ASE3: TD1

Exercice 1

Soit

$X$ et

$Y$ deux v.a. telles que

$Y=X^2$.
La loi de

$X$ est donnee par

$X_i$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$P(X=X_i)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$

1. Determiner la loi du couple
   $(X,Y)$ (Loi conjointe)
2. Determiner la loi de
   $Y$
3. $X$ et
   $Y$ sont-elles independantes ?
4. Calculer
   $Cov(X,Y)$

Solution

$Y=X^2$,

$Y(\mathrm{\Omega })=\{0,1,4\}$

$X/Y$	$0$	$1$	$4$	Loi de $X$
$-2$	$0$	$0$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{4}$
$-1$	$0$	$\frac{1}{4}$	$0$	$\frac{1}{6}$
$0$	$\frac{1}{6}$	$0$	$0$	$\frac{1}{6}$
$1$	$0$	$\frac{1}{4}$	$0$	$\frac{1}{4}$
$2$	$0$	$0$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$
Loi de $Y$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$1$

• $P((X=i)\cap (Y=j))=0$ si
  $j\ne i^2$
• Avec
  $j=i^2$,
  $P((X=i)\cap (Y=i^2))=P(X=i)$
  • car
    $$\underset{A}{\underbrace{(X=i)}}\subset \underset{B}{\underbrace{(Y=i^2)}}$$
  • $A\cap B=A$

Loi de

$Y$ (Loi marginale)

D'apres le tableau

$P(Y=0)=\frac{1}{6}$,

$P(Y=1)=\frac{1}{2}$ et

$P(Y=4)=\frac{1}{3}$

Independance?

$$P((X=i)\cap (Y=j))=P(X=i)P(Y=j)\mathrm{\forall }(i,j)$$

$$\begin{gathered} P((X=-2)\cap (Y=4))=\frac{1}{6} \\ P(X=-2)P(Y=4)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{18}\ne \frac{1}{6} \end{gathered}$$

$X$ et

$Y$ ne sont pas indendantes

$$\begin{gathered} Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) \\ E(XY)=\sum _{i,j}ijP((X=i)\cap (Y=j)) \\ \text{color}redE(XY)=\sum _{i,j}ij{P}_{i,j} \end{gathered}$$

$X/Y$	$0$	$1$	$4$	Loi de $X$
$-2$	$0$ ( $\times 0$)	$0$ ( $\times -2$)	$\frac{1}{6}$ ( $\times -8$)	$\frac{1}{4}$
$-1$	$0$ ( $\times 0$)	$\frac{1}{4}$ ( $\times -1$)	$0$ ( $\times 0$)	$\frac{1}{6}$
$0$	$\frac{1}{6}$ ( $\times 0$)	$0$ ( $\times 0$)	$0$ ( $\times 0$)	$\frac{1}{6}$
$1$	$0$ ( $\times 0$)	$\frac{1}{4}$ ( $\times 1$)	$0$ ( $\times 4$)	$\frac{1}{4}$
$2$	$0$ ( $\times 0$)	$0$ ( $\times 2$)	$\frac{1}{4}$ ( $\times 8$)	$\frac{1}{6}$
Loi de $Y$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$1$

$$E(X,Y)=-\frac{8}{6}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{8}{6}=0$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}E(X)& =\sum _i{x}_{i}P(X=x_i)\\ & =-\frac{2}{6}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{2}{6}=0\end{array} \\ \Rightarrow \text{color}greenCov(X,Y)=0 \end{gathered}$$

Exerice 2

$a\in {\mathbb{R}}_{+}^{\text{*}}$

$X,Y$ un couple de v.a. a valeurs dans

$\mathbb{N}$

$$\underset{\text{Loi conjointe}}{\underbrace{P((X=k)\cap (Y=j))}}=\frac{a}{2^{k+1}(j!)}\mathrm{\forall }(k,j)\in \mathbb{N}$$

1. Determiner
   $a$
2. $X$ et
   $Y$ sont-elles independantes
3. $Cov(X,Y)$

Solution

$$\begin{gathered} \sum _{k,j}{P}_{k,j}=1 \\ \sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{j=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{a}{2^{k+1}(j!)}=1 \\ a\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{j=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{j!}=1 \end{gathered}$$

Rappel

$$\begin{gathered} e^X=\sum _{j=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^j}{j!} \\ X=1\text{color}rede=\sum _{j=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{j!} \end{gathered}$$

$$\text{color}redae\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{k+1}}=1$$

