PRST - Feuille 2

L'ordre des exos dans le cours est 6

$\to$ 4

$\to$ 15

$\to$ 19

$\to$ 18

Exercice 4

Montrer que la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant
une loi de Bernoulli de paramètre p suit une loi binomiale de paramètres n
et p.

Solution

$1^{ere}$ etape: Fonction caracteristique de

$\mathcal{B}(n,p)$, Pour

$k\in \{0,1,2,...,n\}$

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$$

$$\begin{array}{rl}E(e^{itX})& =\sum _{k=0}^n{e}^{itk}P(X=k)\\ & =\sum _{k=0}^n{e}^{itk}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}\\ & =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k{b}^{n-k}=(p{e}^{it}+n-p)\end{array}$$

$2^e$ etape: Soient

$X_1,...,X_n$

$n$ v.a. independantes de loi

$\mathcal{B}(p)$

$$\begin{array}{rl}{\varphi }_{X_1+...+X_n}(t)& =({\varphi }_{X_1}(t){)}^1\\ {\varphi }_{X_1+...+X_n}^{\prime }(t)& =(p{e}^{it}+1-p{)}^n\end{array}$$

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Exercice 6

Exercice qui risque d'etre au partiel !

Soient deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des
lois exponentielles de paramètres respectifs

$\lambda 1$ et

$\lambda 2$.
Montrer que la variable aléatoire

$min(X1;X2)$ suit une loi exponentielle de
paramètre

$\lambda 1+\lambda 2$.

Solution

On cherche:

$$\begin{array}{rl}Y& =min(X1,X2)\\ R_Y(x)& =e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)x}\end{array}$$

On pose

$Y=min(X_1,X_2)$. Par definition, pour

$x>0$:

$$\begin{array}{rl}{R}_Y(x)& =P(Y>x)\\ & =P(min(X_1,X_2)>x)\end{array}$$

Point de logique: si le minimum est plus grand que

$x$ alors les 2 sont plus grnads que

$x$.

$$R_Y(x)=P(\{X_1>x\}\cap \{X_2>x\})$$

$X_1$ et

$X_2$ sont independantes donc:

$$\begin{array}{rl}{R}_Y(x)& =P(X_1>X_2)P(X_2>x)=e^{-{\lambda }_{1}x}\times e^{-{\lambda }_{1}x}\\ & =e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)x}\end{array}$$

Conclusion:

$Y\sim \xi ({\lambda }_1+{\lambda }_2)$

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Exercice 15

Soient

$X$ et

$Y$ deux variables aléatoires indépendantes et suivant toutes
deux une loi normale centrée réduite.
Considérons les variables aléatoires

$U=X+Y$ et

$V=X-Y$

Solution

$$\left(\begin{array}{c}U\\ V\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)$$

On pose:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$

Toute combinaison lineaire de

$U$ et

$V$ es une combinaison de

$X$ et

$Y$, comme ce sont des vecteurs gaussien alors

$(U,V{)}^T$ est un vecteur gaussien.

$$\begin{array}{rl}E(U)& =E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0\\ E(V)& =E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0\\ E(UV)& =E(X^2-Y^2)=E(X^2)-E(Y^2)\end{array}$$

$X$ et

$Y$ sont centrees.

$$\begin{array}{rl}VM(X)& =E(X^2)-\underset{=0}{\underbrace{E(X{)}^2}}\\ E(X^2)& =E(Y^2)=1\\ E(UV)& =1-1=0\\ Cov(U,V)& =0-0=0\end{array}$$

Exercice 18

Soit

$X$ une variable aléatoire discrète de support

${\mathbb{N}}^{\ast }$ telle que, pour tout entier

$k\ge 1$,

$$P(X=k)=\frac{\alpha }{k!}$$
pour un certain réel

$\alpha$.

