$$

On donne le meme poids a tous les individus: $p_i=\frac{1}{6}$ $\forall i$ et $M=I_3$

1. Calculer la moyenne des variables et le centre de gravite
2. Donner la matrice $Y$
3. Calculer la matrice de var-covariance $V$
4. Diagonaliser sur $MV=V$
5. Calculer le $\%$ d'inertie
6. Facteurs principaux
7. Determiner les composantes principales et calculer les coefficients de correlation

:::spoiler Solution

$$
\begin{aligned}
&\begin{matrix}X^{(1)}&X^{(2)}&X^{(3)}\end{matrix}\\
X=&\begin{pmatrix} 16 & 2 &0 \\ 8&12&10 \\ 12&16&14 \\ 20&8&14 \\ 16&4&10 \\ 0&6&12 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

1.

$p_i=\frac{1}{6}$ $\forall i=1,2,4,5,6$ poids de chaque individu et $M=I_3$ metrique

**La moyenne des variables:**

$$
\bar X^{(1)}=\sum_{i=1}^6p_iX_i^{(1)} = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^6X_i^{(1)}=\frac{72}{6}=12\\
\bar X^{(2)}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6X_i^{(2)}=\frac{1}{6}\bullet 48=8\\
\bar X^{(3)}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6X_i^{(3)}=\frac{60}{6}=10
$$

Donc $\bar X^{(1)}=12$, X^{(2)}=8$, X^{(3)}=10$.

Le centre de gravite du nuage forme par les 3 individus:

$$
g^T=(12, 8, 10)
$$

2.

**Tableau des donnees centrees $Y$**

$$
y_i^{(j)}=X_i^{(j)}=\bar X^{(j)}\\
Y=\begin{pmatrix}
4&-6&-10\\
-4&4&0\\
0&8&4\\
8&0&4\\
4&-4&0\\
-12&-2&2
\end{pmatrix}
$$

3.

Matrice de var-covariance

$V=Y^TDY$ avec $D=\frac{1}{6}I_6$

$$
\Rightarrow V=\frac{1}{6}Y^TY=\begin{pmatrix}
\frac{128}{3}&-\frac{16}{3}&-\frac{16}{3}\\
-\frac{16}{3}&\frac{68}{3}&\frac{44}{3}\\
-\frac{16}{3}&\frac{44}{3}&\frac{68}{3}
\end{pmatrix}
$$

4.

**Diagonalisation de $MV=V$**

$M=I_3$: metriques de l'espaces des individus

$P_V(\lambda)=det(V-\lambda I_3)$ polynome caracteristiques de $V$

$$
\begin{aligned}
P_v(\lambda)&=\begin{vmatrix}
\frac{128}{3}-\lambda&-\frac{16}{3}&-\frac{16}{3}\\
-\frac{16}{3}&\frac{68}{3}-\lambda&\frac{44}{3}\\
-\frac{16}{3}&\frac{44}{3}&\frac{68}{3}-\lambda
\end{vmatrix}\\
C_1\to C_1&+C_2+C_3\\
P_v(\lambda)&=(32-\lambda)\begin{vmatrix}
1&-\frac{16}{3}&-\frac{16}{3}\\
1&\frac{68}{3}-\lambda&\frac{44}{3}\\
1&\frac{44}{3}&\frac{68}{3}-\lambda
\end{vmatrix}\quad\text{par linearite}\\
L_2\to L_2-L_1&\text{ et }L3\to L_3-L_1\\
P_v(\lambda)&=(32-\lambda)\begin{vmatrix}
1&-\frac{16}{3}&-\frac{16}{3}\\
0&28-\lambda&20\\
0&20&28-\lambda
\end{vmatrix}\\
&= (32-\lambda)((28-\lambda)^2-(20)^2)\\
&= (32-\lambda)(28\lambda-20)(28-\lambda+20)
\end{aligned}\\
\color{red}{\boxed{P_V(\lambda) = (32-\lambda)(8-\lambda)(48-\lambda)}}
$$

Les valeurs propres de $V$: $\lambda_1=48$, $\lambda_2=32$, $\lambda_3=8$ (ordre decroissant)

5.

**Le $\%$ d'inertie**

- Le $1^{er}$ axe: $\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3}=\frac{48}{88}=0,54 = 54\%$
- Le $2^{e}$ axe: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3}=\frac{32}{88}=0,36=36\%$
- Le $3^{e}$ axe: $\frac{\lambda_3}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3}=\frac{8}{88}=0,09=9\%$

Le plan factoriel: $\frac{\lambda_1+\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3}=\frac{80}{88}=90\%$

6.