Rappel (Serie geometriques)

$$\text{color}red\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{X}^n=\frac{1}{1-X}|X|<1$$

$$\begin{gathered} ae\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2}{)}^k=1 \\ \begin{array}{rl}ae\frac{1}{2}\frac{1}{\frac{1}{2}}=1& \Rightarrow ae=1\\ & \Rightarrow \text{color}greena=\frac{1}{e}\end{array} \end{gathered}$$

Independance ?

$$P((X=k)\cap (Y=j))=P(X=k)P(Y=j)$$

Loi marginale de

$X$

$$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}P(X=k)=\sum _{j=0}^{+\mathrm{\infty }}{P}_{k,j}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}P(X=k)& =\sum _{j=0}\frac{a}{2^{k+1}(j!)}=\frac{a}{2^{k+1}}\sum _{j=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{j!}\\ & =\frac{ae}{2^{k+1}}=\frac{1}{2^{k+1}}\end{array} \\ \text{color}greenP(X=k)=\frac{1}{2^{k+1}}\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N} \end{gathered}$$

Loi marginale de

$Y$

$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }j\in \mathbb{N} \\ \begin{array}{rl}P(Y=j)& =\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{a}{2^{k+1}(j!)}\\ & =\frac{a}{j!}\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2}{)}^k=\frac{a}{j!2}2=\text{color}green\frac{1}{ej!}\end{array} \end{gathered}$$

La loi de

$Y$:

$$\mathrm{\forall }j\in \mathbb{N}\text{color}greenP(Y=j)=\frac{1}{ej!}$$

Independance ?

$$\begin{array}{r}P(X=1)P(Y=j)=\frac{1}{2^{k+1}}\times \frac{1}{ej!}\\ P((X=k)\cap (Y=j))=\frac{1}{e{2}^{k+1}j!}\end{array}\}=\text{ donc OK}$$

$X$ et

$Y$ etant independantes donc

$Cov(X,Y)=0$

:::

Exercice 3

On considere

$n$ boites numerotees de

$1$ a

$n$.
La boite

$n^{o}k$ contient

$k$ boules numerotees de

$1$ a

$k$. On choisi au hasard une boite puis une boule dans cette boite.
Soit:

• $X$ v.a.: numero de la boite
• $Y$ v.a.: numero de la boule

1. Determiner la loi conjointe de
   $(X,Y)$
2. Calculer
   $P(X=Y)$
3. Determiner la loi de
   $Y$ et
   $E(Y)$

Loi conjointe

$$\begin{gathered} X(\mathrm{\Omega })=[[1,n]] \\ Y(\mathrm{\Omega })=[[1,n]] \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{r}\mathrm{\forall }i\in X(\mathrm{\Omega })\\ \mathrm{\forall }j\in Y(\mathrm{\Omega })\end{array}\begin{array}{rl}\}P((X=i)\cap (Y=j))& =P(\frac{Y=j}{X=j})P(X=i)\text{Loi conditionnelle}\\ & =\frac{1}{i}\times \frac{1}{n}\text{si }j\le i\end{array} \\ \{\begin{array}{ll}P((X=i)\cap (Y=j))=\frac{1}{in}& \text{si }j\le i\\ P((X=i)\cap (Y=j))=0& \text{si }j>i\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underset{\text{evenement}}{\underbrace{(X=Y)}}={\cup }_{i=1}^n((X=i)\cap (Y=i)) \\ \begin{array}{rl}P(X=Y)& =\sum _{i=1}^{n}P((X=i)\cap (Y=i))\\ & =\sum _{i=1}^n\frac{1}{in}=\text{color}green\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}\end{array} \end{gathered}$$

Loi marginale de

$Y$

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\forall }j\in [[1,n]]P(Y=j)& =\sum _{i=1}^{n}P((X=i)\cap (Y=j))\\ & =\sum _{i=j}^n\frac{1}{in}=\text{color}red\frac{1}{n}\sum _{i=j}^n\frac{1}{i}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}E(Y)& =\sum _{j=1}^{n}jP(Y=j)\\ & =\sum _{j=1}\frac{1}{n}\sum _{i=j}^n\frac{1}{i}\\ & =\frac{1}{n}\sum _{j=1}^{n}j\sum _{i=j}^n\frac{1}{i}\end{array}$$