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title: "[Cours] ASE3 (cours 1) - 12/05/2021"
tags: ASE3, Cours, ICE
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# [Cours] ASE3 (cours 1) - 12/05/2021

Intervenant :
    Mohamed Regragui
Support de cours :
    Notes prises en présentiel sur Teams

**Note**: Les notes prises par un étudiant en présentiel seront disponibles sur le Teams

Table des matières:
[TOC]

# Couple de variable aléatoire discrète et analyse de données

## 1) Couple de v.a réelles discrètes
Soient X et Y 2 variables réelles discrètes, on appelle couple (X, Y) l'application de $\mathbb N \to \mathbb R^2$ définie par $(X, Y)(w) = (X(w), Y(w))$ pour tout $w$ inclus dans $\Omega$.
X et Y sont définis sur un même espace probabilisé ($\Omega$, $\mathscr C$, $\mathbb P$)

### 1) Loi d'un couple (X, Y) (loi conjointe)

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**Def**: On appelle loi de $(X, Y)$ l'ensemble des couples $((x_i, y_j), P_{i,j})$ où $x_i$ appartient $X(\Omega)$: l'ensemble des valeurs de $X$
$y_j$ appartient $Y(\Omega)$: l'ensemble des valeurs de $Y$

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$P_{ij} = P((X = x_i) \cap (Y = y_j)$

Si $I = [[1, r?]]\ et\ J = [[1, s]]$
Les $P_ij$ sont souvent donées dans le tableau à double entrée

| $X$/$Y$ | $y_1$... | ...$y_j$... | $y_s$ |
| ----------- | --------- | ----------- | --------- |
| $X_1$ | $P_{11}$ | $P_{1,j}$ | $P_{1,s}$ |
| ...$X_i$... | $P_{i,1}$ | $P_{i,j}$ | $P_{i,s}$ |
| $X_n$ | $P_{n,1}$ | $P_{n,j}$ | $P_{n,s}$ |

$P_{i,j} \geq 0$ et $\sigma\{i \in I\ et\ j \in J\}, P_{ij} = 1$

### 2) Lois marginales

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**Def**: L, v.a X et Y sont appelés variables marginales du couple (X,Y)
La loi de X(resp. de Y) est appelé loi marginale de X (resp. de Y)

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Notation:
pour tout i $\in I P(X = x_i) = P_i$

manque des trucs

$P_i = P(X = x_i) = $\sigma\{j \in J\} P((X = x_i) \cap (Y = y_j)$ = $\sigma\{j \in J\} P_{ij}$

$\forall j \in J,\ P_{ij} = P(Y = y_j) = \sigma\{i \in I\},\ P((X = x_i) \cap (Y = y_j) = \sigma\{i \in I\} P_{ij}$

Exemple:
(X, Y) un couple de v.a dont la loi conjointe est donnée par le tableau

| $X$/$Y$ | 1 | 2 | 3 | 4 | $P_{ij}$ (Loi marginale de X) |
|:----------------------------- | ---- | ---- | ---- | ---- |:----------------------------- |
| 1 | 1/16 | 1/16 | 1/16 | 1/16 | 4/16 = 1/4 |
| 2 | 0 | 1/16 | 1/16 | 1/16 | 1/4 |
| 3 | 0 | 0 | 3/16 | 1/16 | 1/4 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | 4/16 | 1/4 |
| $P_{.j}$ (Loi marginale de Y) | 1/16 | 3/16 | 5/16 | 7/16 | 1 |

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### 3) Lois conditionnelles

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**Def**: Soit $X$ une variable aléatoire réelle sur $(\Omega$, $\mathscr C$, $\mathbb P)$

$(\Omega) = \{x_i / i \in I\}$ , Soit $A$ un évènement tel que $P(A) \neq 0$

La loi conditionnelle de $X$ sachant $A = \{(x_i, P_a(X=x_i), i \in I\}$
$P_A(X=x_i) = \cfrac{P((X=x_i)\cap A)}{P(A_+)}$

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En particulier A : "Y = $y_j$"

$\underset{Y=yj}{P(X = x_i)} = \cfrac{P((X = x_i) \cap (Y = y_j))}{P(Y=yj)} = \cfrac{P_{ij}}{P_{\cdot j}}$

Conclusion :
$\underset{Y=yj}{P(X=x_i)} = \frac{P_{ij}}{P_{\cdot j}}$

On reprend l'example précédent

| $X_i$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| -------------------- | --- | --- | --- | --- |
| $\underset{(Y=3)}{P(X=X_i)}$ | 1/5 | 1/5 | 3/5 | 0 |

