# ASE3: TD1

# Exercice 1
Soit $X$ et $Y$ deux v.a. telles que $Y=X^2$.
La loi de $X$ est donnee par

|$X_i$|$-2$|$-1$|$0$|$1$|$2$|
|-----|----|----|---|---|---|
|$P(X=X_i)$|$\frac{1}{6}$|$\frac{1}{4}$|$\frac{1}{6}$|$\frac{1}{4}$|$\frac{1}{6}$|

1. Determiner la loi du couple $(X,Y)$ (Loi conjointe)
2. Determiner la loi de $Y$
3. $X$ et $Y$ sont-elles independantes ?
4. Calculer $Cov(X,Y)$

:::spoiler Solution

$Y=X^2$, $Y(\Omega)=\{0,1,4\}$

1.

|$X/Y$|$0$|$1$|$4$|Loi de $X$|
|-----|-|-|-|-|
|$-2$ |$0$|$0$|$\frac{1}{6}$|$\frac{1}{4}$|
|$-1$ |$0$|$\frac{1}{4}$|$0$|$\frac{1}{6}$|
|$0$ |$\frac{1}{6}$|$0$|$0$|$\frac{1}{6}$|
|$1$ |$0$|$\frac{1}{4}$|$0$|$\frac{1}{4}$|
|$2$ |$0$|$0$|$\frac{1}{4}$|$\frac{1}{6}$|
|Loi de $Y$|$\frac{1}{6}$|$\frac{1}{2}$|$\frac{1}{3}$|$1$|

- $P((X=i)\cap(Y=j)) = 0$ si $j\neq i^2$
- Avec $j=i^2$, $P((X=i)\cap(Y=i^2))=P(X=i)$
- car $$\underbrace{(X=i)}_{A}\subset\underbrace{(Y=i^2)}_{B}$$
- $A\cap B=A$

2.

**Loi de $Y$** (Loi marginale)

D'apres le tableau $P(Y=0)=\frac{1}{6}$, $P(Y=1)=\frac{1}{2}$ et $P(Y=4)=\frac{1}{3}$

3.

**Independance?**

$$
P((X=i)\cap(Y=j))=P(X=i)P(Y=j)\quad\forall (i,j)
$$

$$
P((X=-2)\cap(Y=4))=\frac{1}{6}\\
P(X=-2)P(Y=4)=\frac{1}{6}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{18}\neq\frac{1}{6}
$$

$X$ et $Y$ ne sont pas indendantes

4.

$$
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\\
E(XY)=\sum_{i,j}ijP((X=i)\cap(Y=j))\\
\color{red}{E(XY)=\sum_{i,j}ijP_{i,j}}
$$

|$X/Y$|$0$|$1$|$4$|Loi de $X$|
|-----|-|-|-|-|
|$-2$ |$0$ ($\times 0$)|$0$ ($\times -2$)|$\frac{1}{6}$ ($\times -8$)|$\frac{1}{4}$|
|$-1$ |$0$ ($\times 0$)|$\frac{1}{4}$ ($\times -1$)|$0$ ($\times 0$)|$\frac{1}{6}$|
|$0$ |$\frac{1}{6}$ ($\times 0$)|$0$ ($\times 0$)|$0$ ($\times 0$)|$\frac{1}{6}$|
|$1$ |$0$ ($\times 0$)|$\frac{1}{4}$ ($\times 1$)|$0$ ($\times 4$)|$\frac{1}{4}$ |
|$2$ |$0$ ($\times 0$)|$0$ ($\times 2$)|$\frac{1}{4}$ ($\times 8$)|$\frac{1}{6}$|
|Loi de $Y$|$\frac{1}{6}$|$\frac{1}{2}$|$\frac{1}{3}$|$1$|

$$
E(X,Y)=-\frac{8}{6}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{8}{6}=0
$$
$$
\begin{aligned}
E(X) &=\sum_ix_iP(X=x_i)\\
&=-\frac{2}{6}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{2}{6}=0
\end{aligned}\\
\Rightarrow \color{green}{Cov(X,Y)=0}
$$
:::

# Exerice 2
$a\in\mathbb R^{\*}_+$
$X,Y$ un couple de v.a. a valeurs dans $\mathbb N$

$$
\underbrace{P((X=k)\cap(Y=j))}_{\text{Loi conjointe}}=\frac{a}{2^{k+1}(j!)}\quad\forall (k,j)\in\mathbb N
$$

1. Determiner $a$
2. $X$ et $Y$ sont-elles independantes
3. $Cov(X,Y)$

:::spoiler Solution

1.

$$
\sum_{k,j}P_{k,j}=1\\
\sum_{k=0}^{+\infty}\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{a}{2^{k+1}(j!)}=1\\
a\sum_{k=0}^{+\infty}\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{1}{j!}=1
$$

:::info
**Rappel**

$$
e^X=\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{x^j}{j!}\\
X=1\quad\color{red}{e=\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{1}{j!}}\\
$$
:::

$$
\color{red}{ae\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{2^{k+1}}=1}
$$

:::info
**Rappel** (Serie geometriques)

$$
\color{red}{\sum_{k=0}^{+\infty}X^n=\frac{1}{1-X}\quad\vert X\vert\lt1}
$$
:::

$$
ae\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{+\infty}\biggr(\frac{1}{2}\biggr)^k=1\\
\begin{aligned}
ae\frac{1}{2}\frac{1}{\frac{1}{2}}=1&\Rightarrow ae=1\\
&\Rightarrow \color{green}{a=\frac{1}{e}}
\end{aligned}
$$

2.

**Independance ?**

$$
P((X=k)\cap(Y=j))=P(X=k)P(Y=j)
$$

**Loi marginale de $X$**

$$
\forall k\in\mathbb N\quad P(X=k)=\sum_{j=0}^{+\infty}P_{k,j}
$$
$$
\begin{aligned}
P(X=k)&=\sum_{j=0}\frac{a}{2^{k+1}(j!)}=\frac{a}{2^{k+1}}\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{1}{j!}\\
&=\frac{ae}{2^{k+1}}=\frac{1}{2^{k+1}}\\
\end{aligned}\\
\color{green}{P(X=k)=\frac{1}{2^{k+1}}\quad\forall k\in\mathbb N}
$$

**Loi marginale de $Y$**

$$
\forall j\in\mathbb N\quad\\
\begin{aligned}
P(Y=j)&=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{a}{2^{k+1}(j!)}\\
&=\frac{a}{j!}\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{+\infty}\biggr(\frac{1}{2}\biggr)^k=\frac{a}{j!2}2=\color{green}{\frac{1}{ej!}}
\end{aligned}
$$

La loi de $Y$:

$$
\forall j\in\mathbb N\quad \color{green}{P(Y=j)=\frac{1}{ej!}}
$$

**Independance ?**

$$
\begin{aligned}
P(X=1)P(Y=j)=\frac{1}{2^{k+1}}\times\frac{1}{ej!}\\
P((X=k)\cap(Y=j))=\frac{1}{e2^{k+1}j!}
\end{aligned}\Biggr\}=\text{ donc OK}
$$

3.

$X$ et $Y$ etant independantes donc $Cov(X,Y)=0$

:::

# Exercice 3
On considere $n$ boites numerotees de $1$ a $n$.
La boite $n^{o}k$ contient $k$ boules numerotees de $1$ a $k$. On choisi au hasard une boite puis une boule dans cette boite.
Soit:
- $X$ v.a.: numero de la boite
- $Y$ v.a.: numero de la boule

1. Determiner la loi conjointe de $(X,Y)$
2. Calculer $P(X=Y)$
3. Determiner la loi de $Y$ et $E(Y)$

:::info Solution

1.

**Loi conjointe**

$$
X(\Omega) = [[1,n]]\\
Y(\Omega) = [[1,n]]
$$

$$
\begin{aligned}
\forall i\in X(\Omega)\\
\forall j\in Y(\Omega)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\Biggr\} P((X=i)\cap(Y=j))&=P(\frac{Y=j}{X=j})P(X=i)\quad\text{Loi conditionnelle}\\
&=\frac{1}{i}\times\frac{1}{n}\quad\text{si } j\le i
\end{aligned}\\
\begin{cases}
P((X=i)\cap(Y=j))=\frac{1}{in} &\text{si }j\le i\\
P((X=i)\cap(Y=j))=0 &\text{si } j\gt i
\end{cases}
$$

2.

$$
\underbrace{(X=Y)}_{\text{evenement}} = \cup_{i=1}^n\biggr((X=i)\cap(Y=i)\biggr)\\
\begin{aligned}
P(X=Y)&=\sum_{i=1}^nP((X=i)\cap(Y=i))\\
&=\sum_{i=1}^n\frac{1}{in}=\color{green}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}}
\end{aligned}
$$

3.

**Loi marginale de $Y$**

$$
\begin{aligned}
\forall j\in[[1,n]]\quad P(Y=j)&=\sum_{i=1}^nP((X=i)\cap(Y=j))\\
&= \sum_{i=j}^n\frac{1}{in}=\color{red}{\frac{1}{n}\sum_{i=j}^n\frac{1}{i}}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
E(Y)&=\sum_{j=1}^njP(Y=j)\\
&= \sum_{j=1}\frac{1}{n}\sum_{i=j}^n\frac{1}{i}\\
&= \frac{1}{n}\sum_{j=1}^nj\sum_{i=j}^n\frac{1}{i}
\end{aligned}
$$

:::