Les facteurs principaux sont les deux vecteurs propres associes aux valeurs propres $\lambda_1=48$ et $\lambda_2=32$.

$$
E_{48}=Ker(V-48I_3)\\
\forall u=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\in E_{48} \Leftrightarrow (V-48I_3)\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \vec 0\\
\begin{cases}
-\frac{16}{3}x-\frac{16}{3}y-\frac{16}{3}z=0\\
-\frac{16}{3}x - \frac{76}{3}y+\frac{44}{3}z=0\\
-\frac{16}{3}x + \frac{44}{3}-\frac{76}{3}z=0\\
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x+y+z=0\quad(1)\\
-16x-76y+44z=0\quad(2)\\
-16x+44y-76z=0\quad(3)
\end{cases}\\
(2)-(3)\Rightarrow -120y+120z=0\Rightarrow\color{green}{\boxed{y=z}}\\
(1)\Rightarrow\color{green}{\boxed{x=-2z}}\\
E_{48}=Vect(\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix})\quad\text{Droite vectorielle}\\
u^{(1)}=\frac{1}{\sqrt{4+1+1}}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}\\
\color{red}{u^{(1)}\text{ est norme}}\\
\Biggr\Vert\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}\Biggr\Vert=\sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}\\
E_{32}=Ker(V-32I_3)\\
\forall u=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}\in E_{32}\Leftrightarrow (V-32I+3)\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\vec 0\\
\begin{cases}
32x-16y-16z=0\quad(1)\\
-16x-28y+44z=0\quad(2)\\
-16x+44y-28z=0\quad(3)
\end{cases}\\
\begin{cases}
(2)-(3)&\Rightarrow\color{green}{\boxed{y=z}}\\
(1)&\Rightarrow\color{green}{\boxed{y=x}}
\end{cases}\\
\color{red}{\boxed{E_{32}=Vect\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\quad\text{Droite}}}\\
u^{(2)}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\quad\text{norme}
$$

:::success
$(u^{(1)},u^{(2)})$ base orthonormee
:::

7.

Composantes principales

$$
C^{(i)}=Yu^{(i)}\quad i=1,2
$$

La $1^{ere}$ composante:

$$
\begin{aligned}
C^{(1)}&=Yu^{(1)}=\begin{pmatrix}
4&-6&-10\\
-4&4&0\\
0&8&4\\
8&0&4\\
4&-4&0\\
-12&-2&2
\end{pmatrix}\bullet
\frac{1}{\sqrt{6}}
\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
-1
\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}
4\sqrt{6}\\
-2\sqrt{6}\\
-2\sqrt{6}\\
2\sqrt{6}\\
2\sqrt{6}\\
-4\sqrt{6}
\end{pmatrix}\quad\text{variable centree}
\end{aligned}
$$

$$
C^{(2)}=Yu^{(2)}=\begin{pmatrix}
-4\sqrt{3}\\
0\\
4\sqrt{3}\\
4\sqrt{3}\\
0\\
-4\sqrt{3}
\end{pmatrix}\quad\text{variable centree}
$$

:::warning
**Remarque**
Ces composantes principales contiennent les projections des individus sur les 2 axes factoriels.
:::

*Calcul des coefficients de correlation*:

$$
\rho(X_1^{(1)}, C^{(1)})=\frac{Cov(X^{(1)},C^{(1)})}{\sigma_{X^{(1)}}\sigma_{C^{(1)}}}\\
Cov(X^{(1)},C^{(1)})=<y^{(1)},C^{(1)}>={y^{(1)}}^TD.C^{(1)}\quad\text{produit scalaire de l'espace des variables}\\
D=\frac{1}{6}I_6\quad\text{Metriques dans l'espace des variables}\\
\color{green}{\boxed{Cov(X^{(1)},C^{(1)}) = \frac{1}{6}{y^{(1)}}^TC^{(1)}}}
$$

$$
\begin{aligned}
Cov(X^{(1)},C^{(1)})&=\frac{1}{6}(16\sqrt{6}+8\sqrt{6}+16\sqrt{6}+8\sqrt{6}+48\sqrt{6})\\
&= \frac{96\sqrt{6}}{6}=\color{green}{\boxed{16\sqrt{6}}}
\end{aligned}\\
\sigma_{X^{(1)}} = \sqrt{V(X^{(1)})} = \sqrt{\frac{128}{3}}\\
\begin{aligned}
\sigma_{C^{(1)}}=\Vert C^{(1)}\Vert&=\sqrt{<C^{(1)},C^{(1)}>}\\
&= \sqrt{\frac{1}{6}(96+24+24+24+24+96)}\\
&=\color{green}{\boxed{4\sqrt{3}}}
\end{aligned}\\
\rho(X^{(1)}, C^{(1)}) =\frac{16\sqrt{6}}{\sqrt{\frac{128}{3}}\bullet 4\sqrt{3}} = \color{green}{\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}}
$$

