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# 応用数理学会 (2018/09/03)
###### tags: `IGA4SurfaceEmbedding`

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## 編み紙の数理
#### 〜材料の伸びを考慮した曲面設計最適化〜
$%a$

堀川 由人 (大阪大学工学研究科)
垂水 竜一 (大阪大学基礎工学研究科)

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### 目次
* はじめに
* 研究目的/背景
* 問題設定
* 問題の定式化
* 弱形式定式化
* IGAによる離散化
* 計算結果
* 懸垂面
* 常螺旋面
* おわりに
* なぜ編み紙なのか
* 結言

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### 研究背景
曲面で構成される部品は我々の日常生活で重要

オーダースーツ 　　 テニスボール 　　
 　 

* 平面部品を組み立てることで曲面を実現
* 組み立てる時にそれぞれのパーツに「変形」が発生する

<font size="3">（図は https://astamuse.com/ja/published/JP/No/1994034326 ， https://akebononikki.naturum.ne.jp/e356957.html より引用）</font>

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### 先行研究

平面材料から作られる立体形状の例

 

* 手法: 曲面を可展面で近似してから展開図を構成
* 問題点: 材料の**繋ぎ目で滑らかにならない**

目的: 可展面近似を用いずに, 高精度に曲面形状を構成

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### 平面材料の変形 : 面外と面内
  

* 曲面の第一基本形式を
* 面外変形: 保つ
* 面内変形: 保たない
* 通常の折り紙/紙工作では可展面のみを構成可能
* 面外変形: 可展面のみ構成可能
* 面内変形: 可展面以外も構成可能

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### 紙の弾性的性質
具体例: 紙を捩って常螺旋面($K< 0$)が作れる
面外変形のみなら可展面($K=0$) ($K$:Gauss曲率)


* 紙は面内方向にも変形可能.
* [面外変形のエネルギー] $\ll$ [面内変形のエネルギー]

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<!-- .slide: data-transition="none" -->

### 問題設定

1. 曲面を座標に沿って曲面片に分割
1. 平面材料から曲面に変形すると歪エネルギーが発生
1. エネルギー最小の形状を最も"自然"な展開形状とする


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<!-- .slide: data-transition="none" -->

### 問題設定

1. **曲面を座標に沿って曲面片に分割**
1. 平面材料から曲面に変形すると歪エネルギーが発生
1. エネルギー最小の形状を最も"自然"な展開形状とする


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<!-- .slide: data-transition="none" -->

### 問題設定

1. 曲面を座標に沿って曲面片に分割
1. **平面材料から曲面に変形すると歪エネルギーが発生**
1. エネルギー最小の形状を最も"自然"な展開形状とする


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<!-- .slide: data-transition="none" -->

### 問題設定

1. 曲面を座標に沿って曲面片に分割
1. 平面材料から曲面に変形すると歪エネルギーが発生
1. **エネルギー最小の形状を最も"自然"な展開形状とする**


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### 目次
* はじめに
* 研究目的/背景
* 問題設定
* **問題の定式化**
* **弱形式定式化**
* **IGAによる離散化**
* 計算結果
* 懸垂面
* 常螺旋面
* おわりに
* なぜ編み紙なのか
* 結言

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### 基準状態と現状態
* 基準状態 : 変形前で歪エネルギーが発生していない状態
* 現状態 : 変形後で歪エネルギーが発生している状態

 

「平面材料から曲面片へ変形させた際のエネルギー」と
「曲面片から平面への埋め込みで入るエネルギー」は
ほぼ同じである.

以降では, 基準状態と現状態を入れ替えて定式化する.

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### Riemann多様体上の非線形弾性論
材料に発生する歪エネルギー$W$は次の順で定式化される.

* 基準状態$M_{[0]}$, 現状態$M_{[t]}$のRiemann計量 $g_{[0]}, g_{[t]}$
* Green歪テンソル $E=\frac{1}{2}(g_{[t]}-g_{[0]})$
* 歪エネルギー $W=\int_M \frac{1}{2}C(E,E)\upsilon_{[0]}$

