ASE - TD 2, suite

Exercice 12

$X_1,X_2,...,X_n$ des v.a. independantes de la loi de Poisson

$\mathcal{P}(\lambda =1)$.
Soit

$Y_n=\sum _{k=1}^n{X}_k$

1. Determiner
   $\underset{n\to +infty}{lim}P(Y-n\le n)$ (utiliser le TCL)
2. En deduire un equivalent simple de
   $\sum _{k=0}^n\frac{n^k}{n!}$ quand
   $n\to +\mathrm{\infty }$

Quand on additionne des variables de Poisson independantes, on obtient une variable suivant la loi de Poisson avec comme parametre la somme de tous les parametres.

Solution

$X_1,X_2,...,X_n$ sont des v.a independantes et de meme loi, alors d'apres le TCL:

$\frac{X_1+X_2+...+X_n-n}{\sqrt{n}}{\to }_{n\to +\mathrm{\infty }}^{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0,1)$

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{Y}_n=\sum _{i=1}^n{X}_i,E(Y_n)=\sum _{i+1}^{n}E(X-i)=\sum _{i=1}^{n}1=n\\ V(Y_n)=\sum _{i=1}^{n}V(X_i)=n\Rightarrow \sigma =\sqrt{n}\end{array} \\ \frac{Y_n-n}{\sqrt{n}}{\to }_{n\to +\mathrm{\infty }}^L\mathcal{N}(0,1) \\ P(Y_n\le n)=P(\frac{Y_n-n}{\sqrt{n}}\le 0)=F_n(0) \end{gathered}$$

ou

$F_n$ est la fonction de repartition de

$\frac{Y_n-n}{\sqrt{n}}$
or

$\frac{Y_n-n}{\sqrt{n}}{\to }_{n\to +\mathrm{\infty }}^L\mathcal{N}(0,1)$

$$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}P(Y_n\le n)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{F}_n(0)=\mathrm{\Phi }(0)\text{ f.d.r de }\mathcal{N}(0,1)\\ & \Rightarrow \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}P(Y_n\le n)=\frac{1}{2}\end{array}$$

La somme de v.a independantes de la loi de Poisson

$\mathcal{P}(1)$ suit une loi de Poisson

$\mathcal{P}(n)$

$$\begin{gathered} Y_n=\sum _{k=1}^n{X}_k\to \mathcal{P}(n) \\ P(Y_n\le n)=\sum _{k=0}^n{e}^{-n}\frac{n^k}{k!}=e^{-n}\sum _{k=0}^n\frac{n^k}{k!} \end{gathered}$$

D'apres la 1.

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-n}\sum _{k=0}^n\frac{n^k}{k!}=\frac{1}{2}$

Donc

$$\sum _{k=0}^n\frac{n^k}{k!}\sim \frac{1}{2}{e}^n$$

avec

$n$ grand

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Exercice 13

Une entreprise compte 300 employes, chacun d'entre eux telephone en moyenne 6 minutes par heures. Quel est le nombre de lignes que l'entreprise doit installer pour que la probabilite que toutes les lignes soient utilisees au meme instant soit au plus egale a

$0,025$.

Solution

Il faut definir 2 variables

1. $N$: nombre de lignes installees
2. $X$: nombre d'employes telephonant a un instant
   $t$

Il faut d'abord determiner la loi de

$X$. La chance d'avoir un employe telephonant a un instant

$t$, on convertit les minutes en heure:

$\frac{6}{60}=\frac{1}{10}$.

$X$ suit donc une loi

$\mathcal{B}(300,\frac{1}{10})$

On cherche

$N$ la probabilite

$P(X\ge N)\le 0,025$

$$\begin{gathered} \mathcal{B}(300,\frac{1}{10})\simeq N(30,\sqrt{27})\text{ selon le theoreme de Moivre-Laplace} \\ U=\frac{X-30}{\sqrt{27}}\simeq \mathcal{N}(0,1) \\ \begin{array}{rl}P(X\ge N)\le 0,025& \Rightarrow P(U\ge \frac{N-30}{3\sqrt{3}})\le 0,025\\ & \Rightarrow 1-\mathrm{\Phi }(\frac{N-30+0,5}{3\sqrt{3}})\le 0,025\\ & \Rightarrow \mathrm{\Phi }(\frac{N-30+0,5}{3\sqrt{3}})\ge 0,975=\mathrm{\Phi }(1,96)\end{array} \end{gathered}$$

ou

$\mathrm{\Phi }$ est la fonction de repartition de la loi

$\mathcal{N}(0,1)$.

$$\begin{array}{rl}& \iff \frac{N-30+0,5}{3\sqrt{3}}\ge 1,96\\ & \iff N\ge 3\sqrt{3}\times 1,96+19,5\\ & \iff N>40\end{array}$$

Il faut installer au moin 40 lignes.

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Exercice 14

On considere un echantillon

$(X-1,X_2,...,X_n)$ d'une v.a.

$X$.
Determiner la vraisemblance de cet echantillon dans les cas ou

$X$ est distribue suivant:

1. une loi binomiale
   $\mathcal{B}(N,p)$
2. une loi de Poisson
   $\mathcal{P}(\lambda )$
3. Une loi exponentielle
   $\mathcal{E}(\lambda )$
4. Une loi normale
   $\mathcal{N}(m,\sigma )$

Solution

$(X_1,X_2,...,X_n)$ un echantillon de

$X$.

