PRST - Seance 2

Definition

• Soit
  $X$ une v.a (aucune condition prescrite)
• $\varphi$ definie sur
  $\mathbb{R}$ par:
  ${\varphi }_X(t)=E(e^{itx})$
• $|e^{itx}|\le 1$
• $\varphi (t)={\int }_{\omega }{e}^{itx(\omega )}$
• Caracterise la loi d'une v.a, i.ei
  ${\varphi }_X={\varphi }_Y\Rightarrow X$ et
  $Y$ suivent la meme loi

Lois marginales

• Lois des v.a
  $X_i$
• Impossible, sans hypothese supplementaire, de determiner la loi conjointe a partir des lois marginales

Matrice de covariance

• Matrice carre d'ordre
  $d$ definie par
  $m_{ij}=Cov$

Indepenance de 2 variables: cas discret

1. 2 va
   $X$ et
   $Y$ sont dites independantes si, pour tout reel
   $x$ et
   $y$ de leur supports respectifs:
2. $P(X\le x)$
3. 2 variables aleatoires sont independantes si:

Definition

• Un vecteur aleatoire
  $(X_1,...,X_d)$ est dit gaussien si toute combinaison des VA
  $X_k$ est gaussienne
• Un vecteur gaussien est entierement caracterise par
  $m=(E(X_1),...,E(X_d){)}^T$ et sa matrice de variance-covariances
  $\mathrm{\Sigma }$. Sa loi sera notee
  $N(m,\mathrm{\Sigma })$ et nous parlerons de loi normale multidimensionnelle

Proposition

Si

$X$ est un vecteur gaussien et

$A$ est une application lineaire definie sur

${\mathbb{R}}^{+}$

$Y=AX$ est un vecteur gaussien

L'image d'un vecteur gaussien par une application lineaire est un vecteur gaussien.

Comment prouver que la d-ieme composante est gaussienne ?
Soit

$(X_1,X_2,X_3)$ un vecteur gaussien. Pourquoi

$X_3$ suit-elle une loi gaussienne ?

$$\underset{\text{application lineaire}}{\underbrace{\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right)}}\left(\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\\ X_3\end{array}\right)=X_3$$

On considere Leo et Alexandre jouent a un jeu de pile ou face et font bourses communes.

	Leo
pile	10 €
face	-10 €

	Alexandre	Proba
Image	10 €	1/2
SCIA	5 €	1/10
GISTRE	-100 €	4/10

Ils vont pas en cours les SCIA - Alexandre

On a

$(X;Y)$ avec

$X$ les gains de Leo et

$Y$ les gains de Alexandre. Les deux VA sont independantes

$$\begin{gathered} P(X=1-;Y=10)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \\ P(X=-10;Y=100)=\frac{1}{2}\times \frac{4}{10}=0,5 \\ (E(X);E(Y))=(0;-34,5) \end{gathered}$$

Proposition

Soit

$X=(X_1,...,X_d)$ un vecteur gaussien.
Les variables aleatoires

$X_1,...X_d$ sont independantes si et seulement si la matrice

$\mathrm{\Sigma }$ est diagonale.

$Cov(UV)=E(UV)-E(U)\times E(V)$

$$\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cc}Var(U)& Cov(U,V)\\ Cov(U,V)& Var(U)\end{array}\right)$$

Convergence presque sure (p.s.)

1. $(X_i)$ suite de variables aleatoires sur le meme espace
   $\mathrm{\Omega }$ et
   $X$ une variable aleatoire egalement definie
   $\mathrm{\Omega }$
2. convergence ponctuelle
3. implique tous les autres
   
   $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{X}_n(\omega )=Y(\omega )$ pour tous
   $\omega \in \mathrm{\Omega }$

Convergence en probabilite

1. Meme cadre que precedemment
2. $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}P(|X_n-X|\ge \epsilon )=0$

Convergence en loi

1. Meme cadre que precedemment
2. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{F}_{X_n}=F_X$

Theoreme de Paul Levy

1. Si la suite de v.a.
   $(X_n)$ converge en loi vers une v.a.
   $X$ alors
2. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\pi }_{X_n}={\varphi }_X(t)$

Convergence

$L^2$

1. aussi appelee convergence en moyenne quadratique
2. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}E(|X_n-X{|}^2)=0$
3. n'a de sens que pour les VA telles que
   $E(X^2)<+\mathrm{\infty }$
4. implique la convergence en probabilite

Convergence

$L^1$

1. aussi appelee convergence en moyenne
2. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}E(|X_n-X|)=0$

Loi forte des grands nombres

Soit

$(X_i)$ une suite de VA i.i.d. (independant et suivat la meme loi)

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\overline{X_n}=E(X)$$

au sens de la convergence p.s. ou

$\overline{X_n}:=\frac{X_1+...+X_n}{n}$

Cas unidimensionnel

1. Soit
   $(X_i)$ une suite v.a. i.i.d.
2. Noton
   $m:=E(X_i)$ et
   ${\sigma }^2=V(X_i)$

$X_1$ et

$X_2$ deux v.a. independantes.

$${\varphi }_{X_1+X_2}(t)={\varphi }_{X_1}(t)+{\varphi }_{X_2}(t)$$

Preuve

$$\begin{array}{rl}{\varphi }_{X_1+X_2}(t)& =E(e^{it(X_1+X_2)})\\ & =E(e^{it{X}_1})E(e^{it{X}_2})\end{array}$$
Car les v.a. sont independantes

$${\varphi }_{X_1+X_2}=$$