歪エネルギー$W$が極小となる はめ込み$M_{[0]}\to \mathbb{E}^2$を探す

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### 弱形式定式化$\newcommand\setN[0]{\mathbb{N}}\newcommand\setZ[0]{\mathbb{Z}}\newcommand\setQ[0]{\mathbb{Q}}\newcommand\setR[0]{\mathbb{R}}\newcommand\setC[0]{\mathbb{C}}\newcommand\pare[1]{{(#1)}}\newcommand\Pare[1]{\left(#1\right)}\newcommand\curl[1]{\{#1\}}\newcommand\Curl[1]{\left\{#1\right\}}\newcommand\squa[1]{[#1]}\newcommand\Squa[1]{\left[#1\right]}\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}\newcommand\Abs[1]{\left\lvert#1\right\rvert}\newcommand\floor[1]{\lfloor#1\rfloor}\newcommand\Floor[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}\newcommand\ceil[1]{\lceil#1\rceil}\newcommand\Ceil[1]{\left\lceil#1\right\rceil}\newcommand\angl[1]{\langle#1\rangle}\newcommand\Angl[1]{\left\langle#1\right\rangle}\newcommand\transpose[1]{\,{\vphantom{#1}}^t\!#1}\newcommand\sfrac[2]{#1/#2}\newcommand\od[2]{\frac{d#1}{d#2}}\newcommand\pd[2]{\frac{\partial#1}{\partial#2}}\newcommand\sod[2]{\sfrac{d#1}{d#2}}\newcommand\spd[2]{\sfrac{\partial#1}{\partial#2}}\DeclareMathOperator{\tr}{tr}\DeclareMathOperator{\Re}{Re}\DeclareMathOperator{\Im}{Im}\DeclareMathOperator{\supp}{supp}\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}\DeclareMathOperator{\Diff}{Diff}\DeclareMathOperator{\span}{span}$

局所表示して変分法. 次を充たす対応$x_{[0]}\mapsto x_{[t]}$を求める

\begin{align}
&\scriptsize \int_M {{g_{[t]ij}\pd{w^i}{x_{[0]}^m}\pd{x_{[t]}^j}{x_{[0]}^n}\Pare{2\Pare{\alpha g_{[0]}^{mn}g_{[0]}^{kl}+\beta g_{[0]}^{mk}g_{[0]}^{nl}}\pd{x_{[t]}^p}{x_{[0]}^k}\pd{x_{[t]}^q}{x_{[0]}^l}g_{[t]pq}+\gamma g_{[0]}^{mn}}}}\upsilon_{[0]}=0 \\
&\scriptstyle \qquad \alpha=\sfrac{\lambda}{8}, \ \beta=\sfrac{\mu}{4}, \ \gamma=-\Pare{\lambda+\mu}/2, \ \delta=\Pare{\lambda+\mu}/2
\end{align}

$\lambda, \mu$ : Lamé定数, $w^i$ : テスト関数

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### IGAによる離散化$\newcommand\setN[0]{\mathbb{N}}\newcommand\setZ[0]{\mathbb{Z}}\newcommand\setQ[0]{\mathbb{Q}}\newcommand\setR[0]{\mathbb{R}}\newcommand\setC[0]{\mathbb{C}}\newcommand\pare[1]{{(#1)}}\newcommand\Pare[1]{\left(#1\right)}\newcommand\curl[1]{\{#1\}}\newcommand\Curl[1]{\left\{#1\right\}}\newcommand\squa[1]{[#1]}\newcommand\Squa[1]{\left[#1\right]}\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}\newcommand\Abs[1]{\left\lvert#1\right\rvert}\newcommand\floor[1]{\lfloor#1\rfloor}\newcommand\Floor[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}\newcommand\ceil[1]{\lceil#1\rceil}\newcommand\Ceil[1]{\left\lceil#1\right\rceil}\newcommand\angl[1]{\langle#1\rangle}\newcommand\Angl[1]{\left\langle#1\right\rangle}\newcommand\transpose[1]{\,{\vphantom{#1}}^t\!#1}\newcommand\sfrac[2]{#1/#2}\newcommand\od[2]{\frac{d#1}{d#2}}\newcommand\pd[2]{\frac{\partial#1}{\partial#2}}\newcommand\sod[2]{\sfrac{d#1}{d#2}}\newcommand\spd[2]{\sfrac{\partial#1}{\partial#2}}\DeclareMathOperator{\tr}{tr}\DeclareMathOperator{\Re}{Re}\DeclareMathOperator{\Im}{Im}\DeclareMathOperator{\supp}{supp}\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}\DeclareMathOperator{\Diff}{Diff}\DeclareMathOperator{\span}{span}$

* 展開後の形状をNURBS多様体で近似(IGA)
* 座標の対応$x_{[0]}\mapsto x_{[t]}$を$\tilde{x}_{[t]}^i=\xi_I^iN^I(x_{[0]})$で近似
* $N_I$がB-spline基底関数 $N_I\colon M_{[0]}\to\setR$
* 制御点の座標$(\xi_I^i\in\setR)$を変数として離散化

