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# JuliaTokai #10 (2021/05/15)
###### tags: `JuliaTokai` `prezentation`

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# Rotations.jlで学ぶ<br>3次元の回転

[堀川 由人, ほりたみゅ, @Hyrodium](https://hyrodium.github.io)

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### おしながき
* 自己紹介
* 3次元の回転って？
* Rotations.jlの紹介
* 面白い結果(a) $\operatorname{SO}(3)$の可視化
* 面白い結果(b) Thomson問題の拡張
* まとめ

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## 自己紹介
幾何学がスキ！

 

[堀川 由人, ほりたみゅ, @Hyrodium](https://hyrodium.github.io)

* 過去の関連発表
* Rotations.jlとの関わり

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### 過去の関連発表
$\operatorname{SO}(3)$と$\operatorname{SU}(2)$の対応関係について話しました

* [逆数の作図からCayley変換まで / 第1回日曜数学会](https://www.slideshare.net/yutohorikawa/cayley-57826500)
  
* [Riemann球面に内接する直方体 / 第4回日曜数学会](https://www.slideshare.net/yutohorikawa/riemann-57827572)
  

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### Rotations.jlとの関わり
3次元回転をJuliaで扱うためのパッケージ

* 1ヶ月前(2021/04/08)からcontribution開始
* PR 8つ (merged 3つ)
* issue 7つ
* 3次元回転を完全に理解したぞ！
* 今日はその報告です

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## 3次元の回転って？
* そもそも回転とは
* $\operatorname{SO}(3)$の性質 ①-⑥

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### そもそも回転とは
* 原点の位置を変えない合同変換
* (普通は)Eudlid空間での合同変換
* ただし鏡像は除く
* 線形代数の言葉で言えば…
* 直交行列による変換 ($R^{-1}=R^{\top}$となる行列)
* ただし行列式は1
* 一般には$n$次の回転行列まで考えれる
* $\operatorname{SO}(n)$と書く
* Rotations.jlでは(基本的に)3次のみ扱う

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### $\operatorname{SO}(3)$の性質① 元の可視化

$\color{red}{x},\color{green}{y},\color{blue}{z}$軸の正規直交基底の"姿勢"が$\operatorname{SO}(3)$の元

 

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### $\operatorname{SO}(3)$の性質② 空間の次元

* 与えられた姿勢への到達に、3回の座標軸回転が必要
* Euler角と呼ばれる (回転順序によって12種類存在)
* $\color{blue}{z}\text{-}\color{red}{x}\text{-}\color{blue}{z}, \color{red}{x}\text{-}\color{green}{y}\text{-}\color{red}{x}, \color{green}{y}\text{-}\color{blue}{z}\text{-}\color{green}{y}, \color{blue}{z}\text{-}\color{green}{y}\text{-}\color{blue}{z}, \color{red}{x}\text{-}\color{blue}{z}\text{-}\color{red}{x}, \color{green}{y}\text{-}\color{red}{x}\text{-}\color{green}{y}$ 狭義Euler角
* $\color{red}{x}\text{-}\color{green}{y}\text{-}\color{blue}{z}, \color{green}{y}\text{-}\color{blue}{z}\text{-}\color{red}{x}, \color{blue}{z}\text{-}\color{red}{x}\text{-}\color{green}{y}, \color{red}{x}\text{-}\color{blue}{z}\text{-}\color{green}{y}, \color{blue}{z}\text{-}\color{green}{y}\text{-}\color{red}{x}, \color{green}{y}\text{-}\color{red}{x}\text{-}\color{blue}{z}$ Tait–Bryan角
* つまり$\operatorname{SO}(3)$は3次元の空間！ $\dim(\operatorname{SO}(3))=3$
* より一般に$\dim(\operatorname{SO}(n))=n(n-1)/2$

 \
$\color{red}{x}\text{-}\color{green}{y}\text{-}\color{blue}{z}回転　/　\color{red}{x}\text{-}\color{green}{y}\text{-}\color{red}{x}$回転

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### $\operatorname{SO}(3)$の性質③ 行列表示

 

* 3次元なのにパラメータが9つあるように見える
* $xy$平面上の円周$S^1$と同じ状況
* 行列表示すると過剰にパラメータが発生
* :arrow_up: 計算量
* :arrow_down: 計算精度
* 行列表示以外の"良い"パラメータが欲しい！

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### $\operatorname{SO}(3)$の性質④ 固有値と固有ベクトル

