ASE2 - Rappels

Loi normale centree reduite

• $E(X)=0$
• $V(X)=1$
• $f(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}$
• $F(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_0^X{e}^{-\frac{t^2}{2}}$

Loi Poisson

• $P(X_n=k)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$ (avec
  $\lambda =\frac{1}{n}$)

$$\begin{gathered} P(X_n=k)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}\text{ (avec }\lambda =\frac{1}{n}\text{)} \\ P(X_n=k)=e^{-\frac{1}{n}}\frac{1}{n^{k}k!},\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N} \end{gathered}$$

• Si
  $k=0$,
  $P(X_n=0)=e^{-\frac{1}{n}}{\to }_{n\to +\mathrm{\infty }}0$
• Si
  $k\ge 1$,
  $P(X_n=k)=\frac{1}{n^{k}k!}{e}^{-\frac{1}{n}}{\to }_{n\to +\mathrm{\infty }}0$ car
  $\frac{1}{n^k}{\to }_{n\to +\mathrm{\infty }}0$

Loi exponentielle

• $E(X)=\frac{1}{\lambda }$
• $V(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$
• Densité de probabilité:

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{ll}f(t)=0& \text{si }t<0\\ f(t)=\frac{1}{E(X)}{e}^{-\frac{t}{E(X)}}& \mathrm{\forall }t\ge 0\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{ll}f(t)=\lambda e^{-\lambda t}& \text{si }t\ge 0\\ f(t)=0& \text{si }t<0\end{array} \end{gathered}$$

• Fonction de répartition:

$$\{\begin{array}{ll}F(t)=1-e^{-\lambda t}& \text{si }t\ge 0\\ F(t)=0& \text{si }t<0\end{array}$$

Loi geometrique

• $E(X)=\frac{1}{p}$
• $V(X)=\frac{1-p}{p^2}$

$(X_n),n>0$ une suite de v.a. geometrique

$G(\frac{1}{n})$ avec

$p=\frac{1}{n}$ parametre.

$$\begin{array}{rl}P(X_n=k)& =(1-p{)}^{k-1}p,\mathrm{\forall }k\ge 1\\ & =(1-\frac{1}{n}{)}^{k-1}\frac{1}{n}\end{array}$$