PRST

Lien des exercices lies a ce cours

Syllabus

1. Rappel sur les notions de probas elementaires
2. Rappel sur les variables scalaires

Generalites

• Etude d'experiences aleatoires
• Experience aleatoire: experience dont on ne peut prevoir l'issue a l'avance mais dont on connait toutes les issues possibles
• Alea vient du latin alea qui est un jeu de des

Situation elementaire

1. $n$ issues
   ${\omega }_1,...,{\omega }_n$
2. univers
   $\mathrm{\Omega }=\{{\omega }_1,...,{\omega }_n\}$
3. Proba d'occurence associee
   $p_1,...,p_n$
4. loi de proba: donnees des $p_i
5. Les probas
   $p_i$ sont positives et verifient:
   $p_1+...+p_n=1$
6. evenements: sous-ensemble de
   $\mathrm{\Omega }$
7. Probabilite d'un evenements: somme des probas des issues qui le realise

Exemple d'experience aleatoire:

• traverser la route et voir si on se fait ecraser ou non (Alexandre tu vas bien ?)
  $\to$ experience de Bernoulli a 2 issues

Quelles experiences aleatoire en informatique ?
La duree de vie d'un composant electronique

Proprietes

• equiprobabilite: toutes les issues ayant la meme proba
• exercice: proposer une situation qui n'est pas equiprobable
• $A\cap B$: ensemble des issues qui realisent simultanement
  $A$ et
  $B$
• $A\cup B$: ensmeble des issues qui realisent au moins un des 2 evenemenents

Conditionnement

• Soient A et B evenements (supposons
  $P(A)\ne 0$ et
  $P(B)\ne 0$)
• $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$
• Formule de Bayes:
  $P_B(A)=\frac{P_A(B)\times P(A)}{P_A(B)\times P(A)+P_{\bar{A}}(B)\times P(\bar{A})}$
• $P(B)=P_A(B)\times P(A)+P_A(B)\times P(\bar{A})$

Demonstration

$$\begin{array}{rl}{P}_B(A)& =\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\\ & =\frac{P_A(B)P(A)}{P(B)}\\ & =\frac{P_A(B)P(A)}{P_A(B)\times P(A)+P_A(B)\times P(\bar{A})}\end{array}$$

C'est une proba a posteriori, cad apres que l'experience ait eu lieu.

VA discrete

1. VA
   $X:$ fonction definie sur
   $\mathrm{\Omega }$ et a valeurs dans
   $\mathbb{R}$
2. $X$ peut prendre les valeurs
   $x_1,...,x_n$
3. $\mathrm{\Omega }$ sera "oublie" et on se concentrera sur les probas
   $p_i:=P(\{\omega \in \mathrm{\Omega }|X(\omega )=x_i\}):=P(X=x_i)$
4. Loi d'une variable aleatoire: donnee par des reels
   $P(X=x_i)$
5. exercice: modeliser le gain a un jeu de Pile ou Face a l'aide d'une VA (gain de 100 euros si le "Pile" et perte de 80 euros si "Face")
   • valeurs: 100 et -80
   • ex: si la piece tombe sur 2 on gagne 100 euros, sinon on en perde 80
   • $p_g=\frac{1}{6}$
   • $p_p=\frac{5}{6}$

Cf. Exercice 4

Prenons Clara et Nizar en cobayent avec leurs numero prefere

	Clara	Nizar
1	-10	30	20
2	50	-20	30
3	-10	30	20
4	-10	-20	-30
5	50	30	80
6	-10	-10	-20

• $x_1=-10$
• $x_2=50$
• $y_1=-20$
• $y_2=-10$
• $y_3=30$

1. Attention, la definition des reels
   $p_i$ a change !
2. Esperance:
   $E(X)=\sum _{i=1}^n{p}_i(x_i-\bar{x}{)}^2$
3. Variance:
   $V(X)=E(X-E(X{)}^2)=E(X^2)-E(X{)}^2$

Loi de Bernoulli

1. VA
   $X$ pouvant prendre les valeurs 0 et 1
2. proba de prendre la valeur 1 notee
   $p$
3. par consequent:
   $P(x=0)=1-p$
4. $E(X)=p\times 1+(1-p)\times 0=p$ et
   $V(X)=E((X-E(X{)}^2))=p(1-p)$
5. Loi notee
   $B(p)$

Loi binomial de parametre

$n$ et

$p$

1. some de
   $n$ variables independantes suivant une loi
   $B(p)$
2. Nombre de succes apres
   $n$ repetitions d'une experience de Bernouilli
3. VA
   $X$ pouvant prendre les valeurs entieres comprises entre 0 et
   $n$
4. $P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$ pour
   $k\in \{0,...,n\}$
5. Loi notee
   $B(n,p)$
6. $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$: coefficient binomial
7. $E(X)=np$ et
   $V(X)=np(1-p)$

• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0})=1$
• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1})=4$
• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})=6$
• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3})=4$
• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4})=1$

Comment trouver de maniere maths ?
On utilise le triangle de Pascal

• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})=20$
• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})=3$

Quels sont les elements remarquables sur le triangle de Pascal ?

• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k})$
• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})=1$
• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})=n$

Cf. Exercice 3

Loi binomial negative de parametre

$n$ et

$p$

1. aussi appelee loi de Pascal

Loi geometrique de parametre p

1. nombre d'essais avant le premier succes dans une repetition de tirages inde de Bernoulli
2. $p$ : probabilite de "Succes"
3. $X$ peut prendre toutes les valeurs entieres hormis 0
4. $P(X=k)=p{q}^{k-1}$ ou
   $q=1-p$
5. $E(X)=\frac{1}{p}$ et
   $V(X)=\frac{q}{p^2}$
6. Loi notee
   $G(p)$

C'est une loi sans memoire.

Qu'est-ce que ca veut dire ?

La loi geometrique est "sans memoire", cad que les evenements passes n'influent pas les evenements futurs.

Cf. Exercice 14

Les 2 grandes lois sans memoire sont les lois:

• exponentielle
• geometrique

Loi Poisson de parametre

$\lambda$

1. $X$ peut prendre toutes les valeurs entieres
2. $\lambda$ parametre strictement positif
3. $P(X=k)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$
4. $E(X)=\lambda$ et
   $V(X)=\lambda$
5. loi notee
   $P(\lambda )$

Cf. Exercice 6

Cadre

1. $X$ definie sur l'univers
   $\mathrm{\Omega }$ et a valeurs dans
   $\mathbb{R}$ ou dans un intervalle
   $I$
2. $P(X\in [a;b])={\int }_a^{b}f(x)dx$
3. fonction
   $f$ appelee la densite de la variable aleatoire
   $X$
4. Pour un reel
   $x$ donne:
   $P(X=x)=0$

Densite de probabilite

1. 2 conditions a connaitre
2. $f(x)\ge 0$ pour tout reel
   $x\in I$
3. ${\int }_{I}f(x)dx=1$ (l'intervalle peut etre
   $\mathbb{R}$)

Fonction de repartition

1. Soit
   $X$ une variable aleatoire
2. $F_X(x):=P(X\le x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)dt$
3. Fonction de survie:
   $R_X(x):=P(X>x)=1-F_X(x)$

${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{x}dx$ a un sens dans

$[0;+\mathrm{\infty }]$

Esperance

• formule analogue au cas discret
• si
  ${\int }_f|x|f(x)dx<+\mathrm{\infty }$

Variance

• Si
  ${\int }_f{x}^2|f(x)|dx<+\mathrm{\infty }$ la VA
  $X$ est dite de carre integrable
• $V(X)={\int }_f(x-E(X){)}^{2}f(x)fx$ est bien definie
• $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$ (theoreme de Koenig-Huyghens)
• $V(aX)=a^{2}V(X)$

Pour

$X$ et

$Y$

Tout depend de la dependance des variables, si

$X$ et

$Y$ sont independantes:

$E(XY)=E(X)E(Y)$

Loi uniforme sur l'intervalle

$[a;b]$

1. $f(x)=\frac{1}{b-a}$ pour
   $x\in [a;b]$ et
   $f(x)=0$ pour
   $x\notin [a;b]$
2. $P(X\in [c;d])=\frac{d-c}{b-a}$ si
   $a\le c\le c\le d\le b$ et
   $a<b$
3. $E(X)=\frac{a+b}{2}$ et
   $V(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$
4. Exercice: demontrer ce resultat puis calculer la fonction de reparatition associes
5. Notee
   $U([a;b])$

CF. Exercice 11

Loi exponentielle de parametre

$\lambda >0$

1. $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ pour
   $x\ge 0$ et
   $f(x)=0$ pour
   $x<0$
2. $E(X)=\frac{1}{\lambda }$ et
   $V(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$
3. $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ pour
   $x\ge 0$ et
   $F(x)=0$ sinon
4. $R(x)=e^{-\lambda x}$ pour
   $x\ge 0$ et

Loi exponentielle

1. Loi notee
   $\epsilon (\lambda )$
2. duree de vie d'un phenomene sans memoire
3. $\mathrm{\forall }s>0,\mathrm{\forall }t>0,P_{T>t}(T>s+t)=P(T>s)$

Loi normale centree reduite

1. $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$ pour
   $x\in \mathbb{R}$
2. $E(X)=0$ et
   $V(X)=1$
3. Loi notee
   $N(0;1)$

1. $P(X\le 0)=P(X\ge 0)=0.5$
2. $P(X\le -a)=P(X\ge a)$
3. $P(-196\le X\le 1.96)\approx 0.95$ et
   $P(-2,58\le X\le 2.58)\approx 0.99$
4. Loi notee
   $N(0,1)$

Loi normale de parametre

$\nu$ et

$\sigma$

1. Loi notee
   $N(\nu ,{\sigma }^2)$
2. $X$ suit une loi
   $N(\nu ,{\sigma }^2)$ si
   $Y=\frac{X-\nu }{\sigma }$ suit une loi normale centree reduite

• $P(\nu -\sigma \le X\le \nu +\sigma )\approx 0.68$
• $P(\nu -2\sigma \le X\le \nu +2\sigma )\approx 0.95$
• $P(\nu -3\sigma \le X\le \nu +3\sigma )\approx 0.997$