$\underset{(Y=3)}{P(X=1)} = \cfrac{P((X=1) \cap (Y=3))}{P(Y=y)} = \cfrac{1/16}{5/16} = \cfrac{1}{5}$

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**Indépendance:**
**Def**: X et Y sont 2 v.a indépendante ssi $P((X = x_i) \cap (Y = y_j)) = P(X = x_i) P(Y = y_j)$

pour tout $x \in X(\omega), \forall y \in Y(\omega)$

equivalent $P_{ij} = P_i * P_j$

Soit g une fonction de $\mathbb R^2 \to \mathbb R$, Définie sur l'ensemble de valeurs prises par (X, Y)
Soit $Z = g(X, Y), Z_k = g(x_i, y_j) \in Z(\omega)$
$(Z = Z_k) = \underset{i,j}{\bigcup} ((X = x_i) \cap (Y = y_j))$

implique $P(Z = Z_k) = \underset{Z_k=g(x_i,y_j)}{\underset{i,j}{\sum}} P((X = x_i) \cap (Y = y_j))$

g: fonction qcq

En particulier Z = X + Y = g(X, Y)

P(Z = g) = sigma(x,y tel que x+y =z) P((X = x) \cap (Y = y))

Si Z = XY + g(X, Y)
P(XY = z) = sigma(x,y tel que x+y =z) P((X = x) \cap (Y = y))

Example:
(X, Y) couple défini par:
ya un tableau ici

Déterminer la loi de Z = X + Y

$Z(\omega) = \{2,3,4,5,6,7,8\}$

| Z_k | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| ---------- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $P(Z=Z_k)$ | 1/16 | 1/16 | 3/16 | 2/16 | 4/16 | 1/16 | 4/16 |

> Somme de la 2e ligne = 1

$P(Z=5) = P(X+Y = 5)$
$\qquad\qquad = P((X=1)\cap(Y=4)) + P((X=2)\cap(Y=3)) + P((X=3)\cap(Y=2)) + P((X=4)\cap(Y=1))$
$\qquad\qquad = \cfrac{1}{16} + \cfrac{1}{16} + 0 + 0$
$\qquad\qquad = \cfrac{1}{8}$

Déterminer la loi de (Z = XY)

Z($\omega$) = {1,2,3,4,6,8,9,12,16}

| Z_k | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 9 | 12 | 16 |
| ---------- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | --- | --- |
| $P(Z=Z_k)$ | 1/16 | 1/16 | 3/16 | 2/16 | 4/16 | 1/16 | 4/16 | 1/16 | 4/16 |

Espérance d'une fonction de 2 v.a.r discrète:
X($\omega$) = {x1, ..., xr}
Y($\omega$) = {y1, ..., ys}
Z = g(X, Y)

$E(Z) = E(g(X,Y)) = \underset{i,j}{\sum} g(x_i,y_i) P((X=x_i)\cap(Y=y_j))$
$E(Z) = \underset{i,j}{\sum} g(x_i,y_j)P_{ij}$

Exemple: $g(X, Y) = XY$
$E(X\cdot Y) = \underset{i,j}{\sum} x_i y_j P((X=x_i)\cap(Y=y_j))$

$\qquad\qquad = \underset{i,j}{\sum} x_i y_j P_{ij}$

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**Proposition** :
Si $X$ et $Y$ sont 2 V.A indépendantes alors :
$E(X\cdot Y) = E(X)E(Y)$

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Démonstration :
$E(X\cdot Y) = \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^s (x_iy_jP_{ij})$
$\qquad\qquad = \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^s (x_iy_j)P_{i\cdot}P_{\cdot j}$
$\qquad\qquad = \sum_{i=1}^r (x_iP_{i\cdot}) \cdot \sum_{j=1}^s(y_jP_{\cdot j})$
$E(X\cdot Y) = \sum_{i=1}^r (x_iP_{i\cdot}) \cdot E(Y) = E(X)E(Y)$

> **Remarque** :
$\underset{i,j}{\sum}$ double sommation : on fixe i et on somme j

:warning: Attention, la réciproque est fausse.
Contre-exemple : $(X,Y)$ couple de loi conjointe donné par :

| X\Y | 0 | 1 | 2 | $P_{i\cdot}$ |
| ------------- | ----- | --- | --- | ------------ |
| 0 | 1/20 | 1/4 | 0 | 3/10 |
| 1 | 17/60 | 1/4 | 1/6 | 42/60 = 7/10 |
| $P_{\cdot j}$ | 1/3 | 1/2 | 1/6 | 1 |

La suite du cours sera à reprendre