CAMA : Dérivées partielles

Les fonctions

• Une fonction
  $f$ est dite scalaire lorsque son espace d'arrivée est
  $\mathbb{R}$.
• Une fonction
  $f$ est dite vectorielle lorsque son espace d'arivée est
  ${\mathbb{R}}^n$ avec
  $n>1$.

Les derivees

Soit

$f(x,y)$ une fonction scalaire:

• sa derivée partielle première en
  $x$ :
  $\frac{\partial f}{\partial x}={\partial }_{x}f$
• sa dérivée partielle seconde en
  $y$ :
  $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}={\partial }_{yy}f$
• sa différentielle totale
  $df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)dx+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dy$
• $\frac{\partial (f\circ g)}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial g}\frac{\partial f}{\partial x}$

Nabla

$\mathrm{\nabla }$

L'opérateur nabla pour une fonction qui part d'un espace a 2 dimensions est

$$\mathrm{\nabla }=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right)$$

• Pour une fonction scalaire
  $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ :
  $$\begin{gathered} Gradiant:Grad(f)=\mathrm{\nabla }f=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right) \\ Laplacien:\mathrm{△}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}avec\mathrm{\nabla }.\mathrm{\nabla }=\mathrm{△} \end{gathered}$$
• Pour une fonction vectorielle
  $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ :
  $$\begin{gathered} Divergence:Div(f)=\mathrm{\nabla }.f=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y} \\ Laplacien:\mathrm{△}f=\left(\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2{f}_x}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{f}_x}{\partial y^2}\\ \frac{{\partial }^2{f}_y}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{f}_y}{\partial y^2}\end{array}\right) \end{gathered}$$

Développement limité

Le D.L. d'une fonction

$f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ en

$\mathbf{u}=(u_x,u_y)$ est:

$$\begin{gathered} f(\mathbf{u}\mathbf{+}\delta \mathbf{u})=f(u)+<\mathrm{\nabla }f(u),\delta u>+\frac{1}{2!}<{\mathrm{\nabla }}^{2}f(u)\delta u,\delta u>+o(\Vert \delta u{\Vert }^2) \\ =f(u)+{\partial }_{x}f(u)\delta u_x+{\partial }_{y}f(u)\delta u_y+{\partial }_{xx}f\frac{\delta u_x^2}{2}+{\partial }_{xy}f\delta u_x\delta u_y+{\partial }_{yy}f\frac{\delta u_y^2}{2}+o(\Vert \delta u{\Vert }^2) \end{gathered}$$
Avec

${\mathrm{\nabla }}^{2}f$ la matrice hessienne de f et

$<u,v>$ une autre notation du produit scalaire.