PRST - Seance 5

Il y a 2 types d'estimation:

1. estimation ponctuelle (les estimateurs)
2. estimation par intervalle

Deux resultats probabilistes:

• loi forte des grand nombre
• theoreme central limite

Intervalle de confiance pour la moyenne

$m$

Point de depart

• $(X_1,...,X_n)$ echantillon i.i.d de taille
  $n$
• $(x_1,...,x_n)$ réalisations de cet échantillon
• ${\overline{x}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$ estimation ponctuelle de la moyenne (espérance)
  $m$
• $S_n^2=\frac{1}{1-n}\sum _{i=1}^n(X_i{\overline{X}}_n)$ estimation ponctuelle de la variance
  ${\sigma }^2$

Dans la majorite des cas, on ne connait pas la loi de probabilite d'un experience aleatoire

Dans le modele de Bernoulli avec un echantillon i.i.d de la

$\mathcal{B}$, un intervalle de confiance au niveau

$0,95$ est:

$$[f-\frac{1}{\sqrt{n}};f+\frac{1}{\sqrt{n}}]$$

C'est un encadrement de la valeur reelle de

$p$

Theroeme
La proportion

$p$ appartient a cet intervalle, pour

$95\mathrm{\%}$ des echantillons, sous les conditions:

• $n\ge 30$
• $nf\ge 5$
• $n(1-f)\ge 5$

Deux cas:

1. $n$ quelconque: v.a. normales
2. $n$ grand et utilisation du TCL

Theoreme central limite

Soit

$(X_i)$ une suite de v.a. i.i.d telle que

$E(X_1^2)\le +\mathrm{\infty }$. Noton

$m:=E(X_i)$ et

${\theta }^2=V(X_i)$

$$\frac{\sqrt{n}({\overline{X}}_n-m)}{\theta }$$

converge en loi vers une loi normale centrée réduite

Loi normale centree reduite

1. $\mathbb{P}(X\le 0)=\text{mathbbP}(X\ge 0)=0,5$
2. $\mathbb{P}(X\le a)=\mathbb{P}(X\ge a)$
3. $\mathbb{P}(-1,96\le X\le 1,96)\simeq 0,95$ et
   $\mathbb{P}(-2,58\le X\le 2,58)\simeq 0,99$

$$m\in [{\overline{X}}_n-1,96\frac{\sigma }{\sqrt{n}};{\overline{X}}_n+1,96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}]$$

au niveau de confiance

$0,95$

Cas gaussien

$X_1$ suit une loi normal,

$\mathrm{\forall }n\ge 1$,

$\frac{\sqrt{n}({\overline{X}}_n-m)}{\sigma }$ suit une loi normale centree reduite et

$$\mathbb{P}(-1,96\le \frac{\sqrt{n}({\overline{X}}_n-m)}{\sigma }\le 1,96)\simeq 0,95$$

Cas general

$$m\in [{\overline{X}}_n-1,96\frac{\sigma }{\sqrt{n}};{\overline{X}}_n+1,96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}]$$

au niveau de confiance

$0,95$

La forme generale de l'intervalle de confiance asymptotique general pour

$1-\alpha$ pour la moyenne

$m$ est :

$$[{\overline{X}}_n-z_{1-\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}};{\overline{X}}_n+z_{1-\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}]$$
Avec:

• $z_{1-\frac{\alpha }{2}}$: fractile d'ordre
  $1-\frac{\alpha }{2}$ de la loi
  $\mathcal{N}(0,1)$

Cas particulier du modele de Bernoulli

• Intervalle de confiance pour la proportion d'un echantillon dans une population donnee
• variance inconnue
• approximation pour la loi normale possible grace au theoreme suivant:

Theoreme de Moivre-Laplace

$X_n$ v.a

$\sim \mathcal{B}(n,p)$. Soit

$q:=1-p$

$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }x\in \mathbb{R} \\ \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\mathbb{P}(\frac{X-n-np}{\sqrt{npq}}\le x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt=F(X) \end{gathered}$$

Intervalle de confiance de la proportion

$p$

L'intervalle de confiance asymptotique au niveau

$1-\alpha$ pour la proportion

$p$ est:

$$[\hat{p}-z_{1-\frac{\alpha }{2}}\frac{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})}}{\sqrt{n}}]$$

Loi du Khi-deux

$(X_1,...,X_n)$

$n$ v.a. independantes normales centrees reduite.

La v.a.

$U_n:=\sum _{i=1}^n{x}_i^2$ suit une loi du Khi-deix a

$n$ degres de liberte notee

${\mathcal{X}}^2(n)$

1. $f_{U_n}=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}}{e}^{-\frac{x}{2}}{x}^{\frac{x}{2}-1}$ pour
   $x\ge 0$
2. $E(U_n)=n$
3. $V(U_n)=2n$
4. ${\varphi }_{U_n}(t)=\frac{1}{(1-2it{)}^{\frac{n}{2}}}$

Theoreme

$X$ et

$Y$ deux v.a. independantes suivant respectivement

${\mathcal{X}}^2(m)$ et

${\mathcal{X}}^2(n)$ alors la v.a

$X+Y$ suit une loi

${\mathcal{X}}^2(m+n)$

Loi de Student

$X$ et

$Y$ deux v.a aleatoires independantes suivant les lois

$\mathcal{N}(0,1)$ et

${\mathcal{X}}^2(n)$.

$$T_n=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}$$

suit une loi de Student

${\mathcal{T}}_n$ a

$n$ degre de liberte

Propriete

• $E(T_n)=0$ (symetrie)
• $V(T_n)=\frac{n}{n-2}$ pour
  $n>2$

Theoreme

$T_n$ converge en loi vers

$\mathcal{N}(0,1)$ lorsque

$n$ tend vers

$+\mathrm{\infty }$.

Cas gaussien

• $X_1$ suit une loi normale
• $Tn:=\frac{\sqrt{n}({\overline{X}}_n-m)}{\sqrt{S_n^2}}$ suit une loi de Student a
  $n-1$ degrés de liberté.

L'intervall de confiance au niveau

$1-\alpha$ pour la moyenne

$m$ est:

$$[{\overline{X}}_n-t_{1-\frac{\alpha }{2}}\frac{\sqrt{S_n^2}}{\sqrt{n}};{\overline{X}}_n+t_{1-\frac{\alpha }{2}}\frac{\sqrt{S_n^2}}{\sqrt{n}}]$$

Avec:

• $t_{1-\frac{\alpha }{2}}$ fractile d'ordre
  $1-\frac{\alpha }{2}$ de la loi de Student
  $n-1$ degrés de liberté.