###### tags: `Tsukuba Univ` `統計分析法`

# 2022/10/04（火）
- 資料
‪C:\Users\itsu0\OneDrive - 筑波大学\docs\reports\2年\秋A\統計分析法\Stats_week01_Handout-S.pdf
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Stats2022

# 1. 統計分析で何をするか
## 統計分析とは
- 統計分析：**Statiscal Analysis**
- ばらつきを伴う情報を客観的分析・評価

## 統計分析の機能
### 1. 少数のデータから全体を推し量る
**母集団（Population）** ← **標本（Sample）**
1.1. 標本の**特徴**から母集団の特徴を推し量る
　　**推定（statistical estimation）**
1.2. 母集団の特徴について何らかの仮説を設け、その妥当性を確率論的に検証する
　　**検定（statistical hypothesis testing）**

### 2. 情報の構造を明らかにする
**相関（correlation）**、**回帰（regression）**

## 確率の利用
統計分析では結論に確率を用いる
### 例
- 「推定値の誤差が3%以下」である確率は0.95
　↑ 95%正しい
- 結論に付帯させる**確率**の大きさ（0.95）は結論の真実性に対する**信頼**の度合い

# 2. 標本データ：母集団と標本
教科書：Chapter 4
## 2.1. サンプリング
- 全体（母集団）を少数（標本）から推し量る

母集団から妥当な結論を得るためには、どのようにサンプルすればよいか
→ どの個体も選ばれる確率を同じにする
→ **無作為抽出（random sampling）**


## 2.2. データ（標本）分布の特徴（特性値）
- 視覚的・直感的に分布の特徴を知る
**ヒストグラム（histogram）**
- 少数の簡単な特性値で分布の特徴を記述

### 1. 平均（mean）
- 変数Xについてm個に標本値があるときの平均：
$\bar{X}=\frac{X_1+X_2+\dots+X_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$

### 2. 分散（variance）
測定値の「平均からの差」を考える
- 平均からの差：$X_i-\bar{X}$
- 「平均からの差」の平均：$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})$
- 「平均からの差」の二乗平均：$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$ → 分散のもと

# 3. 母集団の確率分布（probability distribution of population）
## 3.1. 母集団の確率分布
- **母平均**：$\mu=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$
- **母分散**：$\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2$
- **母標準偏差**：$\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2}$

## 3.2. 期待値（expectation）
**確率変数（random vatiable）**$x$が$x_i$の値をとる確率を $P(x_i)$ とする（ただし、$\sum_{i=1}^nP(x_i)=1$）
この確率変数$x$の期待値（推定値）は $E(x)=\sum_{i=1}^nx_iP(x_i)$
この確率変数$x$の分散は $V(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2=E[(x_i-\mu)^2]$

# 4. 主要な確率分布：正規分布（Gaussian）
- **確率密度関数**：$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}),\, N(\mu, \sigma^2)$
- **正規分布の標準化**（**Z変換**）：$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$
- **偏差値**：$\frac{x-\mu}{\sigma} \cdot 10 + 50(=N(50, \sqrt{10}))$

# 5. 標本抽出（Sampling）
- 母集団の**母平均**、**母分散**の推定量としての**標本平均**、**標本分散**（$\bar{x}, s^2$）の**信頼性**を調べる

1. 不偏性：偏り
2. 精度：$\bar{x}$は周りにどのくらい変動するか

## 5.1. 標本平均
- （標本平均）の平均：$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\bar{x_i}$
- 無限回の平均：$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\bar{x_i}\rightarrow\mu$であれば、**$\bar{x}$は$\mu$の不偏推定量**

### 1. 標本平均の不偏性
確率変数 $x_1, x_2, \dots, x_n$ の平均：$\bar{x}=\frac{x_1, x_2, \dots, x_n}{n}$
確率変数 $\bar{x}$ を求める
　$E(\bar{x})=\frac{1}{n}E(x_1+x_2+\dots +x_n)=\frac{1}{n}\lbrace E(x_1)+E(x_2)+ \dots +E(X_n)\rbrace=\frac{n}{n}\mu=\mu$
標本平均：$E(\bar{x})=\mu$ 標本平均（←不偏推定量）の期待値は母平均（サンプル数が$\infty$になれば$\bar{x}=\mu$）

### 2. 標本平均$\bar{x}$の精度（分散）
確率変数 $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
$V[\bar{x}]=V[\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}]$
$V[\bar{x}]=\frac{1}{n^2}V[x_1+x_2+\dots+x_n]=\frac{1}{n^2}\lbrace V[x_1]+V[x_2]+\dots+V[x_n]\rbrace=$
ここで、$V[x_i]=\sigma^2$ とすると $V[\bar{x}]=\frac{n}{n^2}\sigma$
$\therefore V[\bar{x}]=\frac{\sigma}{n}$：標本平均の分散

### 3. 標本平均$\bar{x}$の分布
分布：$\bar{x}$が$\mu$の周りにどの程度ばらつくか
ある分布$D(\mu, \sigma^2)$から$n$個のサンプルをするとき、$n$が十分に大きくなると**標本平均$\bar{x}$は$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$に近づく**