**Tableau des correlations:**

||$C^{(1)}$|$C^{(2)}$|
|-|-|-|
|$X^{(1)}$|$\frac{\sqrt{3}}{2}=0,87$|$\frac{1}{2}=0,5$|
|$X^{(2)}$|$-\sqrt{\frac{6}{17}}=-0,59$|$\frac{2\sqrt{34}}{17}=0,69$|
|$X^{(3)}$|$-0,59$|$0,69$|

:::

# Exercice 2

$$
X=\begin{pmatrix}
2&2&3\\
3&1&2\\1&0&3\\
2&1&4\\
2&1&3
\end{pmatrix}
$$

1. Calculer $\bar{X^{(1)}}$, $\bar{X^{(2)}}$, $\bar{X^{(3)}}$ et le centre de gravite
2. Calculer la matrice $Y$
3. Calculer $V$
4. Diagonaliser $V$ et calculer le $\%$ d'inertie
5. Facteurs principaux et composantes principales

:::spoiler Solution

1.

$$
P_i=\frac{1}{5}\quad\forall i\\
\bar{X^{(1)}}=2, \bar{X^{(2)}}=1, \bar{X^{(2)}}=3\\
g^T=(2,1,3)
$$

2.

$$
Y=\begin{pmatrix}
0 &1&0\\
1&0&-1\\
-1&-1&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{pmatrix}
$$

3.

$$
V = Y^TDY\\
D = \frac{1}{5}I_5\\
\begin{aligned}
V &= \frac{1}{5}Y^TY\\
&=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2&1&-1\\
1&2&0\\
-1&0&2
\end{pmatrix}
\end{aligned}\\
\begin{aligned}
P_{Y^TY}(\lambda)&=\begin{vmatrix}
2-\lambda &1&-1\\
1 &2-\lambda&0\\
-1&0&2-\lambda
\end{vmatrix}\quad C_2\to C_2+C_3\\
&=\begin{vmatrix}
2-\lambda &0&-1\\
1 &2-\lambda&0\\
-1&2-\lambda&2-\lambda
\end{vmatrix}\quad L_2\to L_3-L_2\\
&= \begin{vmatrix}
2-\lambda &0&-1\\
1 &2-\lambda&0\\
-2&0&2-\lambda
\end{vmatrix}\\
&= (2-\lambda)((2-\lambda)^2-2)\\
&=(2-\lambda)(2-\lambda-\sqrt{2})(2-\lambda+\sqrt{2})\\
\end{aligned}\\
\begin{cases}
\Gamma_1 = 2+\sqrt{2}\\
\Gamma_2 = 2\\
\Gamma_3=2-\sqrt{2}
\end{cases}\Rightarrow
\begin{cases}
\lambda_1=\frac{2+\sqrt{2}}{5}\\
\lambda_2 = \frac{2}{5}\\
\lambda_3 = \frac{2-\sqrt{2}}{5}
\end{cases}
$$

$$
\%\quad\frac{\lambda_1+\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3} = ?
$$

**Facteurs principaux:**

$$
E_{2+\sqrt{2}}=Ker(Y^TY-(2+\sqrt{2})I) = Vect\begin{pmatrix}-\sqrt{2} \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\\
\color{green}{\boxed{u^{(1)}=\frac{1}{\sqrt{4}}\begin{pmatrix}-\sqrt{2} \\ -1 \\1\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}-\sqrt{2} \\ -1 \\1\end{pmatrix}}}\\
\%\quad\frac{\lambda_1+\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3} = 90\%\quad\text{(inertie maximale)}\\
E_2=Ker(Y^TY-2I_3)=Vect\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\1\end{pmatrix}\\
\color{green}{\boxed{u^{(2)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\1\end{pmatrix}}}
$$

**Composantes principales:**

$$
C^{(1)}=Yu^{(1)}=\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2}\\
-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\\
\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}\\
0
\end{pmatrix}\quad\text{centrees}\\
C^{(1)}=Yu^{(1)}=\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}}\\
-\frac{1}{\sqrt{2}}
-\frac{1}{\sqrt{2}}
\frac{1}{\sqrt{2}}
0
\end{pmatrix}
$$

:::