1. Déterminer le réel
   $\alpha$
2. Calculer
   $E(X)$ puis
   $E(X(X-1))$. En déduire
   $V(X)$.

Solution

Par definition:

$$\sum _{k\ge 1}P(X=k)=1$$

$$\sum _{k\ge 1}\frac{\alpha }{k!}=1\Rightarrow \alpha \sum _{k\ge 1}\frac{1}{k!}$$

Developpement limite de

$e^z$,

$z\in \mathbb{R}$:

$$e^z=\sum _{k\ge 0}\frac{z^k}{k}=1$$

$$\begin{array}{rl}\sum _{k\ge 1}\frac{1}{k!}& =\sum _{k\ge 0}\frac{1}{k!}=e-1\text{ developpement limite.}\\ \sum _{k\ge 1}P(X=k)& =\alpha (e-1)\\ \text{donc }\alpha (e-1)& =1\iff \alpha =\frac{1}{e-1}\end{array}$$

Notons que

$\alpha$ est positif.

$$\begin{array}{rl}E(X)& =\sum _{k\ge 1}{X}_{\alpha }P(X=k)=\sum _{k\ge 1}\alpha \frac{k}{k!}=\alpha \sum _{k\ge 1}\frac{1}{(k-1)!}\\ & =\alpha \sum _{j\ge 0}\frac{1}{j!}=\alpha e=\frac{e}{e-1}\end{array}$$

Calculons

$E(X(X-1))$:

$$\begin{array}{rl}E(X(X-1))& =\sum _{k\ge 1}k(k-1)P(X=k)\\ & =\sum _{k\ge 1}k(k-1)\times \frac{\alpha }{k!}=\sum _{k\ge 2}\frac{\alpha }{(k-2)!}\\ & =\sum _{j\ge 0}\frac{\alpha }{j!}=\alpha e=\frac{e}{e-1}\\ E(X(X-1))+E(X)& =E(X^2)\text{ donc }E(X^2)=2\frac{e}{e-1}\\ V(X)& =2\frac{e}{e-1}-(\frac{e}{e-1}{)}^2\\ & =\frac{2e(e-1)e}{(e-1{)}^2}=\frac{e^2-2e}{(e-1{)}^2}\end{array}$$

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Exercice 19

Exercice qui risque d'etre au partiel !

Soit

$(U_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur l’intervalle

$[0;1]$.
On pose, pour tout entier

$n\ge 1$,

$M_n:=max(U_1,...,U_n)$ et

$X_n=n(1-M_n)$.

1. Soit
   $n\ge 1$. Déterminer la fonction de répartition de
   $M_n$ puis celle de
   $Xn$.
2. Montrer que la suite
   $(Xn)$ converge en loi.

Mael a 5 cousins bretons qui viennent du Morbihand…

Solution

1. Soit
   $x$ un reel.

$$\begin{array}{rl}P(M_n\le x)& =P(max(U_1,...,U_n)\le x)=P(\{U_1\le x\}\cap ...\cap \{U_n\le x\})\\ & ={\mathrm{\Pi }}_{k=1}^{n}P(\{U_k\le x\})=(P(U_1\le x){)}^n\\ & =(F(x){)}^n\end{array}$$

ou F designe la fonction de repartition.

Fonction de repartition de la loi

$U([0;1])$:

$$\begin{array}{rl}F(x)& =\{\begin{array}{ll}0& \text{si }x<0\\ x& \text{si }x\in [0;1]\\ 1& \text{si }x>1\end{array}\\ {\int }_0^{x}1dt& =x\\ F_n(x)=P(M_n\le x)& =\{\begin{array}{ll}0& \text{si }x<0\\ x& \text{si }x\in [0;1]\\ 1& \text{si }x>1\end{array}\\ G_n(x)=P(X_n\le x)& =1-P(X_n>x)\\ & =1-P(n(1-M_n)>x)\\ & =1-P(1-M_n>\frac{x}{n})=1-P(-M_n>\frac{x}{n}-1)\\ & =1-P(M_n<1-\frac{x}{n})\\ & =\{\begin{array}{ll}1-0& \text{si }1-\frac{x}{n}<0\\ 1-(1-\frac{x}{n})& \text{si }0<1-\frac{x}{n}<1\\ 1-1& \text{si }1-\frac{x}{n}>1\end{array}\\ & =\{\begin{array}{ll}0& \text{si }x<0\\ 1-(1-\frac{x}{n}{)}^n& \text{si }x\in [0;n]\\ 1& \text{si }x>1\end{array}\end{array}$$

2. Quelle propriete du cours doit-on utiliser ?

Remarquons que:

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{G}_n(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{ si }x<0\\ 1-e^{-x}\end{array}$$

Il s'agit de la fonction de repartition de la loi

$\xi (1)$

Donc

$X_n{\Rightarrow }^{\text{loi}}\xi (1)$

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{z}{n}{)}^n=e^z$ pour tout reel

$z$.