ASE3: Covariance

Rappels

$$\rho (X,Y)=\frac{Cov(X,Y)}{{\sigma }_x{\sigma }_y}$$
avec:

• ${\sigma }_X=\sqrt{V(X)}$
• ${\sigma }_Y=\sqrt{V(Y)}$

$$\begin{gathered} Cov(X,Y)=\underset{\text{produit scalaire}}{\underbrace{<X-E(X),Y-E(Y)>}} \\ {\sigma }_X=\sqrt{V(X)}=\Vert X-E(X)\Vert \\ \rho (X,Y)=\frac{<X-E(X),Y-E(Y)>}{\Vert X-E(X)\Vert \Vert Y-E(Y)\Vert } \end{gathered}$$

$$\cos (\theta )=\frac{<u,v>}{\Vert u\Vert \Vert v\Vert }$$

$$\begin{gathered} \rho (X,Y)=\cos (\theta ) \\ |\rho |\le 1 \end{gathered}$$

Proposition

$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)$$

:::

Demonstration

$$\begin{array}{rl}V(X+Y)& =E((X+Y{)}^2)-(\underset{E(X)+E(Y)}{\underbrace{E(X+Y)}}{)}^2\\ & =E(X^2+2XY+Y^2)-E^2(X)-2E(X)E(Y)-E^2(Y)\\ & =E(X^2)+2E(XY)+E(Y^2)-E^2(X)-2E(X)E(Y)-E^2(Y)\\ & =V(X)+V(Y)+2(E(XY)-E(X)E(Y))\\ & =\text{color}redV(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)\end{array}$$

Remarque: Si

$X$ et

$Y$ sont independantes

$\Rightarrow$

$Cov(X,Y)=0\Rightarrow \text{color}redV(X+Y)=V(X)+V(Y)$