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### 非線形連立方程式への帰着$\newcommand\setN[0]{\mathbb{N}}\newcommand\setZ[0]{\mathbb{Z}}\newcommand\setQ[0]{\mathbb{Q}}\newcommand\setR[0]{\mathbb{R}}\newcommand\setC[0]{\mathbb{C}}\newcommand\pare[1]{{(#1)}}\newcommand\Pare[1]{\left(#1\right)}\newcommand\curl[1]{\{#1\}}\newcommand\Curl[1]{\left\{#1\right\}}\newcommand\squa[1]{[#1]}\newcommand\Squa[1]{\left[#1\right]}\newcommand\abs[1]{\lvert#1\rvert}\newcommand\Abs[1]{\left\lvert#1\right\rvert}\newcommand\floor[1]{\lfloor#1\rfloor}\newcommand\Floor[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}\newcommand\ceil[1]{\lceil#1\rceil}\newcommand\Ceil[1]{\left\lceil#1\right\rceil}\newcommand\angl[1]{\langle#1\rangle}\newcommand\Angl[1]{\left\langle#1\right\rangle}\newcommand\transpose[1]{\,{\vphantom{#1}}^t\!#1}\newcommand\sfrac[2]{#1/#2}\newcommand\od[2]{\frac{d#1}{d#2}}\newcommand\pd[2]{\frac{\partial#1}{\partial#2}}\newcommand\sod[2]{\sfrac{d#1}{d#2}}\newcommand\spd[2]{\sfrac{\partial#1}{\partial#2}}\DeclareMathOperator{\tr}{tr}\DeclareMathOperator{\Re}{Re}\DeclareMathOperator{\Im}{Im}\DeclareMathOperator{\supp}{supp}\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}\DeclareMathOperator{\Diff}{Diff}\DeclareMathOperator{\span}{span}$
\begin{align}\scriptsize A_{ijpq}^{IJPQ}&\scriptsize =\!\int_M {{g_{[t]ij}\pd{N^I}{x_{[0]}^m}\pd{N^J}{x_{[0]}^n}\Pare{2\Pare{\alpha g_{[0]}^{mn}g_{[0]}^{kl}+\beta g_{[0]}^{mk}g_{[0]}^{nl}}\pd{N^P}{x_{[0]}^k}\pd{N^Q}{x_{[0]}^l}g_{[t]pq}}\upsilon_{[0]}}} \\
\scriptsize B_{ij}^{IJ}&\scriptsize =\gamma\int_M \Pare{{g_{[t]ij}\pd{N^I}{x_{[0]}^m}\pd{N^J}{x_{[0]}^n}g_{[0]}^{mn}}}\upsilon_{[0]}\\
&\hspace{4.5em} \scriptsize\xi_J^j\xi_P^p\xi_Q^q A_{ijpq}^{IJPQ}+\xi_J^jB_{ij}^{IJ}
=0 \\
\end{align}

制御点の座標$\xi_I^i$をNewton法で近似的に求める

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### Newton法での初期値決定法
* Newton法は解の局所的な収束のみ保証
→初期値の決定が重要. 次から構成可能
* 測地的曲率 (中心曲線の展開後の曲線)
* 第一基本量 (曲面片の幅)

 

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### 目次
* はじめに
* 研究目的/背景
* 問題設定
* 問題の定式化
* 弱形式定式化
* IGAによる離散化
* **計算結果**
* **懸垂面**
* **常螺旋面**
* おわりに
* なぜ編み紙なのか
* 結言

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### 計算結果 (懸垂面)
* 軸対称な極小曲面

   
 

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### 計算結果 (常螺旋面)
* 正コノイドかつ極小曲面

   

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### 懸垂面 - 常螺旋面
* 第一基本形式が局所的に等しくなる, 有名な曲面の組
* 面外変形のみで互いに変形可能

  

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### 目次
* はじめに
* 研究目的/背景
* 問題設定
* 問題の定式化
* 弱形式定式化
* IGAによる離散化
* 計算結果
* 懸垂面
* 常螺旋面
* **おわりに**
* **なぜ編み紙なのか**
* **結言**

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### なぜ編み紙なのか

* なぜ編み紙なのか
* 2方向に曲面片を配置することで滑らかに近似可能
* 糊代の配置が不要
* 裏表の区別が無い
* なぜエネルギー最小問題としたか
* 可展面近似では編み紙の重なる部分の処理が困難
* 面外変形に非依存で展開可能
(可展面近似では面外変形に展開形状が依存)

   

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### 結言
* 取り組んだ問題
* 曲面形状を紙で構成する際の展開形状最適化
* 提案手法の概要
* Riemann多様体上の非線形弾性論で定式化
* NURBS多様体で離散化 (IGA)
* エネルギー極小となる制御点の決定 (Newton法)
* 得られた結果
* 編み紙によって滑らかな曲面形状を構成した
* 今後の課題
* 曲面片の分割数の評価・分割数の自動決定

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### Weaving a Torus with Villarceau Circles

 

Francesco de Comité(fdecomite)による編み紙トーラスの例
エネルギー最小問題を使わなかったため, 隙間が空いている

<font size="3">（図は https://www.flickr.com/photos/fdecomite/20867353245/in/photostream/ より引用）</font>