PRST - Seance 5 suite

• $X_1$ suit une loi normale
• $S_n^{2\ast }:=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-m{)}^2$
• $\frac{n{S}_n^{2\ast }}{{\sigma }^2}$ suit une loi
  ${\mathcal{X}}^2(n)$

A connaitre

$$\begin{array}{rl}{X}_i& \sim \mathcal{N}(m,{\sigma }^2)\\ X_i-m& \sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2)\\ \frac{X_i-m}{\sigma }& \sim \mathcal{N}(0,1)\end{array}$$

$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n\frac{(X_i-m{)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\mathcal{X}}^2(n) \\ {S}_n^{2\ast }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-m{)}^2 \\ \frac{n{S}_n^{2\ast }}{{\sigma }^2}\sim {\mathcal{X}}^2(n) \\ {\mathcal{X}}_{\frac{\alpha }{2}}^2\le \frac{n{S}_n^{2\ast }}{{\sigma }^2}\le {\mathcal{X}}_{1-\frac{\alpha }{2}}^2 \\ \frac{1}{{\mathcal{X}}_{1-\frac{\alpha }{2}}^2}\le \frac{{\sigma }^2}{n{S}_n^{2\ast }}\le \frac{1}{{\mathcal{X}}_{\frac{\alpha }{2}}^2} \\ \frac{n{S}_n^{2\ast }}{{\mathcal{X}}_{1-\frac{\alpha }{2}}^2}\le {\sigma }^2\le \frac{n{S}_n^{2\ast }}{{\mathcal{X}}_{\frac{\alpha }{2}}^2} \end{gathered}$$

$$P({\mathcal{X}}_{\frac{\alpha }{2}}^2\le \frac{n{S}_n^{2\ast }}{{\sigma }^2}\le {\mathcal{X}}_{1-\frac{\alpha }{2}}^2)=1-\alpha$$

La loi

${\mathcal{X}}^2$ n'est pas symetrique.

L'intervalle de confiance au niveau

$1-\alpha$ pour la variance

${\sigma }^2$ est:

$$[\frac{n{S}_n^{2\ast }}{{\mathcal{X}}_{1-\frac{\alpha }{2}}^2};\frac{n{S}_n^{2\ast }}{{\mathcal{X}}_{\frac{\alpha }{2}}^2}]$$

• $X_1$ suit une loi normal
• ${\overline{X}}_n$ est un estimateur sans biais de
  $m$
• $S_n^2:=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-{\overline{X}}_n{)}^2$
• $\frac{(n-1)S_n^2}{{\sigma }^2}$ suit une loi
  ${\mathcal{X}}^2(n-1)$
• $P({\mathcal{X}}_{\frac{\alpha }{2}}^2\le \frac{n{S}_n^{2\ast }}{{\sigma }^2}\le {\mathcal{X}}_{1-\frac{\alpha }{2}}^2)=1-\alpha$

L'intervalle de confiance au niveau

$1-\alpha$ pour la variance

${\sigma }^2$ est:

$$[(n-1)\frac{s_n^2}{{\mathcal{X}}_{1-\frac{\alpha }{2}}^2};(n-1)\frac{s_n^2}{{\mathcal{X}}_{\frac{\alpha }{2}}^2}]$$