因為這些物理量是以極限值來定義,所以他們的極限值必須要先存在,這條式子才會有意義,這樣的定義幫我們排除掉了那些等待時間會無限增長的系統。換句話說,我們討論的排隊系統必須是一個有進有出的系統 (Conservative System),才能夠使用 Little's Law
基於這樣的定義,其實 Theorem 1.1 技術上來說並不是只能用在一個「排隊」系統上,只要是一個「會有人進出」的系統就可以了。系統中間可以當作是一個黑盒子,不管 arrival pattern 和 service pattern 到底是什麼挖割分佈、是先進先服務還是隨便抽人來服務,Little's Law 通通都不在意。只要上述的極限值存在、顧客的抵達時間一定小於離開時間,就可以使用 Little's Law 了
基於不同的「系統」定義, Little’s Law 可能會導出稍微長得不太一樣的關係式。下列幾個範例會讓我們看到, Little’s Law 其實比較像是一個法則,而不是一條確定的式子。更準確的說,當我們關注的「系統」不一樣的時候,
,
和
可能會分別指稱到不同的對象
Example 1.2
Figure 1.5 描述了一個完整的排隊系統。在這樣的觀點下,
指的是整個排隊系統中的人數(隊伍中的人數 + 正在被服務的人數);
指的是顧客在整個系統當中所花的時間(排隊的時間 + 被服務的時間)。而這兩者之間的關係是
雖然上圖中只有畫出一個 server 跟一個 queue,但其實上述的等式關係在多個 server 或是多個 queue 的情況下也會成立
Example 1.3
Figure 1.6 中描述的「系統」是整個排隊系統中的隊伍的部份。在這樣的觀點下,
指的是隊伍中的人數;
指的是顧客排隊所花的時間。此時隊伍的抵達率跟整個系統的抵達率是一樣的(都是
)。而這三者之間的關係是
Example 1.4
Figure 1.7 中描述的「系統」是一個只有一個 server 的排隊系統中,那個 single server 的部份。在這樣的觀點下,
這 server 中要嘛就有一個人,要嘛就沒有人。如果令
為 server 停擺的時間比例,則長期平均下來隊伍中的人數
令
代表顧客服務時間的隨機變數,則長期平均下來顧客待在 server 中的時間就會是
的期望值,也就是
假設離開這個 server 的離開率跟抵達率差不多,那 server 的抵達率就會是整個排隊系統的抵達率
因此,整個 Little's Law 就可以改寫為
用這條式子來計算一個排隊系統的效能是很方便的,因為他不依靠任何對於排隊系統的假設(像是服務模式是泊松分佈、先到先服務之類的),只要是 single server 就可以用了