* $R\in \operatorname{SO}(3)$の固有値は$\{1,e^{i\theta},e^{-i\theta}\}$で表示可能
* 固有値$1$に対応する固有ベクトルが回転軸
* $\theta$が回転角
* 任意の回転は「軸回りの回転」として表示可能！
* 回転軸(2次元)+回転量(1次元)なのでちゃんと3次元
* [Rodriguesの回転公式](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%89%E3%83%AA%E3%82%B2%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E5%85%AC%E5%BC%8F)

 

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### $\operatorname{SO}(3)$の性質⑤ 準同型な空間など
この辺りから数学的に込み入ってきますが…

* $\operatorname{SO}(3)$と$\operatorname{SU}(2)$は$1:2$に対応(準同型)
* $\operatorname{SU}(2)$は$\det$が1のユニタリ行列全体
* (詳細は以前の発表スライド参照)
* $\operatorname{SU}(2)$は「単位長さ四元数全体」と対応(同型)
* つまり4つの実数で3次元の回転を表現可能
* パラメータ減ってハッピー！(9→4)
* 「単位長さ四元数」は3次元球面$S^3$と対応(同相)
* $S^3\subset\mathbb{R}^4$なので普通の球面ではない
* 立体射影で$S^3\leftrightarrow\mathbb{R}^3\cup\{\infty\}$の対応(同相)
* パラメータ減ってハッピー！(4→3)

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### $\operatorname{SO}(3)$の性質⑥ まとめ
* $\operatorname{SO}(3)$は3次元Lie群！
* 3次行列として表示可能
* しかし計算には都合が悪い
* 良い感じのパラメータ(座標)が欲しい！
* 直感的に理解しやすい
* コンピュータが計算しやすい
* 数学的なモチベーション → https://twitter.com/phykm/status/1388747029304672261
* 行列表示 / Euler角 / 軸回り回転 / 四元数 / $\mathbb{R}^3\cup\{\infty\}$

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## Rotations.jlの紹介
* Juliaで3次元回転を扱うためのパッケージ比較
* Rotations.jlで定義される型
* 使い方の例

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### Juliaで3次元回転を扱うための<br>パッケージ比較
* [Rotations.jl](https://github.com/JuliaGeometry/Rotations.jl)
* 回転は3次元行列
* 最新版`v1.0.2`
* [ReferenceFrameRotations.jl](https://github.com/JuliaSpace/ReferenceFrameRotations.jl)
* (まだ詳しく触ってないので何とも…)
* 最新版`v0.5.7`

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### Rotations.jlで定義されている型
* 行列表示
* `RotMatrix`
* Euler角
* `RotX`, `RotY`, `RotZ`
* `RotXY`, `RotYX`, `RotZY`, `RotYZ`, `RotXZ`, `RotZX`
* `RotXYZ`, `RotXYX`, (他10種)
* 軸回り回転
* `AngleAxis`
* `RotationVec`
* 四元数
* `UnitQuaternion`
* $S^3$の立体射影
* `MRP` (Modified Rodrigues Parameters)
* $S^3$の原点からの射影
* `RodriguesParam`

`<: Rotation <: StaticMatrix <: AbstractMatrix`

これらの他にも2次元回転の型もある

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### 使い方の例

using Rotations
# ランダムに回転行列を生成 (Haar測度)
R_uq = rand(UnitQuaternion{Float64})
# 行列に変換
Matrix(R_uq)
# 別のパラメータに変換 (MRP)
R_mrp = MRP(R_uq)
# 別のパラメータに変換 (Euler角)
R_xyz = RotXYZ(R_uq)

このスライドのgifもRotations.jlで計算してます
(レンダリングはPOV-Ray)

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## 面白い結果(a) $\operatorname{SO}(3)$の可視化

`MRP`を使えば頑張れば$\operatorname{SO}(3)$を3次元球として描ける！
* ① 可視化の概要
* ② 座標軸まわりの回転
* ③ 非可換性の可視化
* ④ $xy$回転曲面の可視化
* ⑤ ジンバルロック
* ⑥ 有限部分群

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### $\operatorname{SO}(3)$の可視化①
`MRP`で可視化する！

 

数学的に込み入ったことは抜きにして…
3次元球内の一点が、一つの姿勢($\operatorname{SO}(3)$の元)を表す！

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### $\operatorname{SO}(3)$の可視化②-x
$x$軸回転


原点が単位行列

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### $\operatorname{SO}(3)$の可視化②-y
$y$軸回転


球面上の点がちょうど「180°回転」に相当する

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### $\operatorname{SO}(3)$の可視化②-z
$z$軸回転