$X\sim \mathcal{B}(N,p)$ (

$\theta =p$ parametre).

$$\begin{array}{rl}L(x_1,x_2,...,x_n,p)& ={\mathrm{\Pi }}_{i=1}^{n}P(X_i=x_i)\\ & ={\mathrm{\Pi }}_{i=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{x_i})p^{x_i}(1-p{)}^{N-x_i}\\ & ={\mathrm{\Pi }}_{i=1}\frac{N!}{x_i!(N-x_i)!}{p}^{x_i}(1-p{)}^{N-x_i}\end{array}$$

$$L(x_1,x_2,...,x_n,p)=\frac{(N!{)}^n}{{\mathrm{\Pi }}_{i=1}^n{x}_i!(N-x_i)!}{p}^{\sum _{i=1}^n{x}_i}(1-p{)}^{nN-\sum _{i=1}^n{x}_i}$$

$X\sim \mathcal{P}(\lambda )$ (

$\theta =\lambda$ parametre)

$$\begin{array}{rl}L(x_1,x_2,...,x_n,\lambda )& ={\mathrm{\Pi }}_{i=1}^{n}P(X_i=x_i)\\ & ={\mathrm{\Pi }}_{i=1}^n{e}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^{x_i}}{x_i!}=e^{-n\lambda }\frac{{\lambda }^{\sum _{i=1}^n{x}_i}}{{\mathrm{\Pi }}_{i=1}^n{x}_i!}\end{array}$$

$$L(x_1,x_2,...,x_n,\lambda )=\frac{e^{-n\lambda }{\lambda }^{\sum _{i=1}^n{x}_i}}{{\mathrm{\Pi }}_{i=1}^n{x}_i!}$$

$X\sim \mathcal{E}(\lambda )$ (exponentielle) (variable continue),

$\theta =\lambda$ (parametre)

$$L(x_1,x_2,...,x_n,\lambda )={\mathrm{\Pi }}_{i=1}^{n}f(x_i)={\mathrm{\Pi }}_{i=1}^n\lambda e^{-\lambda x_i}$$

$$L(x_1,x_2,...,x_n,\lambda )={\lambda }^n{e}^{-\lambda x_i}$$

$X\sim \mathcal{N}(m,\sigma )$ (variable continue), parametres

$m$ et

$\sigma$

$$\begin{gathered} L(x_1,x_2,...,x_n,m,\sigma )={\mathrm{\Pi }}_{i=1}^{n}f(x-i) \\ \text{or }f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{X-m}{\sigma }{)}^2}\text{ (densite)} \\ L(x_1,x_2,...,x_n,m,\sigma )={\mathrm{\Pi }}_{i=1}^n\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{X-m}{\sigma }{)}^2} \end{gathered}$$

$$L(x_1,x_2,...,x_n,m,\sigma )=\frac{1}{(\sigma \sqrt{2\pi }{)}^n}{e}^{-\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(X_i-m{)}^2}$$

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Exercice 15

Soit

$X$ une v.a. qui suit la loi normale centree, de variance

${\sigma }^2$ inconnue (

$\sigma >0$).

$\mathrm{\forall }n\ge 2$, on dispose d'une n echantillon

$(X_1,X_2,...,X_n)$ des variables independantes et de meme loi que

$X$.

Soit

$S_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}X-i^2$

1. Montrer que
   $S_n$ est un estimateur sans biais de
   ${\sigma }^2$
2. Montrer que
   $S-n$ converge en probabilite vers
   ${\sigma }^2$

Solution

X v.a. normale centree

$X\to \mathcal{N}(0,\sigma )$,

$\sigma$ inconnu.

$(X_1,...,X_n)$ echantillon de

$X$.

$$S_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$$

$\mathrm{\forall }i$,

$X_i$ suit la loi

$\mathcal{N}(0,\sigma )$:

$V(X_i)=E(X_i^2)$ donc

$$\begin{array}{rl}E(S_n)& =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E(X-i^2)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}V(X_i)\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\sigma }^2=\frac{n{\sigma }^2}{n}\\ & =sigm{a}^2\text{ (sans biais)}\end{array}$$

Convergence de

$Sn$?

$$\begin{array}{rl}V(S_n)& =\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}V(X-i^2)=\frac{n}{n^2}V(X^2)\\ & =\frac{V(X^2)}{n}=\frac{c}{n}(C=V(X^2))\\ \Rightarrow V(S_n){\to }_{n\to +\mathrm{\infty }}0\end{array}$$

D'apres l'inegalite de Tchebychev:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\forall }\epsilon ,& P(|S_n-E(S_n)|\ge \epsilon )\le \frac{V(S_n)}{{\epsilon }^2}\\ \Rightarrow & P(|S_n-E(S_n)|\ge \epsilon )\le \frac{c}{n{\epsilon }^2}{\to }_{n\to +\mathrm{\infty }}0\end{array}$$

Donc:

$$S_n{\to }_{n\to +\mathrm{\infty }}^P{\sigma }^2$$

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