* 一般に左図での「球面内の点と原点を結ぶ直線」は右図での「回転軸」に一致する
* 逆元は原点対称の点

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### $\operatorname{SO}(3)$の可視化③
$\operatorname{SO}(3)$の非可換性：$\color{magenta}{R_x(t)R_y(t)}$と$\color{cyan}{R_y(t)R_x(t)}$の比較


MRP(左)の方が基底の図示(右)よりも把握しやすい

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### $\operatorname{SO}(3)$の可視化④
$\{R_x(s)R_y(t) \mid s,t\in\mathbb{R}\}$は群を成さないが…
曲面としては描画できる

 

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### $\operatorname{SO}(3)$の可視化⑤
[ジンバルロック](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%B3%E3%83%90%E3%83%AB)(`RotXYX`)


$x$軸上でめっちゃ密 😷 → Jacobianがゼロ
→ Euler角は$\operatorname{SO}(3)$の全体座標に不適格

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### $\operatorname{SO}(3)$の可視化⑥-4/4
$\operatorname{SO}(3)$の有限部分群と言えば…正多面体群！

* 正4面体群の位数は12
* $\operatorname{SU}(2)$で考えれば24個←正24胞体の頂点に一致！

 

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### $\operatorname{SO}(3)$の可視化⑥-6/8
* 正6面体群(=正8面体群)の位数は24
* $\operatorname{SU}(2)$で考えれば48個←正24胞体の頂点と胞中心に一致！

 

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### $\operatorname{SO}(3)$の可視化⑥-12/20
* 正12面体群(=正20面体群)の位数は60
* $\operatorname{SU}(2)$で考えれば120個←正600胞体の頂点に一致！

 

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## 面白い結果(b) Thomson問題の拡張

* Thomson問題とは
* $\operatorname{SO}(3)$への拡張
* 計算結果

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### Thomson問題とは① 概要

> トムソン問題（トムソンもんだい、英: Thomson problem） は、静電エネルギーが最小になるよう単位球面上に N 個の電子を配置する問題である（電子間力はクーロンの法則に従うものとする）。

[Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%A0%E3%82%BD%E3%83%B3%E5%95%8F%E9%A1%8C)より

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### Thomson問題とは② 計算例

    

* 4,6,8,12,20点で計算
* 4,6,12点の場合のみ、正多面体の頂点に一致

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### $\operatorname{SO}(3)$への拡張
* そもそも$\operatorname{SO}(3)$にどうやって距離いれるの？
* 2点間を結ぶ回転行列の回転角にしよう！
* Lie代数$\mathfrak{so}(3)$に内積($\operatorname{SO}(3)$にRiemann計量)を入れて「最短曲線の長さ」を距離とすることと同じ
* じゃあエネルギーは？
* Thomson問題に倣って(1/距離)を2点間のエネルギーにしよう！

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### 計算結果

* 12,24,60点で正多面体群が出てくると期待されるが…
* 正多面体群になるのは24,60点のみだった！
<small/>(数値的に実験しただけで厳密に示した訳ではないです)</small>
* スライドが間に合わなかったのでデモします…

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## まとめ

* 感想
* 今後の予定
* 参考文献など

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### 感想
* Rotations.jl便利！
* いろんなパラメータ変換とか有り難い
* 可視化にも便利
* コンストラクタのベストプラクティスが分からん…
* コンストラクタで正規化するか否か

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### 今後の予定
* Rotations.jlのバグ修正
* 私が送ったPR早くレビューして欲しいな:pray::pray::pray:
* もう少し真面目にThomson問題を解く
* 微分方程式系として記述できそう
* ちゃんと可視化もやる

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### 参考文献など
* [Rotations.jl](https://github.com/JuliaGeometry/Rotations.jl)
* Rotations.jlのリポジトリ
* [逆数の作図からCayley変換まで / 第1回日曜数学会](https://www.slideshare.net/yutohorikawa/cayley-57826500)
* 私の以前の発表
* [Riemann球面に内接する直方体 / 第4回日曜数学会](https://www.slideshare.net/yutohorikawa/riemann-57827572)
* 私の以前の発表
* [EquallySpacedPointsOnSO3](https://github.com/hyrodium/EquallySpacedPointsOnSO3)
* $\operatorname{SO}(3)$上でのThomson問題のリポジトリ
* [VisualizeSO3](https://github.com/hyrodium/VisualizeSO3)
* このスライドでの図を作ったときのリポジトリ
* 他にも個人ブログ等で参考にしたのあったはず…:pray: